Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải) Toán 11 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 11 ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Hai đường thẳng vuông góc (Lý thuyết + 35 bài tập có lời giải)

A. Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc

I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Góc giữa hai vectơ trong không gian

Định nghĩa

    Trong không gian, cho u→ và v→ là hai vectơ khác 0→. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho AB→ = u→, AC→ = v→. Khi đó ta gọi góc BAC ( 0° ≤ ∠BAC ≤ 180°) là góc giữa hai vectơ u→ và v→ trong không gian, kí hiệu là (u→, v→).

2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Định nghĩa

    Trong không gian, cho hai vectơ u→ và v→ đều khác 0→. Tích vô hướng của hai vectơ u→ và v→ là một số, kí hiệu là u→.v→, được xác định bởi công thức:

            u→.v→ = |u→|.|v→|.cos(u→, v→)

Trong trường hợp u→ = 0→ hoặc v→ = 0→, ta quy ước u→.v→ = 0.

II. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1. Định nghĩa

    Vectơ a→ khác 0→ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ a→ song song hoặc trùng với đường thẳng d.

2. Nhận xét

a) Nếu a→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ ka→ với k ≠ 0 cũng là vectơ chỉ phương của d.

b) Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương a→ của nó.

c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.

III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Định nghĩa

    Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

2. Nhận xét

    a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

    b) Nếu u→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và v→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và (u→, v→) = α thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng α nếu 0° ≤ α ≤ 90° và bằng 180° – α nếu 90° < α < 180°. Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°.

IV. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1. Định nghĩa

    Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.

Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a ⊥ b.

2. Nhận xét

    a) Nếu u→ và v→ lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: a ⊥ b ⇔ u→.v→ = 0.

    b) Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

    c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

B. Bài tập Hai đường thẳng vuông góc

Câu 1: Cho tứ diện có ABCD, $AB=CD=a$, $IJ=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (I,J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là

A. $30°$

B. $45°$

C. $60°$

D. $90°$

Đáp án: C

Câu 2: Cho hình hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$. Giả sử tam giác $A{B}^{\text{'}}C$ và $A^{\text{'}}D{C}^{\text{'}}$ đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $A^{\text{'}}D$ là góc nào sau đây?

A. $\widehat{BD{B}^{\text{'}}}$

B. $\widehat{A{B}^{\text{'}}C}$

C. $\widehat{D{B}^{\text{'}}B}$

D. $\widehat{D{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$

Đáp án: D

Câu 3: Cho tứ diện đều ABCD (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

A. $30°$

B. $45°$

C. $60°$

D. $90°$

Đáp án: D

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc bằng $\left(MN,SC\right)$

A. $30°$

B.  $45°$

C. $60°$

D. $90°$

Đáp án: D

Câu 5: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì $a\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}b$.

B. Nếu $a\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}b$ và $c\perp a$ thì $c\perp b$.

C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì $a\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}b$.

D. Nếu a và b cùng nằm trong mp$\left(\alpha \right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}c$ thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c.

Đáp án: B

Câu 6: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c).

B. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c

C. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.

D. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Đáp án: A

Câu 7: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vuông góc. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Tứ diện có ít nhất một mặt là tam giác nhọn.

B. Tứ diện có ít nhất hai mặt là tam giác nhọn.

C. Tứ diện có ít nhất ba mặt là tam giác nhọn.

D. Tứ diện có cả bốn mặt là tam giác nhọn.

Đáp án: A

Câu 8: Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?

A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.

B. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Đáp án: A

Câu 9: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c

B. Cho ba đường thẳng $a,b,c$ vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng SA vuông góc với a thì d song song với b hoặc c.

C. Nếu đường thẳng O vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng BD thì a vuông góc với c

D. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $\left(a,b\right)$.

Đáp án: C

Câu 10: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng

B. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không nằm trong một mặt phẳng thì đồng quy

C. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng

D. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì cùng nằm trong một mặt phẳng

Đáp án: B

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc $\left(IJ,CD\right)$ bằng 

A. $30°$

B. $45°$

C. $60°$

D. $90°$

Đáp án: C

Câu 12: Cho tứ diện ABCD có $AB=CD$. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc giữa $\left(IE,JF\right)$ bằng 

A. $30°$

B. $45°$

C. $60°$

D. $90°$

Đáp án: D

Câu 13: Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và$\overrightarrow{DH}$ ?

A. $45°$

B.  $90°$

C.  $120°$

D.  $60°$

Đáp án: B

Câu 14: Trong không gian cho hai hình vuông $ABCD$ và $ABC\text{'}D\text{'}$ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và $O\text{'}$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{OO\text{'}}$?

A. $60°$

B. $45°$

C. $120°$

D. $90°$

Đáp án: D

Câu 15: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu ?

A. $0^0$

B. ${30}^0$

C. ${90}^0$

D. ${60}^0$

Đáp án: C

Câu 16: Cho tứ diện ABCD có $AB=CD$. Gọi $I,J,E,F$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC,BD,AD$. Góc $\left(IE,JF\right)$ bằng 

A. ${30}^0$

B. ${45}^0$

C. ${60}^0$

D. ${90}^0$

Đáp án: D

Câu 17: Cho tứ diện ABCD với $AC=\frac{3}{2}AD,\widehat{ CAB}=\widehat{DAB}={60}^0,$ $CD=AD$. Gọi $\phi$ là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng ?

A. $\cos \phi =\frac{3}{4}$

B. $\phi ={60}^0$

C.  $\phi ={30}^0$

D. $\cos \phi =\frac{1}{4}$

Đáp án: D

Câu 18: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và $ABC\text{'}D\text{'}$có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và $O\text{'}$. Tứ giác $CDD\text{'}C\text{'}$ là hình gì?

A. Hình bình hành.

B. Hình vuông.

C. Hình thang.

D. Hình chữ nhật.

Đáp án: D

Câu 19: Cho tứ diện ABCD có $AB=CD=a,\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}IJ=}\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là :

A. ${30}^0.$

B. ${45}^0.$

C. ${60}^0.$

D. ${90}^0.$

Đáp án: C

Câu 20: Cho tứ diện ABCD với $AB\perp AC,AB\perp BD$. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Góc giữa PQ và AB là?

A. ${90}^0.$

B. ${60}^0.$

C. ${30}^0.$

D. ${45}^0.$

Đáp án: A

Câu 21: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ thỏa mãn: $\left|\overrightarrow{a}\right|=4;\left|\overrightarrow{b}\right|=3;\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|=4$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$. Chọn  khẳng định đúng?

A. $\cos \alpha =\frac{3}{8}$

B. $\alpha ={30}^0$

C. $\cos \alpha =\frac{1}{3}$

D. $\alpha ={60}^0$

Đáp án: A

Câu 22: Cho hình hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai?

A. $A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\perp BD$

B. $B{B}^{\text{'}}\perp BD$

C. $A^{\text{'}}B\perp D{C}^{\text{'}}$

D. $B{C}^{\text{'}}\perp A^{\text{'}}D$

Đáp án: B

Câu 23: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}$ thì $AB\perp CD$, $AC\perp BD$, $AD\perp BC$. Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}$

$\iff \overrightarrow{AC}.\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)=0$

$\iff \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=0$

$\iff AC\perp BD$

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}$

ta được $AD\perp BC$ và $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}$ ta được $AB\perp CD$.

Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương.

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Đúng.

B. Sai từ bước 1.

C. Sai từ bước 2.

D. Sai ở bước 3.

Đáp án: A

Câu 24: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng $\left(P\right)$ song song với AB và CD lần lượt cắt $BC,DB,AD,AC$ tại $M,N,P,Q$. Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình thang.

B. Hình bình hành.

C. Hình chữ nhật.

D. Tứ giác không phải là hình thang.

Đáp án: C

Câu 25: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song

với c (hoặc b trùng với c).

B. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song

với c.

C. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.

D. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Đáp án: A

Câu 26: Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I; J; E; F lần lượt là trung điểm của AC; BC; BD; AD. Góc (IE; JF) bằng

A. 30°                  

B. 45°                  

C. 60°                  

D. 90°

Đáp án: D

Câu 27: Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Biết a vuông góc với đường thẳng c. Tìm mệnh đề đúng ?

A. b vuông góc với c

B. b // c

C. Cả A và B đúng

D. Tất cả sai.

Đáp án: D

Câu 28: Cho tứ diện ABCD có AC = a; BD = 3a. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.

Đáp án: B

Câu 29: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC; DB; AD; AC tại M; N; P; Q . Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình thang

B. Hình bình hành

C. Hình chữ nhật

D. Tứ giác không phải hình thang

Đáp án: C

Câu 30: Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì:

A. Song song với nhau

B. Vuông góc với nhau.

C. Chéo nhau

D. Tất cả sai.

Đáp án: A

Câu 31: Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.

Đáp án: A

Câu 32: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC’ và C’A . Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình bình hành

B. Hình chữ nhật

C. Hình vuông

D. Hình thang

Đáp án: B

Câu 33: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai?

A. A'C' ⊥ BD

B. BB' ⊥ BD

C. A'B ⊥ DC'

D. BC' ⊥ A'D

Đáp án: B

Câu 34: Cho tứ diện ABCD có AC = (3/2)AD, ∠CAB = ∠DAB = 60°, CD = AD. Gọi α là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng?

A. cosα = (3/4)                

B. α = 60°                

C. α = 30°                

D. cosα = 1/4

Đáp án: D

Câu 35: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN ; SC) bằng

A. 45°                

B. 30°                

C. 90°                

D. 60°

Đáp án: C