Phương trình mũ và phương trình lôgarit (Lý thuyết + 50 bài tập có lời giải)

A. Tóm tắt lý thuyết

1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ.

1.1. Phương trình mũ cơ bản a^x = b (a > 0, a ≠ 1).

    ● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi b > 0 .

    ● Phương trình vô nghiệm khi b ≤ 0 .

1.2. Biến đổi, quy về cùng cơ số

    a^f(x) = a^g(x) ⇔ a = 1 hoặc  .

1.3. Đặt ẩn phụ

    f[a^g(x)] = 0 ( 0 < a ≠ 1) ⇔ .

    Ta thường gặp các dạng:

    ● m.a^2f(x) + n.a^f(x) + p = 0

    ● m.a^f(x) + n.b^f(x) + p = 0, trong đó a.b = 1. Đặt t = a^f(x). t > 0, suy ra b^f(x) = 1/t.

    ● m.a^2f(x) + n.(a.b)^f(x) + p.b^2f(x) = 0. Chia hai vế cho b^2f(x) và đặt (a/b)^f(x) = t > 0.

1.4. Logarit hóa

    ● Phương trình  .

    ● Phương trình a^f(x) = b^g(x) ⇔ log_aa^f(x) = log_ab^g(x) ⇔ f(x) = g(x).log_ab

    hoặc log_ba^f(x) = log_bb^g(x) ⇔ f(x).log_ba = g(x)

1.5. Giải bằng phương pháp đồ thị

    o Giải phương trình: a^x = f(x) (0 < a ≠ 1) (*) .

    o Xem phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = a^x (0 < a ≠ 1) và y = f(x) . Khi đó ta thực hiện hai bước:

    - Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số y = a^x (0 < a ≠ 1) và y = f(x) .

    - Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

1.6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

    o Tính chất 1. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a; b) thì số nghiệm của phương trình f(x) = k trên (a; b) không nhiều hơn một và f(u) = f(v) ⇔ u = v, ∀u, v ∈ (a; b).

    o Tính chất 2. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một.

    o Tính chất 3. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình f(u) > f(v) ⇔ u > v (hoặc u < v), ∀u,v ∈ D.

1.7. Sử dụng đánh giá

    o Giải phương trình f(x) = g(x).

    o Nếu ta đánh giá được .

2. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

2.1. Biến đổi, quy về cùng cơ số

2.2. Đặt ẩn phụ

2.3. Mũ hóa hai vế

2.4. Phương pháp đồ thị

2.5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

B. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Giả sử x là nghiệm của phương trình

A. 0   B. ln3    C. –ln3    D. 1/ln3

Để ý rằng

nên phương trình đã cho tương đương với

Chọn đáp án A.

Câu 2: Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình 3^{2x2 + 2x + 1} - 28.3^{x2 + x} + 9 = 0

A. -4    B. -2    C. 2    D. 4

Ta có: 3^{2x2 + 2x + 1} -28.3^{x2 + x} + 9 = 0 ⇔ 3.3^{2(x2 + x)} - 28.3^{x2 + x} + 9 = 0

Đặt t = 3^x2 + x > 0 nhận được phương trình

Với t = 1/3 = 3^-1 được 3^{x2 + x} = 3^-1 ⇔ x² + x + 1 = 0(vô nghiệm)

Với t = 9 được phương trình 3^{x2 + x} = 9 = 3² ⇔ x² + x = 2

x² + x - 2 = 0 ⇔ x -2 hoặc x = 1

Tích của hai nghiệm này bằng -2.

Chọn đáp án B

Câu 3: Tìm nghiệm của phương trình 2^{x - 1} = 3^{1 - 2x}

Có nhiều cách biến đổi phương trình này. Tuy nhiên, nhận thấy các biểu thức trong các phương án đều chứa log₂3 , nên ta lấy lôgarit cơ số 2 hai vế của phương trình để nhận được:

(x - 1) = (1 - 2x)log₂3

⇔ x - 1 = log₂3 - 2xlog₂3

⇔ x + 2xlog₂3 = log₂3 + 1

⇔ x(2log₂3 + 1) = log₂3 + 1

Chọn đáp án D

Câu 4: Giải phương trình (x² - 2x)lnx = lnx³

A. x = 1, x = 3    B. x = -1, x = 3     C. x = ±1, x = 3    D. x = 3

Điều kiện x > 0. Khi đó phương trình đã cho tương đương với

(x² -2x)lnx = 3lnx ⇔ (x² - 2x + 3)lnx = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1, x = 3 .

Chọn đáp án A.

Chú ý. Sai lầm thường gặp là quên điều kiện dẫn đến không loại được nghiệm x = -1 và chọn phương án nhiễu C.

Thậm chí, có thể học sinh biến đổi (x² - 2x)lnx = 3lnx ⇔ x² -2x = 3(giản ước cho lnx) dẫn đến mất nghiệm x = 1 và chọn phương án nhiễu D.

Câu 5: Nếu log₇(log₃(log₂x)) = 0 thì x^-1/2 bằng :

log₇(log₃(log₂x)) = 0 ⇔ log₃(log₂x) = 7⁰ = 1

⇔ log₂x = 3^t ⇔ x = 2³ = 8

Chọn đáp án C

Câu 6: Giải phương trình logx = log(x + 3) - log(x - 1)

A. x = 1   B. x = 3   C. x = 4    D. x = -1, x = 3

Điều kiện x > 1. Khi đó phương trình tương đương với

Loại nghiệm x = -1 do không thỏa mãn điều kiện. Phương trình có một nghiệm x = 3.

Chọn đáp án B.

Chú ý: Cũng như ở ví dụ 5, sai lầm học sinh dễ gặp bài này là do chủ quan muốn tiết kiệm thời gian mà quên đặt điều kiện, dẫn tới không loại được nghiệm x = -1 và chọn phương án nhiễu D.

Câu 7: Giải phương trình log_√2(x + 1) = log₂(x² + 2) - 1

A. x = 1   B. x = 0   C. x = 0, x = -4   D. x = 0, x = 1

Điều kiện x > -1. Khi đó phương trình tương đương với

2log₂(x + 1) = log₂(x² + 2)

Chọn đáp án B

Câu 8: Cho biết log_b²x + log_x²b = 1, b > 0, b ≠ 1, x ≠ 1. Khi đó x bằng:

A. b    B. √b    C. 1/b     D. 1/b²

Điều kiện: x > 0

Chọn đáp án A.

Chú ý. Khác với các ví dụ trên, các biến đổi trong ví dụ này không làm mở rộng miền xác định của phương trình (x > 0). Do đó ta đã không nhất thiết phải đặt điều kiện x > 0. Trong nhiều trường hợp việc bỏ qua đặt điều kiện sẽ làm đơn giản hơn và tiết kiệm thời gian.

Câu 9: Cho biết 2^x = 8^{y + 1} và 9^y = 3^{x - 9} . Tính giá trị của x + y

A. 21     B. 18   C. 24    D. 27

Vậy x + y =27.

Chọn đáp án D.

Câu 10: Giả sử x, y là hai số thực thỏa mãn đồng thời 3^{x2 - 2xy} = 1 và 2log₃x = log₃(y + 3). Tính x + y

A. 9/4     B. 3/2    C. 3   D. 9

Điều kiện x > 0, y > -3.

Ta có: 3^{x2 - 2xy} = 1 = 3⁰ ⇔ x² - 2xy = 0

⇔ x(x - 2y) = 0 ⇔ x - 2y = 0 (x > 0) ⇔ x = 2y (1)

2log₃x = log₃( y + 3) ⇔ log₃x² = log₃(y + 3) ⇔ x² = y + 3 (2)

Thế (1) vào (2) ta được:

Câu 11: Giải phương trình 10^x = 0,00001

A. x = -log4    B. x = -log5    C. x = -4    D. x = -5

10^x = 0,00001 ⇔ 10^x = 10^-5 ⇔ x = -5

Câu 12: Giải phương trình

Câu 13: Cho phương trình

Nghiệm của phương trình này nằm trong khoảng nào dưới đây ?

Câu 14: Giải phương trình 3^{2x - 3} = 7 . Viết nghiệm dưới dạng thập phân, làm tròn đến hàng phần nghìn.

A. x ≈ 2,38   B. x ≈ 2,386    C. x ≈ 2,384   D. x ≈ 1,782

Câu 15: Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình 4^{x2 + 2} - 9.2^{x2 + 2} + 8 = 0

A. 2   B. 4   C. 17   D. 65

Câu 16: Giải phương trình 4^x + 2^{x + 1} - 15 = 0. Viết nghiệm tìm được dưới dạng thập phân, làm tròn đến hàng phần trăm

A. x ≈ 0,43     B. x ≈ 0,63    C. x ≈ 1,58    D. x ≈ 2,32

Câu 17: Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình 7^x + 2.7^{1 - x} - 9 = 0.

A. log₂7 + 1   B. log₇2 + 1    C. log₇2    D. log₂7

Câu 18: Tìm nghiệm của phương trình 4^{1 - x} = 3^{2x + 1}

4^{1 - x} = 3^{2x + 1} ⇔ 2^{2 - 2x} = 3^{2x + 1}

Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế ta được :

Câu 19: Giải phương trình log₅(x + 4) = 3

A. x = 11    B. x = 121    C. x = 239    D. x = 129

Điều kiện : x + 4 > 0 ⇔ x > -4

PT ⇔ x + 4 = 5³ = 125 ⇔ x = 121 ( thỏa mãn điều kiện).

Vậy nghiệm cuả phương trình đã cho là 121.

Câu 20: Tìm các số thực a thỏa mãn log₁₀(a² - 15a) = 2

log₁₀(a² - 15a) = 2 ⇔ a² - 15a = 10² = 100 ⇔ a² - 15a - 100 = 0

Câu 21: Giải phương trình x²lnx = lnx⁹

A. x = 3   B. x = ±3    C. x = 1, x = 3    D. x = 1, x = ±3

Điều kiện x > 0.

Câu 22: Giải phương trình log₄(log₃(log₂x)) = 0

A. x = 2    B. x = 8    C. x = ∛2    D. x = 4³²

log₄(log₃(log₂x)) = 0 ⇔ log₃(log₂x) = 1 ⇔ log₂x = 3 ⇔ x = 2³ = 8 (thỏa mãn điều kiện).

Câu 23: Giải phương trình lnx + ln(x - 1) = ln2

A. x = 3/2    B. x = -1, x = 2    C. x = 2    D. x = 1, x = 3/2

Điều kiện x > 1

Ta có: lnx + ln(x - 1) = ln2

⇔ x(x - 1) = 2 ⇔ x² - x - 2 = 0

⇔ x = -1 (loại) hoặc x = 2

Câu 24: Giả sử α và β là hai nghiệm của phương trình 3 + 2log₂x = log₂(14x - 3). Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. α = -4    B. log₂α = -2    C. α = 3/2    D. α3/14

Trước hết, ta giải phương trình 3 + 2log₂x = log₂(14x - 3) (1)

Điều kiện x > 3/14. Khi đó (1) <=7gt; log₂8 + log₂x² = log₂(14x - 3)

⇔ 8x² = 14x - 3 ⇔ = 8x² - 14x + 3 = 0

Câu 25: Tính tích các nghiệm của phương trình log_x4 + log₄x = 17/4

A. 1    B. 16    C. 4∜4   D. 256√2

Điều kiện : x > 0 ; x ≠ 1

Đặt t = log₄x, nhận được phương trình:

Tích hai nghiệm : 256.√2

Câu 26: Tìm hai số x và y đồng thời thỏa mãn 3^{x + y} = 81 và 81^{x - y} = 3

Câu 27: Một quần thể vi khuẩn bắt đầu từ 100 cá thể và cứ sau 3 giờ thì số cá thể lại tăng gấp đôi. Bởi vậy, số cá thể vi khuẩn được biểu thị theo thời gian t (tính bằng giờ) bằng công thức

Hỏi sau bao lâu thì quần thể này đạt đến 50000 cá thể (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) ?

A. 36,8 giờ   B. 30,2 giờ    C. 26,9 giờ    D. 18,6 giờ

Sau t giờ thì số cá thể vi khuẩn có được là :

Câu 28: Khi đèn flash của một máy ảnh tắt thì ngay lập tức nguồn điện từ pin sẽ xạc cho tụ điện của nó. Lượng điện tích trong tụ xác định bởi công thức

trong đó Q₀ là điện tích tối đa mà tụ có thể tích được, thời gian t tính bằng giây. Hỏi sau bao lâu thì tụ tích được 90% điện tích tối đa ?

A. 3,2 giây   B. 4,6 giây    C. 4,8 giây    D. 9,2 giây

Để tụ tích được 90% điện tích tối đa thì Q(t) = 90%Q₀

Ta có: Q₀(1 - e^-1/2) = 0,9Q₀ ⇔ e^-1/2 = 0,1 ⇔ t = -2ln0,1 ≈ 4,6 (giây)

Câu 29: Chiều dài (tính bằng xentimet) của một loài cá bơn ở Thái Bình Dương theo tuổi của nó (kí hiệu là t, tính bằng năm) được ước lượng bởi công thức f(t) = 200(1 - 0,956e^-0,18t). Một con cá bơn thuộc loài này có chiều dài 140cm. Hãy ước lượng tuổi của nó.

A. 2,79 năm   B. 6,44 năm    C. 7,24 năm    D. 12,54 năm

Con cá bơn có chiều dài là 140cm nên:

Câu 30: Có một dịch cúm trong một khu vực quân đội và số người lính ở đó mắc bệnh cúm sau t ngày (kể từ ngày dịch cúm bùng phát) được ước lượng bằng công thức

trong đó k là một hằng số. Biết rằng có 40 người lính mắc bệnh cúm sau 7 ngày. Tìm giá trị của hằng số k.

A. 0,33   B. 2,31    C. 1,31    D. -2,31

Ta có:

Câu 31: Nếu log(log(log(logx))) = 0 thì x = 10^k . Tìm giá trị của k

A. 10    B. 100    C. 10³    D. 10¹⁰

log(log(log(logx))) = 0 ⇔ log(log(logx)) = 1 ⇔ log(logx) = 10

⇔ logx = 10¹⁰ ⇔ x = 10¹⁰¹⁰ (thỏa mãn điều kiện)

⇒ k = 10¹⁰

Câu 32: Giải phương trình log₃x = (-2 + log₂100)(log₃√2)

A. x = 5    B. x = 3√2   C. x = 2⁴    D. x = 50

Điều kiện : x > 0

Câu 33: Tìm tập hợp các nghiệm của phương trình

Lấy lôgarit cơ số 10 hai vế phương trình ta được

Kết hợp điều kiện, phương trình có 2 nghiệm là x= 100 và x= 10

Câu 34. (2) Tìm nghiệm của phương trình ${\log }_5\left(x+2\right)=2$

A.x = 23.

B.x = 27.

C.x = 8.

D.x =12

Bài giải ${\log }_5\left(x+2\right)=2\iff x+2=2^5\iff x+2=25\iff x=23$

Nguyên nhân:

B. Học sinh chuyển 2 qua không đổi dấu của 2 :

${\log }_5\left(x+2\right)=2\iff x+2=2^5\iff x+2=25\Rightarrow x=25+2=27$

C. Học sinh giải sai bình phương của 5:

${\log }_5\left(x+2\right)=2\iff x+2=2^5\iff x+2=10\Rightarrow x=10-2=8$

D. Học sinh giải sai bình phương của 5 và chuyển 2 qua không đổi dấu của 2:

${\log }_5\left(x+2\right)=2\iff x+2=2^5\iff x+2=10\Rightarrow x=10+2=12$

Câu 35.  2.5.1.HNDuyen Giải phương trình $2^x=4$

A. x =2           B. x = $2^4$          C. x = $4^2$            D. x = $\sqrt{2}$

Lược giải: $2^x=4\iff x={\log }_{2}4\iff x=2$

Sai lầm của học sinh:

-Phương án B học sinh nhớ công thức của phương trình logarit cơ bản

-Phương án C, D học sinh nhầm công thức

Câu 36. (1) Tìm x biết: ${\log }_{x}8=3$

A. x = 2

B. x = 512

C. x = 2187

D. x = $\frac{3}{8}$

 Bài giải: ${\log }_{x}8=3\iff 8=x^3\iff 2^3=x^3\iff x=2$

 Nguyên nhân: 

B. Học sinh giải: ${\log }_{x}8=3\iff x=8^3\iff x=512$

C. Học sinh giải: ${\log }_{x}8=3\iff x=3^8=2187$

D. Học sinh giải: ${\log }_{x}8=3\iff x=\frac{3}{8}$

Câu 37: Giả sử x là nghiệm của phương trình

A. 0   B. ln3    C. –ln3    D. 1/ln3

Để ý rằng

nên phương trình đã cho tương đương với

Chọn đáp án A.

Câu 38: Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình 3^{2x2 + 2x + 1} - 28.3^{x2 + x} + 9 = 0

A. -4    B. -2    C. 2    D. 4

Ta có: 3^{2x2 + 2x + 1} -28.3^{x2 + x} + 9 = 0 ⇔ 3.3^{2(x2 + x)} - 28.3^{x2 + x} + 9 = 0

Đặt t = 3^x2 + x > 0 nhận được phương trình

Với t = 1/3 = 3^-1 được 3^{x2 + x} = 3^-1 ⇔ x² + x + 1 = 0(vô nghiệm)

Với t = 9 được phương trình 3^{x2 + x} = 9 = 3² ⇔ x² + x = 2

x² + x - 2 = 0 ⇔ x -2 hoặc x = 1

Tích của hai nghiệm này bằng -2.

Chọn đáp án B

Câu 39: Tìm nghiệm của phương trình 2^{x - 1} = 3^{1 - 2x}

Có nhiều cách biến đổi phương trình này. Tuy nhiên, nhận thấy các biểu thức trong các phương án đều chứa log₂3 , nên ta lấy lôgarit cơ số 2 hai vế của phương trình để nhận được:

(x - 1) = (1 - 2x)log₂3

⇔ x - 1 = log₂3 - 2xlog₂3

⇔ x + 2xlog₂3 = log₂3 + 1

⇔ x(2log₂3 + 1) = log₂3 + 1

Chọn đáp án D

Câu 40: Giải phương trình (x² - 2x)lnx = lnx³

A. x = 1, x = 3    B. x = -1, x = 3     C. x = ±1, x = 3    D. x = 3

Điều kiện x > 0. Khi đó phương trình đã cho tương đương với

(x² -2x)lnx = 3lnx ⇔ (x² - 2x + 3)lnx = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1, x = 3 .

Chọn đáp án A.

Chú ý. Sai lầm thường gặp là quên điều kiện dẫn đến không loại được nghiệm x = -1 và chọn phương án nhiễu C.

Thậm chí, có thể học sinh biến đổi (x² - 2x)lnx = 3lnx ⇔ x² -2x = 3(giản ước cho lnx) dẫn đến mất nghiệm x = 1 và chọn phương án nhiễu D.

Câu 41: Nếu log₇(log₃(log₂x)) = 0 thì x^-1/2 bằng :

log₇(log₃(log₂x)) = 0 ⇔ log₃(log₂x) = 7⁰ = 1

⇔ log₂x = 3^t ⇔ x = 2³ = 8

Chọn đáp án C

Câu 42: Giải phương trình logx = log(x + 3) - log(x - 1)

A. x = 1   B. x = 3   C. x = 4    D. x = -1, x = 3

Điều kiện x > 1. Khi đó phương trình tương đương với

Loại nghiệm x = -1 do không thỏa mãn điều kiện. Phương trình có một nghiệm x = 3.

Chọn đáp án B.

Chú ý: Cũng như ở ví dụ 5, sai lầm học sinh dễ gặp bài này là do chủ quan muốn tiết kiệm thời gian mà quên đặt điều kiện, dẫn tới không loại được nghiệm x = -1 và chọn phương án nhiễu D.

Câu 43: Giải phương trình log_√2(x + 1) = log₂(x² + 2) - 1

A. x = 1   B. x = 0   C. x = 0, x = -4   D. x = 0, x = 1

Điều kiện x > -1. Khi đó phương trình tương đương với

2log₂(x + 1) = log₂(x² + 2)

Chọn đáp án B

Câu 44: Cho biết log_b²x + log_x²b = 1, b > 0, b ≠ 1, x ≠ 1. Khi đó x bằng:

A. b    B. √b    C. 1/b     D. 1/b²

Điều kiện: x > 0

Chọn đáp án A.

Chú ý. Khác với các ví dụ trên, các biến đổi trong ví dụ này không làm mở rộng miền xác định của phương trình (x > 0). Do đó ta đã không nhất thiết phải đặt điều kiện x > 0. Trong nhiều trường hợp việc bỏ qua đặt điều kiện sẽ làm đơn giản hơn và tiết kiệm thời gian.

Câu 45: Cho biết 2^x = 8^{y + 1} và 9^y = 3^{x - 9} . Tính giá trị của x + y

A. 21     B. 18   C. 24    D. 27

Vậy x + y =27.

Chọn đáp án D

Câu 46: Giả sử x, y là hai số thực thỏa mãn đồng thời 3^{x2 - 2xy} = 1 và 2log₃x = log₃(y + 3). Tính x + y

A. 9/4     B. 3/2    C. 3   D. 9

Điều kiện x > 0, y > -3.

Ta có: 3^{x2 - 2xy} = 1 = 3⁰ ⇔ x² - 2xy = 0

⇔ x(x - 2y) = 0 ⇔ x - 2y = 0 (x > 0) ⇔ x = 2y (1)

2log₃x = log₃( y + 3) ⇔ log₃x² = log₃(y + 3) ⇔ x² = y + 3 (2)

Thế (1) vào (2) ta được:

Câu 47: Giải phương trình 10^x = 0,00001

A. x = -log4    B. x = -log5    C. x = -4    D. x = -5

10^x = 0,00001 ⇔ 10^x = 10^-5 ⇔ x = -5

Câu 48: Giải phương trình

Câu 49: Cho phương trình

Nghiệm của phương trình này nằm trong khoảng nào dưới đây ?

Câu 50: Giải phương trình 3^{2x - 3} = 7 . Viết nghiệm dưới dạng thập phân, làm tròn đến hàng phần nghìn.

A. x ≈ 2,38   B. x ≈ 2,386    C. x ≈ 2,384   D. x ≈ 1,782