2. Hàm số logarit: y = log_ax, (a > 0, a ≠ 1)

    2.1 Tập xác định: D = (0; +∝)

    2.2. Tập giá trị: T = R, nghĩa là khi giải phương trình logarit mà đặt t = log_ax thì t không có điều kiện.

    2.3. Tính đơn điệu:

        + Khi a > 1 thì y = log_ax đồng biến trên D khi đó nếu: log_af(x) > log_ag(x) ⇔ f(x) > g(x).

        + Khi 0 < a < 1 thì y = log_ax nghịch biến trên D khi đó nếu log_af(x) > log_ag(x) ⇔ f(x) < g(x).

    2.4 Đạo hàm:

    2.5. Đồ thị: Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.

 

Bài 1: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Đồ thị hàm số y = ax và đồ thị hàm số y = logax đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

B. Hàm số y = ax với 0 < a < 1 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞).

C. Hàm số y = ax với a > 1 nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞)

D. Đồ thị hàm số y = ax với a > 0 và a ≠ 1 luôn đi qua điểm M(a;1).

Đáp án : A

Giải thích :

Chọn A

Câu B sai vì hàm số y = a^x với 0 < a < 1 nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞).

Câu C sai vì hàm số y = a^x với a > 1 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞).

Câu D sai vì đồ thị hàm số y = a^x với a < 0 và a ≠ 1 luôn đi qua điểm M(a; a^a) hoặc M(0;1) chứ không phải M(a;1).

Bài 2: Với a > 0 và a ≠ 1. Phát biểu nào sau đây không đúng?

A. Hai hàm số y = ax và y = logax có cùng tính đơn điệu

B. Hai hàm số y = ax và y = logax có cùng tập giá trị

C. Đồ thị hai hàm số y = ax và y = logax đối xứng nhau qua đường thẳng y=x.

D. Đồ thị hai hàm số y = ax và y = logax đều có đường tiệm cận

Đáp án : B

Giải thích :

Tập giá trị của hàm số y = a^x là (0; +∞), tập giá trị của hàm số y = log_ax là R.

Bài 3: Cho hàm số y=(√2-1)^x. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)

C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là trục tung.

D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là trục hoành

Đáp án : A

Giải thích :

Vì 0 < √2-1 < 1 nên hàm số y = (√2-1)^x nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞)

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x)=x² e^x trên đoạn [-1;1]

A. 2e        B. 1/e        C. e        D. 0

Đáp án : C

Giải thích :

Trên đoạn [-1;1], ta có: f' (x)=xe^x (x+2); f' (x)=0 ⇔ x = 0 hoặc x = -2 (loại).

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2^|x| trên [-2;2]

A. maxy=4; miny=-1/4        B. maxy=4; miny=1/4

C. maxy=1; miny=1/4        D. maxy=4; miny=1

Đáp án : D

Giải thích :

Đặt t = |x|, với x ∈ [-2;2] ⇒ t ∈ [0;2]

Xét hàm f(t) = 2^t trên đoạn [0;2]; f(t) đồng biến trên [0;2]

Hoặc với x ∈ [-2;2] ⇒ |x| ∈ [0;2]. Từ đây, suy ra: 2⁰ ≤ 2^|x| ≤ 2² ⇔ 1 ≤ 2^|x| ≤ 4

Bài 6: Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số f(x)=e^2-3x trên đoạn [0;2]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. m+M = 1        B. M-m = e.        C. M.m = 1/e2        D. M/m = e2

Đáp án : C

Giải thích :

Hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [0;2].

Đạo hàm f'(x) = -3e^2-3x < 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số f(x) nghịch biến trên [0;2].

Bài 7: Chọn khẳng định đúng khi nói về hàm số y=(lnx)/x

A. Hàm số không có cực trị.

B. Hàm số có một điểm cực đại

C. Hàm số có một điểm cực tiểu

D. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

Đáp án : C

Giải thích :

Hàm y' đổi dấu từ âm sang dương khi qua x=e nên x=e là điểm cực tiểu của hàm số.

Bài 8: Cho hàm số y. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Đáp án : A

Giải thích :

Tập xác định D=R

Lập bảng biến thiên :

Bài 9: Câu 9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?

A. Hàm số y = x^α có tập xác định là D=R

B. Đồ thị hàm số y = x^α với α > 0 không có tiệm cận

C. Hàm số y = x^α với α < 0 nghịch biến trên khoảng (0;+∞).

D. Đồ thị hàm số y = x^α với α < 0 có hai tiệm cận

Đáp án : A

Giải thích :

Hàm số y = x^α có tập xác định thay đổi tùy theo α.

Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y=(x+1)^(3/2) trên đoạn [3;15]

A. 64        B. 8        C. 6        D. 3

Đáp án : A

Giải thích :

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=15 ⇒ M=y(15)=64

Bài 11: Gọi m là số thực để hàm số y = (x+m)³ đạt giá trị lớn nhất bằng 8 trên đoạn [1;2]. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. m ∈ (-2;0)        B. m ∈ (2;4)        C. m ∈ (-1;2)        D. m ∈ (0;3)

Đáp án : C

Giải thích :

Ta có y' = 3(x+m)² ≥ 0, ∀x ∈ [1;2]

⇒ Hàm số đạt GTLN tại x=2

⇒ y(2) = 8 ⇔ (2+m)³ = 8 ⇔ m = 0

Bài 12: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?

Đáp án : C

Bài 13: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?

Đáp án : C

Giải thích :

Bài 14: Hàm số dưới đây đồng biến trên R?

Đáp án : B

Bài 15: Các hàm số sau hàm số nào nghịch biến trên R

Đáp án : C

Bài 16: Hàm số y=x²e^x nghịch biến trên khoảng nào?

A. (-∞;1).        B. (-∞;-2).        C. (1;+∞).        D. (-2;0).

Đáp án : D

Giải thích :

Ta có: y = x²e^x ⇒ y' = (x²+2x)e^x

Bài 17: Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2;+∞)

B. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞;2) và (2;+∞).

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;2).

D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;2).

Đáp án : D

Giải thích :

Nếu để ý thấy thì đây là hàm bậc ba thuần túy và có đạo hàm

Lập bảng biến thiên, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0;2).

Bài 18: Cho hàm số y = (x²-3)e^x. Chọn đáp án đúng.

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-3;1).

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+∞).

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;3).

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có: y = (x²-3)e^x ⇒ y' = (x²+2x-3)e^x

Lập bảng biến thiên và kết luận

Bài 19: Cho a là một số thực dương khác 1 và các mệnh đề sau:

1) a^x > 0 với mọi x ∈ R.

2) Hàm số y = a^x đồng biến trên R.

3) Hàm số y = e^2017x là hàm số đồng biến trên R.

4) Đồ thị hàm số y = a^x nhận trục Ox làm tiệm cận ngang.

Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?

A. 1        B. 2        C. 3        D. 4

Đáp án : C

Bài 20: Cho hàm số y. Mệnh đề nào sau đây sai?

Đáp án : D

Giải thích :

Bài 21: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số y=log_Mx với M=a²-4 nghịch biến trên tập xác định.

A. 2 < a < √5        B. a=√5

C. -√5 < a < -2; 2 < a < √5        D. a=2

Đáp án : C

Giải thích :

Hàm số đã cho nghịch biến khi cơ số 0 < M < 1 hay 0 < a²-4 < 1

Bài 22: Xác định a để hàm số y=(2a-5)^x nghịch biến trên R.

A. 5/2 < a < 3. B. 5/2 ≤ a ≤ 3. C. a > 3. D. a < 5/2.

Đáp án : A

Giải thích :

Theo đề: 0 < 2a-5 < 1 ⇔ 5/2 < a < 3.

Bài 23: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số y=(a²-3a+3)^x đồng biến.

A. a = 1        B. a = 2

C. a ∈ (1;2)        D. a ∈ (-∞;1) ∪ (2;+∞).

Đáp án : D

Giải thích :

Bài 24: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y nghịch biến trên (-1;1)

A. m < 1/3        B. 1/3 < m < 3        C. m ≤ 1/3        D. m > 3

Đáp án : C

Giải thích :

Bài 25: Gọi m là số thực để hàm số y=(2x+m²)³ đạt giá trị nhỏ nhất bằng -8 trên đoạn [-1;4]. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. m ∈ (-1;1).        B. m ∈ (-3;-1).        C. m ∈ (0;3).        D. m ∈ (-3;0).

Đáp án : A

Giải thích :

Ta có y' = 6(2x+m²)² ≥ 0, ∀x ∈ [-1;4] ⇒ Hàm số đạt GTNN tại x = -1

⇒ y(-1) = -8 ⇔ (-2+m²)³ = -8 ⇔ m = 0

Câu 26: Viết các số

theo thứ tự tăng dần

Ta có -1 < 0 < √2 < π và 0 < 1/3 < 1 nên

Chọn đáp án A.

Câu 27: Tìm đạo hàm của hàm số y = log₅(xe^x)

Để thuận tiện, ta viết lại

Chọn đáp án D

Câu 28: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = x²e^-4x

Tập xác định R.

Ta có:

y' = 2xe^-4x + x²e^-4x(-4) = 2e^-4xx(1 - 2x)

Bảng biến thiên

Khoảng đồng biến của hàm số là (0; 1/2) .

Chọn đáp án C

Câu 29: Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y = 3ln(x +1) + x - x²/2

A.(-1; 2)   C. (-2 ;-1) và (2; +∞)

B. (2; +∞)   D. (-∞; -2) và (-1 ;2)

Tập xác định : (-1; +∞)

Bảng biến thiên :

Kết hợp điều kiện, x > -1.

Từ đó, khoảng nghịch biến của hàm số là(2; +∞) .

Chọn đáp án B

Câu 30: Cho hai số thực a và b , với 0 < a < b < 1. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. log_ba < 1 < log_ab   C. log_ab < 1 < log_ba

B. log_ba < log_ab < 1    D. 1 < log_ab < log_ba

Đặt c = b - a ta có c > 0.

Vì 0 < a < b < 1 nên các hàm số y = log_ax và log_bx nghịch biến trên (0; +∞) nên ta có log_ab = log_a(a + c) < log_aa = 1 và log_ba = log_b(b - c) > log_bb = 1.

Vậy log_ab < a < log_ba

Chọn đáp án C.

Câu 31: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x³e^-2x trên đoạn [-1; 4]

y' = 3x²e^-2x + x³e^-2x(-2) = 3x²e^-2x - 2x³e^-2x = x²(3 - 2x)e^-2x

y'= 0 <=> x = 0 (loại) hoặc x = 3/2

Ta có

Chọn đáp án A

Câu 32: Số lượng cá thể của một mẻ cấy vi khuẩn sau t ngày kể từ lúc ban đầu được ước lượng bởi công thức N(t) = 1200.(1,148)^t. Hãy tính số lượng cá thể của mẻ vi khuẩn ở hai thời điểm: ban đầu và sau 10 ngày. Làm tròn kết quả đến hàng trăm có kết quả là:

A. 1200 và 4700 cá thể    C. 1200 và 1400 cá thể

B. 1400 và 4800 cá thể    D. 1200 và 4800 cá thể

Số lượng ban đầu: N(0) = 1200.(1,148)⁰ = 1200 cá thể

Số lượng sau 10 ngày: N(10) = 1200.(1,148)¹⁰ ≈ 4771 ≈4800 cá thể

Chọn đáp án D.

Câu 33: Dựa trên dữ liệu của WHO (Tổ chức Y tế thế giới), số người trên thế giới bị nhiễm HIV trong khoảng từ năm 1985 đến 2006 được ước lượng bằng công thức

trong đó N(t) tính bằng đơn vị triệu người, t tính bằng đơn vị năm và t = 0 ứng với đầu năm 1985. Theo công thức trên, có bao nhiêu số người trên thế giới bị nhiễm HIV ở thời điểm đầu năm 2005?

A. 37,94 triệu người   C. 38,42 triệu người

B. 37,31 triệu người   D. 39,88 triệu người

Ta có 2005 – 1985 = 20 (năm). Vậy đầu năm 2005 ứng với t = 20. Số cần tìm

Chọn đáp án A.

Câu 34: Biết rằng năm 2003 dân số Việt Nam là 80 902 000 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47%. Hỏi nếu vẫn giữ nguyên tỉ lệ tăng dân số hàng năm đó thì năm 2020 dân số Việt Nam sẽ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

A. 101119000 người    C. 103870000 người

B. 103681000 người    D. 106969000 người

Công thức tính dân số theo dữ kiện đã cho là: N(t) = 80902000.e^0,0147t ở đó thời gian t tính bằng năm và t = 0 ứng với đầu năm 2003.

Ta có 2020 – 2003 = 17.

Vậy năm 2020 ứng với t = 17

Dân số năm 2020 tính theo dữ kiện đã cho : N(17) = 80902000.e^17.0,0147t ≈ 103870000 người.

Chọn đáp án C.

Câu 35: Nồng độ c của một chất hóa học sau thời gian t xảy ra phản ứng tự xúc tác được xác định bằng công thức

Hãy chọn phát biểu đúng :

A. Nồng độ c ngày càng giảm

B. Nồng độ c ngày càng tăng

C. Trong khoảng thời gian đầu nồng độ c tăng, sau đó giảm dần

D. Trong khoảng thời gian đầu nồng độ c giảm, sau đó tăng dần

với mọi t ≥ 0 nên c(t) tăng trên [0; +∞] , nghĩa là nồng độ c ngày càng tăng.

Chọn đáp án B.

Câu 36: Cho các hàm số:

(I) y = (0,3)^-x   (II) y = (1,3)^-2x

Trong các hàm số đã cho, hàm số nào đồng biến trên R ?

A. Chỉ có (I) và (II)    C. Chỉ có (IV)

B. Chỉ có (I) và (IV)   D. Chỉ có (II) và (III)

Hàm số đồng biến khi a > 1.

Viết lại các hàm số về dạng hàm số mũ y = a^x :

Trong bốn cơ số ta thấy chỉ có hai cơ số lớn hơn 1 là

Do đó chỉ có hai hàm số (I) và (IV) là đồng biến trên R

Câu 37: Cho các phát biểu sau đây về đồ thị của hàm số y = log_ax (0 < a ≠ 1):

(I) Cắt trục hoành

(II) Cắt trục tung

(III) Nhận trục tung làm tiệm cận đứng

(IV) Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

Trong những phát biểu trên, phát biểu nào đúng ?

A. Chỉ có (I), (II) và (III)    C. Chỉ có (II) và (IV)

B. Chỉ có (II), (III) và (IV)    D. Chỉ có (I) và (III)

Đồ thị hàm số y = log_ax luôn cắt trục hoành tại điểm (1 ;0), luôn nằm bên phải trục tung (vậy không cắt trục tung), nhận trục tung làm tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang. Vậy chỉ có (I) và (III) đúng

Câu 38: Tìm miền xác định của hàm số y = log₅(x - 2x²)

A. D = (0; 2)    C. D = (0; 1/2)

B. D = (-∞; 0) ∪ (2; +∞)    D. D = (-∞; 0) ∪ (1/2; +∞)

Điều kiện để hàm số xác định x - 2x² > 0 <=> 2x² - x < 0 <=> 0 < x < 1/2 .

Vậy miền xác định là D = (0; 1/2)

Câu 39: Tìm miền xác định của hàm số

Điều kiện

Miền xác định là

Câu 40: Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Lưu ý rằng 1 < √2 < e < π

+ π > 1 ⇒ y = π^x là hàm đồng biến.

⇒ π > π

Câu 41: Khẳng định nào sau đây là sai ?

Câu 42: Số lượng cá thể của một quần thể vi khuẩn sau thời gian t kể từ thời điểm ban đầu được ước lượng bởi công thức

Phát biểu nào sau đây (về quần thể vi khuẩn nói trên) là đúng ?

A. Số lượng cá thể ngày càng tăng dần

B. Số lượng cá thể ngày càng giảm dần

C. Số lượng cá thể tăng trong khoảng thời gian đầu, sau đó giảm dần

D. Số lượng cá thể giảm trong khoảng thời gian đầu, sau đó tăng dần.

Vì 0 < 3/4 < 1 nên hàm số N(t) = 5000.(3/4)^t, t ∈ [0; +∞) nghịch biến (trên [0; +∞) ). Do đó, số lượng cá thể ngày càng giảm dần

Câu 43: Giá trị của một chiếc xe ô tô sau t năm kể từ khi mua được ước lượng bằng công thức G(t) = 600e^-0,12t (triệu đồng). Tính giá trị của chiếc xe này tại hai thời điểm : lúc mua và lúc đã sử dụng 5 năm (làm tròn kết quả đến hàng triệu)

A. 532 và 329 (triệu đồng)    C. 600 và 292 (triệu đồng)

B. 532 và 292 (triệu đồng)    D. 600 và 329 (triệu đồng)

Giá trị xe lúc mua: G(0) = 600 triệu đồng

Giá trị xe sau khi mua 5 năm : G(5) = 600.e^-0,12.5 ≈ 329 triệu đồng

Câu 44: Tìm đạo hàm của hàm số y = x.2^3x

A. y' = 2^3x(1 + 3xln2)    C. y' = 2^3x(1 + 3ln3)

B. y' = 2^3x(1 + xln2)    D. y' = 2^3x(1 + xln3)

y' = 2^3x + x.2^3x.ln(2)3 = 2^3x(1 + 3xln2)

Câu 45: Tính đạo hàm của hàm số

Câu 46: Tìm đạo hàm của hàm số

Để thuận tiện, ta viết lại

Câu 47: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = xe^-2x + 2 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung

A. y = x + 2    B. y = x    C. y = 2x + 2    D. y = -2x + 2

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A(0 ; 2).

y' = e^-2x(1 - 2x); y'(0) = 1, y(0) = 2. Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = 1(x - 0) + 2 hay y = x + 2

Câu 48: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = 4x - 5ln(x² + 1)

Tập xác định : R

Bảng xét dấu

Khoảng đồng biến của hàm số là (-∞; 1/2) và (2; +∞)

Câu 49: Cho hàm số y = x²e^-x . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số có x = 0 là điểm cực đại, x = 2 là điểm cực tiểu

B. Hàm số có x = 0 là điểm cực tiểu, x = -2 là điểm cực đại

C. Hàm số có x = 0 là điểm cực đại, x = -2 là điểm cực tiểu

D. Hàm số có x = 0 là điểm cực tiểu, x = 2 là điểm cực đại

y' = e^-xx(2 - x). Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy x = 0 là điểm cực tiểu, x = 2 là điểm cực đại của hàm số.

Câu 50: Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

A. y = 0    C. y = 0 và y = 3/2

B. y = 3    D. y = 0 và y = 3

Từ đó suy ra hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 3/2 và y = 0

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang là: y = 3/2; y = 0