Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian | Giải Toán lớp 11

Trần Thị Hường Ngày: 20-05-2022 Lớp 11

506

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về vectơ trong không gian lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Câu hỏi 1 trang 85 SGK Hình học 11: Cho hình tứ diện

A B C D .

Hãy chỉ ra các vecto có điểm đầu là

A

và điểm cuối là các điểm còn lại của hình tứ diện. Các vecto đó có cùng nằm trong một mặt phẳng không ?

Lời giải:

Các vecto có điểm đầu là $A$ và điểm cuối là các điểm còn lại của hình tứ diện là:

$\vec{A B}; \vec{A C}; \vec{A D}$

Các vecto đó không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Câu hỏi 2 trang 85 SGK Hình học 11: Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Hãy kể tên các vecto có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vecto

\vec{A B}

Lời giải:

Các vecto có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vecto $\vec{A B}$ là:

$\vec{D C}; \vec{A^{'} B^{'}}; \vec{D^{'} C^{'}}$ .

Câu hỏi 3 trang 86 SGK Hình học 11: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Hãy thực hiện các phép toán sau đây (h.3.2):

$\begin{aligned} a) \vec{A B} + \vec{C D} + \vec{E F} + \vec{G H} \\ b) \vec{B E} - \vec{C H} \end{aligned}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các quan hệ véc tơ bằng nhau, đối nhau để tính toán.

Lời giải:

$\begin{aligned} a) A B = C D \Rightarrow \vec{C D} = - \vec{A B} \\ E F = G H \Rightarrow \vec{G H} = - \vec{E F} \\ \vec{A B} + \vec{C D} + \vec{E F} + \vec{G H} \\ = \vec{A B} - \vec{A B} + \vec{E F} - \vec{E F} \\ = \vec{0} - \vec{0} = \vec{0} \end{aligned}$

b) Tứ giác $B C H E$ có:

$B C = E H$ và $B C / / E H$ nên là hình bình hành.

$\Rightarrow \vec{B E} = \vec{C H} \Rightarrow \vec{B E} - \vec{C H} = \vec{0}$ .

Câu hỏi 4 trang 87 SGK Hình học 11: Trong không gian cho hai vecto

\vec{a}; \vec{b}

đều khác vecto – không.

Hãy xác định các vecto $\vec{m} = 2 \vec{a}; \vec{n} = - 3 \vec{b}; \vec{p} = \vec{m} + \vec{n}$ .

Phương pháp giải:

- Vẽ các véc tơ $\vec{a}; \vec{b}$ bất kì.

- Chọn một điểm làm gốc, lần lượt dựng hai véc tơ $\vec{m}; \vec{n}$ .

- Sử dụng quy tắc hình bình hành dựng véc tơ $\vec{p}$ .

Lời giải:

Lấy điểm $I$ bất kì.

+) Vẽ $\vec{I M}$ sao cho:

${\begin{cases} I M = 2 | \vec{a} | \\ I M / / a \\ \vec{a}; \vec{I M} cùng hướng \end{cases}$

+) Vẽ $\vec{I N}$ sao cho:

${\begin{cases} I N = 3 | \vec{b} | \\ I N / / b \\ \vec{b}; \vec{I N} ngược hướng \end{cases}$

+) Vẽ hình bình hành $I M P N$

$\Rightarrow \vec{p} = \vec{I P}$ .

Câu hỏi 5 trang 89 SGK Hình học 11: Cho hình hộp

A B C D . E F G H

. Gọi

I

và

K

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B

và

B C

. Chứng minh rằng các đường thẳng

I K

và

E D

song song với mặt phẳng

(A F C)

. Từ đó suy ra ba vecto

\vec{A F}; \vec{I K}; \vec{E D}

đồng phẳng.

Phương pháp giải:

Ba véc tơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Lời giải:

$I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A B$ và $B C$ $\Rightarrow I K$ là đường trung bình của $∆ A B C$ nên $I K / / A C \subset (A C F) \Rightarrow I K / / (A C F)$

Hình hộp $A B C D . E F G H$ nên $(A D H E) / / (B C G F)$

$\Rightarrow F C / / E D$ (là đường chéo trong các hình bình hành $B C G F$ và $A D H E)$

Nên $E D / / (A F C)$ .

Ngoài ra $A F \subset (A C F)$

⇒ ba vecto $\vec{A F}; \vec{I K}; \vec{E D}$ đồng phẳng (vì giá của chúng song song với một mặt phẳng, có thể chọn một mặt phẳng bất kì song song với $(A C F)$ ).

Câu hỏi 6 trang 89 SGK Hình học 11: Cho hai vecto

\vec{a}; \vec{b}

đều khác vecto

\vec{0}

. Hãy xác định vecto

\vec{c} = 2 \vec{a} - \vec{b}

và giải thích tại sao ba vecto

\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}

đồng phẳng.

Phương pháp giải:

- Dựng hai véc tơ $\vec{a}; \vec{b}$ .

- Chọn một điểm làm gốc, vẽ hai véc tơ $2 \vec{a}; - \vec{b}$ .

- Sử dụng quy tắc hình bình hành dựng véc tơ $\vec{c}$ .

Lời giải:

$\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ đồng phẳng vì $\vec{a}; \vec{b}$ không cùng phương và có cặp số (2; -1) sao cho : $\vec{c} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ .

Câu hỏi 7 trang 89 SGK Hình học 11: Cho ba vecto $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ trong không gian. Chứng minh rằng nếu $m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}$ và một trong ba số $m, n, p$ khác không thì ba vecto $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ đồng phẳng.

Phương pháp giải:

Ba vecto đồng phẳng nếu ta có thể biểu diễn một vecto theo hai vecto còn lại.

Lời giải:

Giả sử $p \neq 0$ ta có:

$\begin{aligned} m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0} \\ \Rightarrow m \vec{a} + n \vec{b} = - p \vec{c} \\ \vec{c} = \frac{- m}{p} \vec{a} + \frac{- n}{p} \vec{b} \end{aligned}$

Do đó, ba vecto $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ đồng phẳng theo định lí 1.

Bài tập trang 91, 92 SGK Toán 11

Bài 1 trang 91 sgk Hình học 11: Cho hình lăng trụ tứ giác:

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Mặt phẳng

(P)

cắt các cạnh bên

A A^{'}, B B^{'}, C C^{'}, D D^{'}

lần lượt tại

I, K, L, M

. Xét các véctơ có các điểm đầu là các điểm

I, K, L, M

và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. hãy chỉ ra các véctơ:

a) Cùng phương với $\vec{I A}$ ;

b) Cùng hướng với $\vec{I A}$ ;

c) Ngược hướng với $\vec{I A}$ .

Phương pháp giải:

Các vector được gọi là cùng phương khi và chỉ khi giá của các vector đó song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Lời giải:

a) Các véctơ có các điểm đầu là các điểm $I, K, L, M$ và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ mà cùng phương với $\vec{I A}$ là: $\vec{I A^{'}}$ , $\vec{K B}$ , $\vec{K B^{'}}$ , $\vec{L C}$ , $\vec{L C^{'}}$ , $\vec{M D}$ , $\vec{M D^{'}}$ .

b) Các véctơ có các điểm đầu là các điểm $I, K, L, M$ và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ mà cùng hướng với $\vec{I A}$ là: $\vec{K B}$ , $\vec{L C}$ , $\vec{M D}$ .

c) Các véctơ có các điểm đầu là các điểm $I, K, L, M$ và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ mà ngược hướng với $\vec{I A}$ là: $\vec{I A^{'}}$ , $\vec{K B^{'}}$ , $\vec{L C^{'}}$ , $\vec{M D^{'}}$ .

Bài 2 trang 91 sgk hình học 11: Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Chứng minh rằng:

a) $\vec{A B}$ + $\vec{B^{'} C^{'}}$ + $\vec{D D^{'}}$ = $\vec{A C^{'}}$ ;

b) $\vec{B D}$ - $\vec{D^{'} D}$ - $\vec{B^{'} D^{'}}$ = $\vec{B B^{'}}$ ;

c) $\vec{A C}$ + $\vec{B A^{'}}$ + $\vec{D B}$ + $\vec{C^{'} D}$ = $\vec{0}$ .

Phương pháp giải:

Dựa vào các vector bằng nhau và quy tắc ba điểm.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{B^{'} C^{'}} = \vec{B C}; \vec{D D^{'}} = \vec{C C^{'}}$

$\vec{A B}$ + $\vec{B^{'} C^{'}}$ + $\vec{D D^{'}}$

= $\vec{A B}$ + $\vec{B C}$ + $\vec{C C^{'}}$

$= \vec{A C} + \vec{C C^{'}}$

= $\vec{A C^{'}}$ ;

b) $\vec{B D}$ - $\vec{D^{'} D}$ - $\vec{B^{'} D^{'}}$

= $\vec{B D}$ + $\vec{D D^{'}}$ + $\vec{D^{'} B^{'}}$

$= \vec{B D^{'}} + \vec{D^{'} B^{'}}$

= $\vec{B B^{'}}$ ;

c) Ta có: $B A^{'} D^{'} C$ là hình bình hành $\Rightarrow \vec{B A^{'}} = \vec{C D^{'}}$

$B D D^{'} B^{'}$ là hình bình hành $\Rightarrow \vec{D B} = \vec{D^{'} B^{'}}$

$A B^{'} C^{'} D$ là hình bình hành $\Rightarrow \vec{C^{'} D} = \vec{B^{'} A}$

$\vec{A C}$ + $\vec{B A^{'}}$ + $\vec{D B}$ + $\vec{C^{'} D}$

= $\vec{A C}$ + $\vec{C D^{'}}$ + $\vec{D^{'} B^{'}}$ + $\vec{B^{'} A}$

$= \vec{A D^{'}} + \vec{D^{'} B^{'}} + \vec{B^{'} A}$

$= \vec{A B^{'}} + \vec{B^{'} A}$

= $\vec{0}$ .

Bài 3 trang 91 sgk hình học 11: Cho hình bình hành

A B C D

. Gọi

S

là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa hình bình hành.

Chứng minh rằng: $\vec{S A}$ + $\vec{S C}$ = $\vec{S B}$ + $\vec{S D} .$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$ , với M là một điểm bất kì trong không gian và i là trung điểm của AB.

Lời giải:

Gọi $O$ là tâm của hình bình hành $A B C D$ , ta có $O$ là trung điểm của $A C$ và $B D$ .

Khi đó:

${\begin{matrix} \vec{S A} + \vec{S C} = 2 \vec{S O} \\ \vec{S B} + \vec{S D} = 2 \vec{S O} \end{matrix}$ $\Rightarrow \vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D} (d p c m)$

Bài 4 trang 92 sgk hình học 11: Cho hình tứ diện

A B C D

. Gọi

M

và

N

lần lượt là trung điểm của

A B

và

C D

. Chứng minh rằng:

a) $\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{B C});$

b) $\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{B D}) .$

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc ba điểm

Lời giải:

a) $\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A D} + \vec{D N} .$

$\vec{M N} = \vec{M B} + \vec{B C} + \vec{C N} .$

Cộng từng vế ta được:

$\begin{array}{l} 2 \vec{M N} \\ = (\vec{M A} + \vec{M B}) + (\vec{A D} + \vec{B C}) + (\vec{D N} + \vec{C N}) \end{array}$

Do $M, N$ là trung điểm của $A B, C D$ nên $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$ và $\vec{D N} + \vec{C N} = \vec{D N} + \vec{N D} = \vec{0}$

$\Rightarrow 2 \vec{M N} = \vec{0} + (\vec{A D} + \vec{B C}) + \vec{0}$ $= \vec{A D} + \vec{B C}$

$\Rightarrow \vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{B C})$

$\begin{aligned} \vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A C} + \vec{C N} \\ \vec{M N} = \vec{M B} + \vec{B D} + \vec{D N} \end{aligned}$

Cộng từng vế ta được:

$\begin{array}{l} 2 \vec{M N} \\ = (\vec{M A} + \vec{M B}) + (\vec{A C} + \vec{B D}) + (\vec{C N} + \vec{D N}) \\ = \vec{0} + (\vec{A C} + \vec{B D}) + \vec{0} \\ = \vec{A C} + \vec{B D} \end{array}$

$\Rightarrow \vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{B D}) .$

Bài 5 trang 92 sgk hình học 11: Cho hình tứ diện

A B C D

. Hãy xác định hai điểm

E, F

sao cho:

a) $\vec{A E} = \vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D};$

b) $\vec{A F} = \vec{A B} + \vec{A C} - \vec{A D} .$

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc hình bình hành.

Lời giải:

a) Lấy điểm $G$ sao cho $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A G}$

$\Rightarrow$ $G$ là đỉnh của hình bình hành $A B G C$ . Ta có:

$\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = \vec{A E}$ $\Leftrightarrow \vec{A G} + \vec{A D} = \vec{A E}$

$\Rightarrow$ $E$ là đỉnh của hình bình hành $A D E G$ .

Hay $A E$ là đường chéo của hình hộp có ba cạnh $A B, A C, A D$ .

b) Ta có

$\begin{array}{l} \vec{A B} + \vec{A C} - \vec{A D} = \vec{A F} \\ \Leftrightarrow \vec{A G} - \vec{A D} = \vec{A F} \\ \Leftrightarrow \vec{D G} = \vec{A F} \end{array}$

$\Rightarrow$ $F$ là đỉnh của hình bình hành $A D G F$ .

Bài 6 trang 92 sgk hình học 11: Cho hình tứ diện

A B C D

. Gọi

G

là trọng tâm tam giác

A B C

. Chứng minh rằng:

\vec{D A} + \vec{D B} + \vec{D C} = 3 \vec{D G} .

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc ba điểm và công thức

\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}

với G là trọng tâm của tam giác ABC.

Lời giải:

Theo quy tắc ba điểm ta có:

${\begin{cases} \vec{D A} = \vec{D G} + \vec{G A} \\ \vec{D B} = \vec{D G} + \vec{G B} \\ \vec{D C} = \vec{D G} + \vec{G C} \end{cases}$

$\begin{aligned} \Rightarrow \vec{D A} + \vec{D B} + \vec{D C} \\ = \vec{D G} + \vec{G A} + \vec{D G} + \vec{G B} + \vec{D G} + \vec{G C} \\ = 3 \vec{D G} + \underset{\vec{0}}{\underset{⏟}{(\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C})}} \\ = 3 \vec{D G} \end{aligned}$

(Do $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{D C} = \vec{0}$ ).

Bài 7 trang 92 sgk hình học 11: Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN và P là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:

a) $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} = \vec{0};$

b) $\vec{P I} = \frac{1}{4} (\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D}) .$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$ với $M$ là điểm bất kì trong không gian và $I$ là trung điểm của $A B$ .

b) Sử dụng quy tắc ba điểm.

Lời giải:

$\vec{I A} + \vec{I C} = 2 \vec{I M},$ (Vì $M$ là trung điểm của $A C$ )

$\vec{I B} + \vec{I D} = 2 \vec{I N} .$ (Vì $N$ là trung điểm của $B D$ )

Cộng từng vế ta được:

$\vec{I A} + \vec{I C} + \vec{I B} + \vec{I D}$ $= 2 (\vec{I M} + \vec{I N}) = \vec{0}$

(Vì $I$ là trung điểm của $M N$ ).

$\begin{array}{l} V P = \frac{1}{4} (\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D}) \\ = \frac{1}{4} (\vec{P I} + \vec{I A} + \vec{P I} + \vec{I B} + \vec{P I} + \vec{I C} + \vec{P I} + \vec{I D}) \\ = \frac{1}{4} (4 \vec{P I} + \underset{\vec{0}}{\underset{⏟}{\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D}}}) \\ = \frac{1}{4} .4 \vec{P I} \\ = \vec{P I} \\ = V T \end{array}$

Bài 8 trang 92 sgk hình học 11: Cho hình lăng trụ tam giác

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có

\vec{A A^{'}}

\vec{a}

\vec{A B}

\vec{b}

\vec{A C}

\vec{c}

. Hãy phân tích (hay biểu thị véctơ

\vec{B^{'} C}

\vec{B C^{'}}

qua các véctơ

\vec{a}

\vec{b}

\vec{c}

Phương pháp giải:

Xen điểm thích hợp để làm xuất hiện các véc tơ

\vec{a}

\vec{b}

\vec{c}

, sử dụng các cặp vecto bằng nhau và bằng các vecto đã cho.

Lời giải:

$\begin{aligned} \vec{B^{'} C} = \vec{B^{'} A^{'}} + \vec{A^{'} A} + \vec{A C} \\ = - \vec{A B} - \vec{A A^{'}} + \vec{A C} \\ = - \vec{b} - \vec{a} + \vec{c} \\ \vec{B C^{'}} = \vec{B A} + \vec{A A^{'}} + \vec{A^{'} C^{'}} \\ = - \vec{A B} + \vec{A A^{'}} + \vec{A C} \\ = - \vec{b} + \vec{a} + \vec{c} \end{aligned}$

Nhận xét: Ba véctơ $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ ở trên gọi là bộ ba véctơ cơ sở (dùng để phân tích các véctơ khác).

Cách khác:

$\begin{array}{l} \vec{B^{'} C} = \vec{A C} - \vec{A B^{'}} \\ = \vec{A C} - (\vec{A B} + \vec{B B^{'}}) \\ = \vec{A C} - \vec{A B} - \vec{B B^{'}} \\ = \vec{A C} - \vec{A B} - \vec{A A^{'}} \\ = \vec{c} - \vec{b} - \vec{a} \\ \vec{B C^{'}} = \vec{A C^{'}} - \vec{A B} \\ = \vec{A A^{'}} + \vec{A^{'} C^{'}} - \vec{A B} \\ = \vec{A A^{'}} + \vec{A C} - \vec{A B} \\ = \vec{a} + \vec{c} - \vec{b} \end{array}$

Bài 9 trang 92 sgk hình học 11: Cho tam giác

A B C

. Lấy điểm

S

nằm ngoài mặt phẳng

(A B C)

. Trên đoạn

S A

lấy điểm

M

sao cho

\vec{M S}

- 2 \vec{M A}

và trên đoạn

B C

lấy điểm

N

sao cho

\vec{N B} = - \frac{1}{2} \vec{N C} .

Chứng minh rằng ba véctơ

\vec{A B}

\vec{M N}

\vec{S C}

đồng phẳng.

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả của định lí 1 về điều kiện để ba vector đồng phẳng.

Trong không gian cho hai vector $\vec{a}; \vec{b}$ không cùng phương và vector $\vec{c}$ . Khi đó ba vector $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số $m; n$ sao cho $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$ . Ngoài ra cặp số $m; n$ là duy nhất.

Lời giải:

Biểu diễn $\vec{M N}$ qua hai véc tơ $\vec{A B}, \vec{S C}$ :

Ta có:

$\vec{M N} = \vec{M S} + \vec{S C} + \vec{C N}$ $= \frac{2}{3} \vec{A S} + \vec{S C} + \frac{2}{3} \vec{C B} (1)$

$\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A B} + \vec{B N}$ $= - \frac{1}{3} \vec{A S} + \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{C B} (2)$

Nhân (2) với $2$ rồi cộng với (1) ta được:

$3 \vec{M N}$ = $\vec{S C}$ + $2 \vec{A B}$ $\Leftrightarrow \vec{M N} = \frac{1}{3} \vec{S C} + \frac{2}{3} \vec{A B} .$

Vậy $\vec{A B}$ , $\vec{M N}$ , $\vec{S C}$ đồng phẳng.

Bài 10 trang 92 sgk hình học 11: Cho hình hộp

A B C D . E F G H

. Gọi

K

là giao điểm của

A H

và

D E

I

là giao điểm của

B H

và

D F

. Chứng minh ba véctơ

\vec{A C}

\vec{K I}

\vec{F G}

đồng phẳng.

Phương pháp giải:

Chứng minh giá của các véctơ

\vec{K I}

\vec{F G}

song song với mặt phẳng

(A B C D)

chứa véctơ

\vec{A C}

. Từ đó suy ra ba véctơ đồng phẳng.

Lời giải:

$I = B H \cap D F$ là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành $B D H F$ do đó $I$ là trung điểm của $B H$ .

$K$ là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành $A D H E$ do đó $K$ là trung điểm của $A H$ .

$\Rightarrow K I$ là đường trung bình của tam giác $A B H$ .

$\Rightarrow K I / / A B \Rightarrow K I / / (A B C D)$ (1)

Ta có: $B C G F$ là hình bình hành

$\Rightarrow F G / / B C \Rightarrow F G / / (A B C D)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: các véctơ $\vec{K I}$ , $\vec{F G}$ song song với mặt phẳng $(A B C D)$ chứa véctơ $\vec{A C}$

Vậy $\vec{A C}$ , $\vec{K I}$ , $\vec{F G}$ đồng phẳng.

Lý thuyết Bài 1: Vectơ trong không gian

1. Định nghĩa:

Véctơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu $\vec{A B}$ chỉ véctơ có điểm đầu $A$ , điểm cuối $B$ . Véctơ còn đc kí hiệu là $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ ,...

2. Các quy tắc về véctơ

- Quy tắc 3 điểm: $\vec{A C}$ = $\vec{A B}$ + $\vec{B C}$ .

Hoặc: $\vec{A C}$ = $\vec{B C}$ + $\vec{A B}$ .

- Quy tắc hình bình hành: cho hình bình hành $A B C D$ : $\vec{A C}$ = $\vec{A B}$ + $\vec{A D}$ .

- Quy tắc trung tuyến: $A M$ là trung tuyến của tam giác $A B C$ thì: $\vec{A M}$ = $\frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) .$

- Quy tắc trọng tâm: $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ thì: $\vec{G A}$ + $\vec{G B}$ + $\vec{G C}$ = $\vec{0}$ .

- Quy tắc hình hộp: cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ thì: $\vec{A B}$ + $\vec{A D}$ + $\vec{A A^{'}}$ = $\vec{A C^{'}}$ .

3. Sự đồng phẳng của các véctơ, điều kiện để ba véctơ đồng phẳng

Định nghĩa: ba véctơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng:

Định lí 1: cho ba véctơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ , trong đó véctơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba véctơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ đồng phẳng là có các số $m, n$ sao cho $\vec{c}$ = $m \vec{a}$ + $n \vec{b}$ . Hơn nữa các số $m, n$ là duy nhất.

Định lí 2: nếu $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ , là ba véctơ không đồng phẳng thì với mỗi véctơ $\vec{d}$ ta tìm được các số $m, n, p$ sao cho $\vec{d}$ = $m \vec{a}$ + $n \vec{b}$ + $p \vec{c}$ . Hơn nữa các số $m, n, p$ là duy nhất.