Vectơ trong không gian (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải)

Nguyễn Thúy Ngày: 28-08-2022 Lớp 11

702

Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết Vectơ trong không gian (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải) Toán 11 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 11 ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Vectơ trong không gian (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải)

A. Lý thuyết Vectơ trong không gian

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vectơ, được kí hiệu là AB→.

Định nghĩa

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu AB→ chỉ vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là a→, b→, x→, y→, …

Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ – không, sự bằng nhau của hai vectơ, … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

II. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

Trong không gian cho ba vectơ a→, b→, c→ đều khác vectơ – không. Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ OA→ = a→, OB→ = b→, OC→ = c→ thì có thể xả ra hai trường hợp:

+ Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng vectơ a→, b→, c→ không đồng phẳng.

+ Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thi ta nói ba vectơ a→, b→, c→ đồng phẳng.

Trong trường hợp này giá của các vectơ a→, b→, c→ luôn luôn song song với một mặt phẳng.

(ảnh 1)

a) Ba vectơ a→, b→, c→ không đồng phẳng

(ảnh 2)

b) Ba vectơ a→, b→, c→ đồng phẳng

Chú ý: Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.

Từ đó ta có định nghĩa sau đây:

2. Định nghĩa

Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng và từ định lí về sự phân tích (hay biểu thị) một vectơ theo hai vectơ hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳng chúng ta có thể chứng minh được định lí sau đây:

Định lí 1

Trong không gian cho hai vectơ a→, b→ không cùng phương và vectơ c→. Khi đó ba vectơ a→, b→, c→ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c→ = ma→ + nb→. Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.

Định lí 2

Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a→, b→, c→. Khi đó với mọi vectơ x→ ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x→ = ma→ + nb→ + pc→. Ngoại ra bộ ba số m, n, p là duy nhất.

II. Bài tập Vectơ trong không gian

Câu 1: Cho hình hộp $A B C D . A' B' C' D'$ . Một đường thẳng $∆$ cắt các đường thẳng $A A', B C, C' D'$ lần lượt tại $M, N, P$ sao cho $\vec{N M} = 2 \vec{N P}$ . Tính $\frac{M A}{M A'}$ .

A. $\frac{M A}{M A'} = 1$

B. $\frac{M A}{M A'} = \sqrt{2}$

C. $\frac{M A}{M A'} = 2$

D. $\frac{M A}{M A'} = \sqrt{3}$

Đáp án: C

Câu 2: Giả sử $M, N, P$ là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh $S A, S B, S C$ cỏ tứ diện SABC. Gọi I là giao điểm của ba mặt phẳng $(B C M), (C A N), (A B P)$ và J là giao điểm của ba mặt phẳng $(A N P), (B P M), (C M N)$ .

Ta được $S, I, J$ thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\frac{M S}{M A} + \frac{N S}{N B} + \frac{P S}{P C} + \frac{1}{2} = \frac{J S}{J I}$

B. $\frac{M S}{M A} + \frac{N S}{N B} + \frac{P S}{P C} + \frac{1}{4} = \frac{J S}{J I}$

C. $\frac{M S}{M A} + \frac{N S}{N B} + \frac{P S}{P C} + \frac{1}{3} = \frac{J S}{J I}$

D. $\frac{M S}{M A} + \frac{N S}{N B} + \frac{P S}{P C} + 1 = \frac{J S}{J I}$

Đáp án: D

Câu 3: Cho hình hộp $A B C D . A' B' C' D'$ . Xác định vị trí các điểm $M, N$ lần lượt trên $A C$ và $D C'$ sao cho $M N ∥ B D'$ . Tính tỉ số $\frac{M N}{B D'}$ bằng?

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1

D. $\frac{2}{3}$

Đáp án: A

Câu 4. Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho

$\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B}, \vec{B N} = \frac{2}{3} \vec{B C},$

$\vec{A Q} = \frac{1}{2} \vec{A D}, \vec{D P} = k \vec{D C}$ .

Hãy xác định k để M, N, P, Q đồng phẳng.

A. $k = \frac{1}{2}$

B. $k = \frac{1}{3}$

C. $k = \frac{1}{4}$

D. $k = \frac{1}{5}$

Đáp án: A

Câu 5: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: $\vec{O I} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ .

B. Vì $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$ nên bốn điểm $A, B, C, D$ đồng phẳng.

C. Vì $\vec{N M} + \vec{N P} = \vec{0}$ nên N là trung điểm đoạn NP.

D. Từ hệ thức $\vec{A B} = 2 \vec{A C} - 8 \vec{A D}$ ta suy ra ba vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}$ đồng phẳng.

Đáp án: B

Câu 6: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Ba véctơ $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng

B. Ba tia $O x, O y, O z$ vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.

C. Cho hai véctơ không cùng phương $\overset{⇀}{a}$ và $\overset{⇀}{b}$ . Khi đó ba véctơ $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m,n sao cho $\overset{⇀}{c} = m \overset{⇀}{a} + n \overset{⇀}{b}$ , ngoài ra cặp số m,n là duy nhất.

D. Nếu có $m \overset{⇀}{a} + n \overset{⇀}{b} + p \overset{⇀}{c} = \overset{⇀}{0}$ và một trong ba số m,n,p khác 0 thì ba véctơ $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}$ đồng phẳng.

Đáp án: A

Câu 7: Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: $\vec{I A} + (2 k - 1) \vec{I B} + k \vec{I C} + \vec{I D} = \vec{0}$

A. $k = 2$

B. $k = 4$

C. $k = 1$

D. $k = 0$

Đáp án: C

Câu 8: Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng thì từ $m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}$ ta suy ra $m = n = p = 0$

B. Nếu có $m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}$ , trong đó $m^{2} + n^{2} + p^{2} > 0$ thì $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn $m + n + p \neq 0$ ta có $m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}$ thì $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

D. Nếu giá của $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng qui thì $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

Đáp án: D

Câu 9: Cho hình lăng trụ $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ , M là trung điểm của. Đặt $\vec{C A} = \vec{a}$ , $\vec{C B} = \vec{b}$ , $\vec{A A'} = \vec{c}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{A M} = \vec{a} + \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{b}$

B. $\vec{A M} = \vec{b} + \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{a}$

C. $\vec{A M} = \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}$

D. $\vec{A M} = \vec{a} - \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{b}$

Đáp án: C

Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ . Đặt $\vec{A A^{'}} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c},$ $\vec{B C} = \vec{d}$ . Trong các biểu thức véctơ sau đây, biểu thức nào đúng.

A. $\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$

B. $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$

C. $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d} = 0$

D. $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{d}$

Đáp án: C

Câu 11: Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC. Đẳng thức đúng là.

A. $6 \vec{S I} = \vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C}$

B. $\vec{S I} = \vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C}$

C. $\vec{S I} = 3 (\vec{S A} - \vec{S B} + \vec{S C})$

D. $\vec{S I} = \frac{1}{3} \vec{S A} + \frac{1}{3} \vec{S B} + \frac{1}{3} \vec{S C}$

Đáp án: D

Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng.

A. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng.

B. Ba véctơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng thì có $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$ với m,n là các số duy nhất.

C. Ba véctơ không đồng phẳng khi có $\vec{d} = m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c}$ với $\vec{d}$ là véctơ bất kì.

D. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.

Đáp án: B

Câu 13: Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: $\vec{A C} + \vec{B A^{'}} + k (\vec{D B} + \vec{C' D}) = \vec{0}$ .

A. $k = 0$

B. $k = 1$

C. $k = 4$

D. $k = 2$

Đáp án: B

Câu 14: Cho hình chóp $S . A B C$ . Lấy các điểm $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ lần lượt thuộc các tia $S A, S B, S C$ sao cho $S A = a . S A^{'}, S B = b . S B^{'},$ $S C = c . S C^{'}$ , trong đó $a, b, c$ là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa $a, b, c$ để mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'})$ đi qua trọng tâm của tam giác ABC.

A. $a + b + c = 3$

B. $a + b + c = 4$

C. $a + b + c = 2$

D. $a + b + c = 1$

Đáp án: A

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt $\vec{S A} = \vec{a}, \vec{S B} = \vec{b}, \vec{S C} = \vec{c},$ $\vec{S D} = \vec{d}$ . Khẳng định nào sau đây đúng.

A. $\vec{a} + \vec{c} = \vec{d} + \vec{b}$

B. $\vec{a} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{b} = \vec{0}$

C. $\vec{a} + \vec{d} = \vec{b} + \vec{c}$

D. $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c} + \vec{d}$

Đáp án: A

Câu 16: Cho hình hộp $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\vec{A C_{1}} + \vec{A_{1} C} = 2 \vec{A C}$

B. $\vec{A C_{1}} + \vec{C A_{1}} + 2 \vec{C_{1} C} = \vec{0}$

C. $\vec{A C_{1}} + \vec{A_{1} C} = \vec{A A_{1}}$

D. $\vec{C A_{1}} + \vec{A C} = \vec{C C_{1}}$

Đáp án: A

Câu 17: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{O}$ .

B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu $\vec{A B} = \vec{C D}$ .

C. Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có $\vec{S B} + \vec{S D} = \vec{S A} + \vec{S C}$ thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$ .

Đáp án: C

Câu 18: Cho hình lập phương $A B C D . E F G H$ có cạnh bằng a. Ta có $\vec{A B} . \vec{E G}$ bằng?

A. $a^{2} \sqrt{2}$

B. $a^{2}$

C. $a^{2} \sqrt{3}$

D. $\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$

Đáp án: B

Câu 19: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A,B,C,D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A,B,C,D tạo thành hình bình hành là:

A. $\vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} = \vec{O C} + \frac{1}{2} \vec{O D}$

B. $\vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O C} = \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O D}$

C. $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{O D}$

D. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$

Đáp án: C

Câu 20: Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành $A B B ’ A ’$ và $B C C^{'} B^{'}$ . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng

B. $\vec{I K} = \frac{1}{2} \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A^{'} C^{'}}$

C. Ba vectơ $\vec{B D}; \vec{I K}; \vec{B^{'} C^{'}}$ không đồng phẳng.

D. $\vec{B D} + 2 \vec{I K} = 2 \vec{B C}$

Đáp án: C

Câu 21: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M,N sao cho $A M = 3 M D$ , $B N = 3 N C$ . Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ $\vec{B D}, \vec{A C}, \vec{M N}$ đồng phẳng.

B. Các vectơ $\vec{M N}, \vec{D C}, \vec{P Q}$ đồng phẳng.

C. Các vectơ $\vec{A B}, \vec{D C}, \vec{P Q}$ đồng phẳng.

D. Các vectơ $\vec{A B}, \vec{D C}, \vec{M N}$ đồng phẳng.

Đáp án: A

Câu 22: Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC. Đẳng thức đúng là.

Đáp án: D

Câu 23: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Khẳng định nào sau đây sai ?

(ảnh 8)

Đáp án: C

Câu 24: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ tâm O. Khẳng định nào dưới đây là sai ?

Đáp án: C

Câu 25: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

A. $\vec{A D} + \vec{C B} + \vec{B C} + \vec{D A} = \vec{0}$

B. $\vec{A B} . \vec{B C} = - \frac{a^{2}}{2}$

C. $\vec{A C} . \vec{A D} = \vec{A C} . \vec{C D} .$

D. $A B ⊥ C D$ hay $\vec{A B} . \vec{C D} = 0$

Đáp án: C

Câu 26: Cho tứ diện ABCD. Đặt $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}, \vec{A D} = \vec{c},$ gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. $\vec{A G} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

B. $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

C. $\vec{A G} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

D. $\vec{A G} = \frac{1}{4} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Đáp án: B

Câu 27: Cho hình hộp $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Gọi M là trung điểm AD. Chọn đẳng thức đúng.

A. $\vec{B_{1} M} = \vec{B_{1} B} + \vec{B_{1} A_{1}} + \vec{B_{1} C_{1}}$

B. $\vec{C_{1} M} = \vec{C_{1} C} + \vec{C_{1} D_{1}} + \frac{1}{2} \vec{C_{1} B_{1}}$

C. $\vec{C_{1} M} = \vec{C_{1} C} + \frac{1}{2} \vec{C_{1} D_{1}} + \frac{1}{2} \vec{C_{1} B_{1}}$

D. $\vec{B B_{1}} + \vec{B_{1} A_{1}} + \vec{B_{1} C_{1}} = 2 \vec{B_{1} D}$

Đáp án: B

Câu 28: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ (G là trọng tâm của tứ diện). Gọi $G_{0}$ là giao điểm của GA và mp $(B C D)$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\vec{G A} = - 2 \vec{G_{0} G}$

B. $\vec{G A} = 4 \vec{G_{0} G}$

C. $\vec{G A} = 3 \vec{G_{0} G}$

D. $\vec{G A} = 2 \vec{G_{0} G}$

Đáp án: C

Câu 29: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ $\vec{A B}, \vec{D C}, \vec{M N}$ đồng phẳng.

B. Các vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{M N}$ không đồng phẳng.

C. Các vectơ $\vec{A N}, \vec{C M}, \vec{M N}$ đồng phẳng.

D. Các vectơ $\vec{B D}, \vec{A C}, \vec{M N}$ đồng phẳng.

Đáp án: C

Câu 30: Cho tứ diện ABCD. Người ta định nghĩa “ G là trọng tâm tứ diện ABCD khi $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ ”. Khẳng định nào sau đây sai ?