1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

    Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là khoảng cách giữa hai điểm M và H trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng Δ.

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

    Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).

II. KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.

1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

    Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).

2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

    Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

III. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

1. Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau và a ⊥ b

- Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc với b tại B.

- Trong (α) dựng BA ⊥ (α) tại A, ta được độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

2. Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau

Cách 1

    + Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b.

    + Lấy một điểm M tùy ý trên b, dựng MM’ ⊥ (α) tại M’.

    + Từ M’ dựng b’ // b cắt a tại A.

    + Từ A dựng AB // MM’ cắt b tại B, độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Cách 2

   + Ta dựng mặt phẳng (α) ⊥ a tại O, (α) cắt b tại I.

    + Dựng hình chiếu vuông góc của b là b’ trên mặt phẳng (α).

    + Trong mặt phẳng (α), vẽ OH ⊥ b’, H ∈ b’.

    + Từ H dựng đường thẳng song song với a và cắt b tại B.

    + Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.

    + Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

B. Bài tập Khoảng cách

Câu 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với $\left(ABC\right)$ và $SA=3a.$ Diện tích tam giác ABC bằng $2a^2,BC=a$. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

A. 2a

B.  4a

C.  3a

D. 5a

Đáp án: D

Câu 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ trong đó SA,AB,BC đôi một vuông góc và $SA=AB=BC=1.$ Khoảng cách giữa hai điểm $S\text{ và }C$ nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?

A. $\sqrt{2}.$

B. $\sqrt{3}.$

C. 2.

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Câu 3: Cho hình chóp A.BCD có cạnh $AC\perp \left(BCD\right)\text{ và }BCD$ là tam giác đều cạnh bằng a. Biết $AC=a\sqrt{2}$ và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng

A. $a\sqrt{\frac{7}{5}}.$

B. $a\sqrt{\frac{4}{7}}.$

C. $a\sqrt{\frac{6}{11}}.$

D. $a\sqrt{\frac{2}{3}}.$

Đáp án: C

Câu 4: Trong mặt phẳng $\left(P\right)$ cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng $\left(P\right)$ lấy điểm S sao cho SA= a . Khoảng cách từ A đến $\left(SBC\right)$ bằng        

A. $a\sqrt{5}.$

B. $2a.$

C. $\frac{a\sqrt{21}}{7}.$

D. $a\sqrt{3}.$

Câu 5: Cho tứ diện SABC trong đo SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một và $SA=3a$, $SB=a$,$SC=2a$. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

A. $\frac{3a\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{7a\sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{8a\sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{5a\sqrt{6}}{6}$

 Câu 6:  Cho hình chóp S.ABCD có $SA\perp \left(ABCD\right),$ mặt đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao $AB=a.$ Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và $\left(SAD\right).$

A. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a}{2}$

D. $\frac{a}{3}$

Câu 7: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D, AD= 2a .Trên đường thẳng vuông góc với $\left(ABCD\right)$ tại D lấy điểm S với $SD=a\sqrt{2}.$ Tính khoảng cách giữa DC và $\left(SAB\right).$

A. $\frac{2a}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{a}{\sqrt{2}}$

C. $a\sqrt{2}$.

D. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Câu 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng $\left(SCD\right)$ bằng

A. $\frac{a\sqrt{6}}{2}$

B. $\frac{a\sqrt{6}}{4}$

C. $\frac{2a\sqrt{6}}{9}$

D. $\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Câu 9: Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng $\left(C{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)$ bằng

A. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với $AB=2a\sqrt{3};BC=2a$. Biết chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn DI và SB hợp với mặt phẳng đáy $\left(ABCD\right)$ một góc ${60}^{\circ }.$  Khoảng cách từ D đến $\left(SBC\right)$ tính theo a bằng 

A. $\frac{a\sqrt{15}}{5}$

B. $\frac{2a\sqrt{15}}{5}$

C. $\frac{4a\sqrt{15}}{5}$

D. $\frac{3a\sqrt{15}}{5}$

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, $AB=a,AC=2a,SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left(ABCD\right),SC$ tạo với mặt phẳng $\left(SAB\right)$ một góc ${30}^{\circ }.$ Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho $BM=3MA.$ Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left(SCM\right)$ là

A. $\frac{\sqrt{34}a}{51}$.

B. $\frac{2\sqrt{34}a}{51}$.

C. $\frac{3\sqrt{34}a}{51}$.

D. $\frac{4\sqrt{34}a}{51}$.

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi $M,N\text{ và }P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AD\text{ và }DC.$ Gọi H là giao điểm của CN và DM, biết SH vuông góc $\left(ABCD\right),SH=a\sqrt{3}$. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng $\left(SBP\right)$ tính theo a bằng

A. $\frac{a\sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau, $AD=2a\sqrt{2};BC=a\sqrt{2}$. Hai mặt phẳng $\left(SAC\right)\text{ và }\left(SBD\right)$ cùng vuông góc với mặt đáy $\left(ABCD\right).$ Góc giữa hai mặt phẳng $\left(SCD\right)\text{ và }\left(ABCD\right)$ bằng ${60}^{\circ }.$ Khoảng cách từ M là trung điểm đoạn AB đến mặt phẳng $\left(SCD\right)$ là

A. $\frac{a\sqrt{15}}{2}$

B. $\frac{a\sqrt{15}}{20}$

C. $\frac{3a\sqrt{15}}{20}$

D. $\frac{9a\sqrt{15}}{20}$

Câu 14: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây?

A. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

B. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (a) chứa đường này và (a) vuông góc với đường kia.

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc (a) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.

D. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (a) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kì thuộc a tới mặt phẳng (a)

Câu 15: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia

B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó

C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia

D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó.

Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

B. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ thuộc a tới mp(P).

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kỳ trên b.

D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ là điểm H thuộc cạnh AD sao cho $HA=3HD.$ Gọi M là trung điểm của cạnh  AB .Biết rằng $SA=2\sqrt{3}a$ và đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc ${30}^{\circ }.$ Khoảng cách từ M đến mặt phẳng $\left(SBC\right)$ tính theo a bằng

A. $\frac{2\sqrt{66}a}{11}$

B. $\frac{\sqrt{11}a}{66}$

C. $\frac{2\sqrt{66}a}{11}$

D. $\frac{\sqrt{66}a}{11}$

Câu 18: Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ cạnh a. Khoảng cách từ A đến $\left(B^{\text{'}}C{D}^{\text{'}}\right)$ bằng

A. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với $AB=a.$ Mặt bên chứa BC của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc ${45}^{\circ }.$ Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy $\left(ABC\right)$.

A. $\frac{a}{2}$

B. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{3a}{2}$

Câu 20: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng b, cạnh đáy bằng d, với $d<b\sqrt{3}.$ Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới.

A. $d\left(S,\left(ABC\right)\right)=\sqrt{b^2-\frac{1}{2}{d}^2}$

B. $d\left(S,\left(ABC\right)\right)=\sqrt{b^2-d^2}$

C. $d\left(S,\left(ABC\right)\right)=\sqrt{b^2-\frac{1}{3}{d}^2}$

D. $d\left(S,\left(ABC\right)\right)=\sqrt{b^2+d^2}$

Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy $\left(ABCD\right).$ Gọi K, H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên SD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK

B. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD

C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH

D. Các khẳng định trên đều sai

Câu 22: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CD.

A. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a\sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

D.  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có $SA\perp \left(ABCD\right)$, đáy ABCD là hình chữ nhật với $AC=a\sqrt{5}$ và $BC=a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách giữa SD và BC.

A. $\frac{3a}{4}$

B. $\frac{2a}{3}$

C. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

D. $a\sqrt{3}$

Câu 24: Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa $BB\text{'}$ và AC bằng:

A. $\frac{a}{2}$

B. $\frac{a}{3}$

C. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Câu 25: Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có cạnh bằng 1 (đvdt). Khoảng cách giữa $AA\text{'}$ và $BD\text{'}$ bằng:

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{2\sqrt{2}}{5}$

D. $\frac{3\sqrt{5}}{7}$

Câu 26: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai cạnh đối AB và CD bằng

A. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a}{2}$

D. $\frac{a}{3}$

Câu 27: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao $SO=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$ Khoảng cách từ điểm O đến cạnh bên SA bằng

A. $a\sqrt{6}$

B. $\frac{a\sqrt{6}}{6}$

C. $a\sqrt{3}$

D. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Câu 28: Cho hình lập phương $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Khoảng cách từ $A_1$ đến mặt phẳng $\left(C_1{D}_{1}M\right)$ bằng bao nhiêu?

A. $\frac{2a}{\sqrt{5}}$

B. $\frac{2a}{\sqrt{6}}$

C. $\frac{1}{2}a$

D. a

Câu 29: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng 3a. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng $\left(ABC\right)$ bằng:

A.  4a

B.  3a

C.  a

D.  2a

Câu 30: Cho hình lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có cạnh đáy bằng a. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AD,DC,$A\text{'}D\text{'}$. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left(MNP\right)$ và $\left(ACC\text{'}\right)$.

A. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a}{4}$

C. $\frac{a}{3}$

D. $\frac{a\sqrt{2}}{4}$

Câu 31: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ (ABCD) ; SA = 2a, ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi O là tâm của ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC.

Câu 32: Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến (ABC) bằng :

A. 2a                 

B. a√3                  

C. a                 

D. a√5

Câu 33: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA; AB; BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = a√3, AB = a√3 . Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng:

Câu 34: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a . Khoảng cách từ B đến (SCD) bằng:

Câu 35: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD’ bằng

Đáp án: B