Toán 11 Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc| Giải Toán lớp 11

Trần Thị Hường Ngày: 20-05-2022 Lớp 11

359

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về hai đường thẳng vuông góc lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Câu hỏi 1 trang 93 SGK Hình học 11: Cho tứ diện đều

A B C D

có

H

là trung điểm của cạnh

A B

. Hãy tính góc giữa các cặp vecto sau đây:

a) $\vec{A B}$ và $\vec{B C}$

b) $\vec{C H}$ và $\vec{A C}$

Lời giải:

Tứ diện $A B C D$ đều có các mặt là tam giác đều.

a) Góc giữa $\vec{A B}$ và $\vec{B C}$ là góc $α$ và $α = 180^{0} - 60^{0} = 120^{0}$

b) Góc giữa $\vec{C H}$ và $\vec{A C}$ là góc $β$

$H$ là trung điểm cạnh $A B$ của tam giác đều $A B C$ nên $C H$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên $C H ⊥ A B$

Xét tam giác vuông $A C H$ tại $H$ có $\hat{A C H} + \hat{C A H} = 90^{0}$ $\Rightarrow \hat{A C H} = 90^{0} - 60^{0} = 30^{0}$

Nên $β = 180^{0} - 30^{0} = 150^{0}$ .

Câu hỏi 2 trang 94 SGK Hình học 11: Cho hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

a) Hãy phân tích các vecto $\vec{A C^{'}}; \vec{B D}$ theo ba vecto $\vec{A B}; \vec{A D}; \vec{A A}^{'}$

b) Tính cos ( $\vec{A C^{'}}; \vec{B D}$ ) và từ đó suy ra $\vec{A C^{'}}; \vec{B D}$ vuông góc với nhau

Lời giải:

$\begin{aligned} a) \\ \vec{A C^{'}} = \vec{A C} + \vec{A A}^{'} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A}^{'} \\ \vec{B D} = \vec{A D} - \vec{A B} \\ b) \\ \cos (\vec{A C^{'}}, \vec{B D}) = \frac{\vec{A C^{'}} . \vec{B D}}{| \vec{A C^{'}} | . | \vec{B D} |} \\ \vec{A C^{'}} . \vec{B D} = (\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}}) . (\vec{A D} - \vec{A B}) \\ = (\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}}) . \vec{A D} - (\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}}) . \vec{A B} \\ = \vec{A B} . \vec{A D} + \vec{A D} . \vec{A D} + \vec{A A^{'}} . \vec{A D} - \vec{A B} . \vec{A B} - \vec{A D} . \vec{A B} - \vec{A A^{'}} . \vec{A B} (1) \end{aligned}$

Hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ nên $A B, A D, A A^{'}$ đôi một vuông góc với nhau

$\begin{aligned} (1) = \vec{0} + {\vec{A D}}^{2} + \vec{0} - {\vec{A B}}^{2} - \vec{0} - \vec{0} = 0 (A B = A D) \\ \Rightarrow \cos (\vec{A C^{'}}, \vec{B D}) = \frac{\vec{A C^{'}} . \vec{B D}}{| \vec{A C^{'}} | . | \vec{B D} |} = 0 \\ \Rightarrow (\vec{A C^{'}}, \vec{B D}) = 90^{0} \end{aligned}$

Vậy hai vecto trên vuông góc với nhau.

Câu hỏi 3 trang 95 SGK Hình học 11: Cho hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} .

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:

a) $A B$ và $B^{'} C^{'}$

b) $A C$ và $B^{'} C^{'}$

c) $A^{'} C^{'}$ và $B^{'} C$

Lời giải:

a) Góc giữa $A B$ và $B^{'} C^{'}$ = góc giữa $A B$ và $B C$ (vì $B^{'} C^{'} / / B C$ )

⇒ Góc giữa $A B$ và $B^{'} C^{'}$ = $\hat{A B C} = 90^{0}$

b) Góc giữa $A C$ và $B^{'} C^{'}$ = góc giữa $A C$ và $B C$ (vì $B^{'} C^{'} / / B C$ )

⇒ Góc giữa $A C$ và $B^{'} C^{'}$ = $\hat{A C B} = 45^{0}$

c) Góc giữa $A^{'} C^{'}$ và $B^{'} C$ = góc giữa $A C$ và $B^{'} C$ (vì $A^{'} C^{'} / / A C$ )

$Δ A C B^{'}$ đều vì $A C = B^{'} C = A B^{'}$ (đường chéo của các hình vuông bằng nhau)

⇒ Góc giữa $A^{'} C^{'}$ và $B^{'} C$ = $\hat{A C B^{'}} = 60^{0}$ .

Câu hỏi 4 trang 97 SGK Hình học 11: Cho hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Hãy nêu tên các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với:

Lời giải:

a) Đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với đường thẳng $A B$ là $A D, A^{'} D^{'}, B C, B^{'} C^{'}, A A^{'}, B B^{'}, C C^{'}, D D^{'} .$

b) Đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với đường thẳng $A C$ là $B D, B^{'} D^{'}, A A^{'}, B B^{'}, C C^{'}, D D^{'} .$

Câu hỏi 5 trang 97 SGK Hình học 11: Tìm những hình ảnh trong thực tế minh họa cho sự vuông góc của hai đường thẳng trong không gian (trường hợp cắt nhau và trường hợp chéo nhau)

Lời giải:

Trường hợp cắt nhau: hai cạnh liền nhau của bàn, hai cạnh liền nhau của cửa số.

Trường hợp chéo nhau: bóng đèn tuyp trên tường tạo ra 1 đường thẳng vuông góc với cạnh của mặt tường bên cạnh.

Bài tập trang 97, 98 SGK Toán 11

Bài 1 trang 97 sgk hình học 11: Cho hình lập phương

A B C D . E F G H

. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

a) $\vec{A B}$ và $\vec{E G};$

b) $\vec{A F}$ và $\vec{E G};$

c) $\vec{A B}$ và $\vec{D H} .$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa góc giữa hai vector trong không gian.

Lời giải:

a) $(\vec{A B}, \vec{E G})$ $= (\vec{A B}, \vec{A C})$

Vì $A B C D$ là hình vuông nên $B A C = 45^{0}$

Vậy $(\vec{A B}, \vec{A C}) = 45^{0}$ hay $(\vec{A B}, \vec{E G}) = 45^{0}$

b) $(\vec{A F}, \vec{E G})$ $= (\vec{A F}, \vec{A C})$

$= \hat{F A C}$

Tam giác $A F C$ có các cạnh đều là đường chéo của các hình vuông có độ dài cạnh bằng nhau.

Do đó $A F = A C = C F$ hay tam giác $A F C$ đều.

Suy ra $\hat{F A C} = 60^{0}$ hay $(\vec{A F}, \vec{E G}) = 60^{0}$ .

c) $(\vec{A B}, \vec{D H}) = (\vec{A B}, \vec{A E})$ $= \hat{B A E} = 90^{0}$ .

Bài 2 trang 97 sgk hình học 11: Cho hình tứ diện

A B C D

a) Chứng minh rằng: $\vec{A B} . \vec{C D} + \vec{A C} . \vec{D B} + \vec{A D} . \vec{B C} = 0.$

b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện $A B C D$ có $A B ⊥ C D$ và $A C ⊥ D B$ thì $A D ⊥ B C$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc ba điểm.

Lời giải:

a) $\vec{A B} . \vec{C D} = \vec{A B} . (\vec{A D} - \vec{A C})$

$\vec{A C} . \vec{D B} = \vec{A C} . (\vec{A B} - \vec{A D})$

$\vec{A D} . \vec{B C} = \vec{A D} . (\vec{A C} - \vec{A B}) .$

Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được:

$\vec{A B} . \vec{C D} + \vec{A C} . \vec{D B} + \vec{A D} . \vec{B C}$

$= \vec{A B} (\vec{A D} - \vec{A C})$ $+ \vec{A C} . (\vec{A B} - \vec{A D})$ $+ \vec{A D} (\vec{A C} - \vec{A B})$

$= \vec{A B} . \vec{A D} - \vec{A B} . \vec{A C}$ $+ \vec{A C} . \vec{A B} - \vec{A C} . \vec{A D}$ $+ \vec{A D} . \vec{A C} - \vec{A D} . \vec{A B}$

$= \vec{A B} . \vec{A D} - \vec{A D} . \vec{A B}$ $+ \vec{A C} . \vec{A B} - \vec{A B} . \vec{A C}$ $+ \vec{A D} . \vec{A C} - \vec{A C} . \vec{A D}$

$= 0 + 0 + 0 = 0$

b) $A B ⊥ C D \Rightarrow \vec{A B} . \vec{C D} = 0,$

$A C ⊥ D B \Rightarrow \vec{A C} . \vec{D B} = 0$

Từ đẳng thức câu a ta có:

$\Rightarrow \vec{A D} . \vec{B C} = 0 \Rightarrow A D ⊥ B C$ .

Bài 3 trang 97 sgk hình học 11:

a) Trong không gian nếu có hai đường thẳng

a

và

b

cùng vuông góc với đường thẳng

c

thì

a

và

b

có song song với nhau không?

b) Trong không gian nếu đường thẳng $a$ vuông góc với đường thẳng $b$ và đường thẳng $b$ vuông góc với đường thẳng $c$ thì $a$ có vuông góc với $c$ không?

Phương pháp giải:

a) Sử dụng quan hệ vuông góc và song song giữa các đường thẳng.

b) Sử dụng quan hệ vuông góc và song song giữa các đường thẳng.

Lời giải:

$a$ và $b$ chưa chắc song song vì có thể cắt nhau, chéo nhau hay vuông góc.

Ví dụ. Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A B$ và $B C$ cùng vuông góc với $B B^{'}$ nhưng $A B$ và $B C$ cắt nhau tại $B$ , nghĩa là chúng không song song.

$a$ và $c$ chưa chắc vuông góc, chẳng hạn chúng có thể song song.

Ví dụ. Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A B$ và $A^{'} B^{'}$ cùng vuông góc với $A A^{'}$ nhưng $A B / / A^{'} B^{'}$ chứ không vuông góc.

Bài 4 trang 97 sgk hình học 11: Trong không gian cho hai tam giác đều $A B C$ và $A B C^{'}$ có chung cạnh $A B$ và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A C, C B, B C^{'}, C^{'} A,$ Chứng minh rằng:

a) $A B ⊥ C C^{'}$ ;

b) Tứ giác $M N P Q$ là hình chữ nhật.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh $\vec{A B} . \vec{C C^{'}} = 0$ .

b) Dựa vào tính chất của đường trung bình của tam giác, chứng minh $M N P Q$ là hình bình hành, từ đó chứng minh $M N P Q$ là hình chữ nhật.

Lời giải:

a) $\vec{A B} . \vec{C C^{'}} = \vec{A B} . (\vec{A C^{'}} - \vec{A C})$

$= \vec{A B} . \vec{A C^{'}} - \vec{A B} . \vec{A C}$

$= A B . A C^{'} . \cos \hat{B A C^{'}} - A B . A C . \cos \hat{B A C}$

$= a . a . \frac{1}{2} - a . a . \frac{1}{2} = 0$

$\Rightarrow A B ⊥ C C^{'}$ .

b) Theo giả thiết $Q, P$ là trung điểm của $A C^{'}, B C^{'}$ do đó $Q P$ là đường trung bình của tam giác $A B C^{'}$

Suy ra: $Q P / / A B, Q P = \frac{1}{2} A B$ (1)

Chứng minh tương tự ta có:

$P N / / C C^{'}, P N = \frac{1}{2} C C^{'}$

$M N / / A B, M N = \frac{1}{2} A B$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $M N / / Q P, M N = Q P$ . Do đó $M N P Q$ là hình bình hành.

Ta có: $M N / / A B$ , $P N / / C C^{'}$ mà $A B ⊥ C C^{'}$ do đó $M N ⊥ N P$

Hình bình hành $M N P Q$ có một góc vuông nên $M N P Q$ là hình chữ nhật.

Bài 5 trang 98 sgk hình học 11: Cho hình chóp tam giác

S . A B C

có

S A = S B = S C

và có

\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A} .

Chứng minh rằng

S A ⊥ B C, S B ⊥ A C, S C ⊥ A B

Phương pháp giải:

Chứng minh $\vec{S A} . \vec{B C} = 0; \vec{S B} . \vec{A C} = 0; \vec{S C} . \vec{A B} = 0$

Sử dụng công thức tính tích vô hướng: $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos \hat{(\vec{a}; \vec{b})}$

Lời giải:

$\vec{S A} . \vec{B C} = \vec{S A} . (\vec{S C} - \vec{S B})$

$= \vec{S A} . \vec{S C} - \vec{S A} . \vec{S B}$

$= S A . S C . \cos \hat{A S C} - S A . S B . \cos \hat{A S B} = 0$

Vậy $S A ⊥ B C$ .

$\vec{S B} . \vec{A C} = \vec{S B} . (\vec{S C} - \vec{S A})$

$= \vec{S B} . \vec{S C} - \vec{S B} . \vec{S A}$

$= S B . S C . \cos \hat{B S C} - S B . S A . \cos \hat{A S B} = 0$

Vậy $S B ⊥ A C$ .

$\vec{S C} . \vec{A B} = \vec{S C} . (\vec{S B} - \vec{S A})$

$= \vec{S C} . \vec{S B} - \vec{S C} . \vec{S A}$

$= S C . S B . \cos \hat{B S C} - S C . S A . \cos \hat{A S C} = 0$

Vậy $S C ⊥ A B$ .

Bài 6 trang 98 sgk Hình học 11: Trong không gian cho hai hình vuông

A B C D

và

A B C^{'} D^{'}

có chung cạnh

A B

và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm

O

và

O^{'}

. Chứng minh rằng

A B ⊥ O O^{'}

và tứ giác

C D D^{'} C^{'}

là hình chữ nhật.

Phương pháp giải:

+) Chứng minh $\vec{A B} . \vec{O O^{'}} = 0$ , sử dụng công thức $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}; \vec{b})$

+) Chứng minh CDD'C' là tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau và có 1 góc vuông.

Lời giải:

$\vec{A B} . \vec{O O^{'}} = \vec{A B} . (\vec{A O^{'}} - \vec{A O})$

$= \vec{A B} . \vec{A O^{'}} - \vec{A B} . \vec{A O}$

$= A B . A O^{'} . \cos 45^{0} - A B . A O . \cos 45^{0}$

$= 0$ .

Vậy $A B ⊥ O O^{'}$ .

${\begin{cases} C D / / C^{'} D^{'} \\ C D = C^{'} D^{'} \end{cases} \Rightarrow C D D^{'} C^{'}$ là hình bình hành (Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Xét tam giác $A C C^{'}$ có $O O^{'}$ là đường trung bình của tam giác nên $O O^{'} / / C C^{'}$ .

Mà $A B / / C D$ và $A B ⊥ O O^{'}$ nên $C D ⊥ C C^{'}$ .

$\Rightarrow C D D^{'} C^{'}$ là hình chữ nhật (Hình bình hành có 1 góc vuông).

Bài 7 trang 98 sgk Hình học 11: Cho

S

là diện tích tam giác

A B C

. Chứng minh rằng:

$S = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - (\vec{A B} . \vec{A C})^{2}} .$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

$\begin{array}{l} S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C . \sin A \\ \sin A = \sqrt{1 - \cos^{2} A} \\ \cos A = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{| \vec{A B} | . | \vec{A C} |} \end{array}$

Lời giải:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C . \sin A$ $= \frac{1}{2} A B . A C . \sqrt{1 - \cos^{2} A}$

$= \frac{1}{2} A B . A C . \sqrt{1 - {(\frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{| \vec{A B} | . | \vec{A C} |})}^{2}}$

$= \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} . A C^{2} - A B^{2} A C^{2} . \frac{{(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}}{{| \vec{A B} |}^{2} . {| \vec{A C} |}^{2}}}$

$= \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - A B^{2} . A C^{2} . \frac{{(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}}{A B^{2} . A C^{2}}}$

$= \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - (\vec{A B} . \vec{A C})^{2}} .$

Bài 8 trang 98 sgk hình học 11: Cho tứ diện

A B C D

có

A B = A C = A D

và

\hat{B A C} = \hat{B A D} = 60^{0} .

Chứng minh rằng:

a) $A B ⊥ C D$ ;

b) Nếu $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A B$ và $C D$ thì $M N ⊥ A B$ và $M N ⊥ C D$ .

Lời giải:

a) $\vec{A B} . \vec{C D} = \vec{A B} (\vec{A D} - \vec{A C})$

$= \vec{A B} . \vec{A D} - \vec{A B} . \vec{A C}$

$= A B . A D . \cos \hat{B A D} - A B . A C . \cos \hat{B A C} = 0$

\Rightarrow A B ⊥ C D

\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A D} + \vec{D N},

(1)

\vec{M N} = \vec{M B} + \vec{B C} + \vec{C N} .

(2)

Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:

$\begin{array}{l} 2 \vec{M N} \\ = (\vec{M A} + \vec{M B}) + (\vec{A D} + \vec{B C}) + (\vec{D N} + \vec{C N}) \\ = \vec{0} + (\vec{A D} + \vec{B C}) + \vec{0} \\ = \vec{A D} + \vec{B C} \\ \Rightarrow \vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{B C}) \\ = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{A C} - \vec{A B}) \end{array}$

Ta có $\vec{A B} . \vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{A B} . (\vec{A D} + \vec{A C} - \vec{A B})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A D} + \vec{A B} . \vec{A C} - A B^{2})$

$= \frac{1}{2} (A B . A D . \cos \hat{B A D} + A B . A C . \cos \hat{B A C} - A B^{2})$

$= \frac{1}{2} (A B . A D . \cos 60^{0} + A B . A C . \cos 60^{0} - A B^{2})$

$= \frac{1}{2} (\frac{1}{2} A B^{2} + \frac{1}{2} A B^{2} - A B^{2}) = 0$ $\Rightarrow A B ⊥ M N$ .

$\begin{array}{l} \vec{M N} . \vec{C D} \\ = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{A C} - \vec{A B}) . (\vec{A D} - \vec{A C}) \\ = \frac{1}{2} ({\vec{A D}}^{2} + \vec{A C} . \vec{A D} - \vec{A B} . \vec{A D} - \vec{A C} . \vec{A D} - {\vec{A C}}^{2} + \vec{A B} . \vec{A C}) \\ = \frac{1}{2} (A D^{2} - \vec{A B} . \vec{A D} - A C^{2} + \vec{A B} . \vec{A C}) \\ = \frac{1}{2} (A D^{2} - A B . A C \cos \hat{B A D} - A C^{2} + A B . A C . \cos \hat{B A C}) \\ = \frac{1}{2} (A B^{2} - A B^{2} \cos 60^{0} - A B^{2} + A B^{2} \cos 60^{0}) \\ = \frac{1}{2} .0 = 0 \\ \Rightarrow M N ⊥ C D \end{array}$

Lý thuyết Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc

1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

- Góc giữa hai véctơ trong không gian:

Góc giữa hai vectơ (khác véctơ không) $\vec{u}, \vec{v}$ là góc $\hat{B A C}$ với $\vec{A B} = \vec{u}$ ; $\vec{A C} = \vec{v}$

- Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

Cho hai vectơ khác vectơ không $\vec{u}, \vec{v}$ :

Biểu thức $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . c o s (\vec{u}, \vec{v})$ được gọi là tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$

Nếu $\vec{u}$ = $\vec{0}$ hoặc $\vec{v}$ = $\vec{0}$ thì ta quy ước $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = $\vec{0}$ .

2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ là véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$ nếu giá của $\vec{a}$ song song hoặc trùng với $d$ .

- Nếu $\vec{a}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ thì k $\vec{a}$ ( $k \neq 0$ ) cũng là vectơ chỉ phương của d.

3. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Định nghĩa:

Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $a^{'}$ và $b^{'}$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với $a$ và $b$

Nhận xét:

- Ta có thể lấy điểm $O$ thuộc một trong hai đường thẳng $a$ và $b$ , rồi vẽ một đường thẳng qua $O$ và song song với đường thẳng còn lại.

- Nếu $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $a$ và $b$ và ( $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) = α$ thì:

+ góc $(a; b) = α$ nếu $0^{0} \leq α \leq 90^{0}$

+ góc $(a; b) = 180^{0} - α$ nếu $90^{0} < α \leq 180^{0}$ .

- Nếu $a / / b$ hoặc $a \equiv b$ thì $\hat{(a, b)} = 0^{0}$

4. Hai đường thẳng vuông góc với nhau

a) Định nghĩa:

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^{0}$

b) Nhận xét:

- Nếu $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ lần lượt là các VTCP của $a$ và $b$ thì: $a ⊥ b \Leftrightarrow \vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} = 0$ .

- Nếu ${\begin{cases} a / / b \\ c ⊥ a \end{cases}$ thì $c ⊥ b$

- Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

c) Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng.

Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cô sin hoặc tỉ số lượng giác.

$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

Phương pháp 2: Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai đường thẳng biết hai véc tơ chỉ phương của chúng. $\cos φ = | \cos (\vec{u}, \vec{v}) | = \frac{| \vec{u} . \vec{v} |}{| \vec{u} | . | \vec{v} |}$

Để tính $\vec{u}, \vec{v}, | \vec{u} |, | \vec{v} |$ ta chọn ba véc tơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng, sau đó biểu thị các véc tơ $\vec{u}, \vec{v}$ qua các véc tơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ rồi thực hiện các tính toán.