Vectơ trong không gian (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải)

774

Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết Vectơ trong không gian (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải) Toán 11 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 11 ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Vectơ trong không gian (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải)

A. Lý thuyết Vectơ trong không gian

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vectơ, được kí hiệu là AB.

Định nghĩa

    Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu AB chỉ vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là abxy, …

Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ – không, sự bằng nhau của hai vectơ, … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

II. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

Trong không gian cho ba vectơ abc đều khác vectơ – không. Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ OA = aOB = bOC = c thì có thể xả ra hai trường hợp:

    + Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng vectơ abc không đồng phẳng.

    + Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thi ta nói ba vectơ abc đồng phẳng.

Trong trường hợp này giá của các vectơ abc luôn luôn song song với một mặt phẳng.

 (ảnh 1)

        a) Ba vectơ abc không đồng phẳng

 (ảnh 2)

        b) Ba vectơ abc đồng phẳng

Chú ý: Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.

Từ đó ta có định nghĩa sau đây:

2. Định nghĩa

    Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng và từ định lí về sự phân tích (hay biểu thị) một vectơ theo hai vectơ hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳng chúng ta có thể chứng minh được định lí sau đây:

Định lí 1

    Trong không gian cho hai vectơ ab không cùng phương và vectơ c. Khi đó ba vectơ abc đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c = ma + nb. Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.

Định lí 2

    Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng abc. Khi đó với mọi vectơ x ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x = ma + nb + pc. Ngoại ra bộ ba số m, n, p là duy nhất.

II. Bài tập Vectơ trong không gian

Câu 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một đường thẳng  cắt các đường thẳng  lần lượt tại  sao cho . Tính .

A. 

B. 

C. 

D. 

Đáp án: C

Câu 2: Giả sử  là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh  cỏ tứ diện SABC. Gọi I là giao điểm của ba mặt phẳng  và J là giao điểm của ba mặt phẳng .

Ta được  thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng?

A. 

B. 

C. 

D. 

Đáp án: D

Câu 3: Cho hình hộp . Xác định vị trí các điểm  lần lượt trên  và  sao cho . Tính tỉ số  bằng?

A. 

B. 

C. 1

D. 

Đáp án: A

Câu 4. Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho

.

Hãy xác định k để M, N, P, Q đồng phẳng.

A. 

B. 

C. 

D. 

Đáp án: A

Câu 5: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: .

B. Vì  nên bốn điểm  đồng phẳng.

C. Vì  nên N là trung điểm đoạn NP.

D. Từ hệ thức  ta suy ra ba vectơ  đồng phẳng.

Đáp án: B

Câu 6: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Ba véctơ  đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng

B. Ba tia  vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.

C. Cho hai véctơ không cùng phương  và . Khi đó ba véctơ  đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m,n  sao cho , ngoài ra cặp số m,n là duy nhất.

D. Nếu có  và một trong ba số m,n,p khác 0 thì ba véctơ  đồng phẳng.

Đáp án: A

Câu 7: Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: 

A. 

B. 

C. 

D. 

Đáp án: C

Câu 8: Cho ba vectơ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu  không đồng phẳng thì từ  ta suy ra 

B. Nếu có , trong đó  thì  đồng phẳng.

C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn  ta có  thì  đồng phẳng.

D. Nếu giá của  đồng qui thì  đồng phẳng.

Đáp án: D

Câu 9: Cho hình lăng trụ , M là trung điểm của. Đặt ,. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 

B. 

C. 

D. 

Đáp án: C

Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác . Đặt  . Trong các biểu thức véctơ sau đây, biểu thức nào đúng.

A. 

B. 

C. 

D. 

Đáp án: C

Câu 11: Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC. Đẳng thức đúng là.

A. 

B. 

C. 

D. 

Đáp án: D

Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng.

A. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng.

B. Ba véctơ  đồng phẳng thì có  với m,n là các số duy nhất.

C. Ba véctơ không đồng phẳng khi có  với  là véctơ bất kì.

D. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.

Đáp án: B

Câu 13: Cho hình hộp . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: .

A. 

B. 

C. 

D. 

Đáp án: B

Câu 14: Cho hình chóp . Lấy các điểm  lần lượt thuộc các tia  sao cho , trong đó  là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa  để mặt phẳng  đi qua trọng tâm của tam giác ABC.

A. 

B. 

C. 

D. 

Đáp án: A

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt  . Khẳng định nào sau đây đúng.

A. 

B. 

C. 

D. 

Đáp án: A

Câu 16: Cho hình hộp . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. 

B. 

C. 

D. 

Đáp án: A

Câu 17: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu .

B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu .

C. Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có  thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu .

Đáp án: C

Câu 18: Cho hình lập phương  có cạnh bằng a. Ta có  bằng?

A. 

B. 

C. 

D. 

Đáp án: B

Câu 19: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A,B,C,D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A,B,C,D tạo thành hình bình hành là:

A.  

B. 

C. 

D. 

Đáp án: C

Câu 20: Cho hình hộp . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành  và . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng

B. 

C. Ba vectơ  không đồng phẳng.

D. 

Đáp án: C

Câu 21: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M,N sao cho . Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ  đồng phẳng.

B. Các vectơ  đồng phẳng.

C. Các vectơ  đồng phẳng.

D. Các vectơ  đồng phẳng.

Đáp án: A

Câu 22: Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC. Đẳng thức đúng là.

 (ảnh 9)

Đáp án: D

Câu 23: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Khẳng định nào sau đây sai ?

 (ảnh 8)

Đáp án: C

Câu 24: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ tâm O. Khẳng định nào dưới đây là sai ?

Bài tập chứng minh đẳng thức vectơ cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Đáp án: C

Câu 25: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

A.  

B. 

C. 

D.  hay 

Đáp án: C

Câu 26: Cho tứ diện ABCD. Đặt  gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. 

B. 

C. 

D. 

Đáp án: B

Câu 27: Cho hình hộp . Gọi M là trung điểm AD. Chọn đẳng thức đúng.

A. 

B. 

C. 

D. 

Đáp án: B

Câu 28: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn  (G là trọng tâm của tứ diện). Gọi  là giao điểm của GA và mp. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. 

B. 

C. 

D. 

Đáp án: C

Câu 29: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ  đồng phẳng.

B. Các vectơ  không đồng phẳng.

C. Các vectơ  đồng phẳng.

D. Các vectơ  đồng phẳng.

Đáp án: C

Câu 30: Cho tứ diện ABCD. Người ta định nghĩa “ G là trọng tâm tứ diện ABCD khi ”. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. G là trung điểm của đoạn IJ (I , J lần lượt là trung điểm AB và CD)

B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD 

C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC 

D. Chưa thể xác định được.

Đáp án: D

Câu 31: Cho tứ diện ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD, AB = 2a, CD = 2b và EF = 2c. M là một điểm bất kì.

 (ảnh 7)

MA2 + MB2 bằng:

A. 2ME2 + 2a2      

B. 2MF2 + 2a2

C. 2ME2 + 2b2     

D. 2MF2 + 2b2

Đáp án: B

Câu 32: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 với tâm O. Chọn đẳng thức sai.

 (ảnh 6)

Đáp án: A

Câu 33: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Chọn đẳng thức sai?

 (ảnh 5)

Đáp án: C

Câu 34: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?

 (ảnh 4)

Đáp án: B

Câu 35: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây là sai?

 (ảnh 3)

Đáp án: D

 

Đánh giá

0

0 đánh giá