Mặt cầu (Lý thuyết + 50 bài tập có lời giải)

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

    Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu là: S(O; R). Khi đó S(O; R) = {M|OM = R}

2. Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu

    Cho mặt cầu S(O; R) và một điểm A bất kì, khi đó:

    - Nếu OA = R ⇔ A ∈ S(O; R). Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu. Nếu OA và OB là hai bán kính sao cho OA→ = -OB→ thì đoạn thẳng AB gọi là một đường kính của mặt cầu.

    - Nếu OA < R ⇔ A nằm trong mặt cầu.

    - Nếu OA > R ⇔ A nằm ngoài mặt cầu.

    ⇒ Khối cầu S(O; R) là tập hợp tất cả các điểm M sao cho OM ≤ R.

3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

    Cho mặt cầu S(O; R) và một mp(P). Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mp(P) và H là hình chiếu của O trên mp(P) ⇒ d = OH.

    - Nếu d < R ⇔ mp(P) cắt mặt cầu S(O; R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp(P) có tâm là H và bán kính  (hình a).

    - Nếu d > R ⇔ mp(P) không cắt mặt cầu S(O; R) (hình b).

    - Nếu d = R ⇔ mp(P) có một điểm chung duy nhất. Ta nói mặt cầu S(O; R) tiếp xúc mp(P). Do đó, điều kiện cần và đủ để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) là s(O, (P)) = R (hình c).

4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

    Cho mặt cầu S(O; R) và một đường thẳng Δ. Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng Δ và d = OH là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến đường thẳng Δ. Khi đó:

    - Nếu d > R ⇔ Δ không cắt mặt cầu S(O; R).

    - Nếu d < R ⇔ Δ cắt mặt cầu S(O; R) tại hai điểm phân biệt.

    - Nếu d = R ⇔ Δ và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu là d = d(O, Δ) = R.

    Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) thì:

    - Qua có vô số tiếp tuyến với mặt cầu S(O; R).

    - Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.

    - Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu S(O; R).

5. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

    • Diện tích mặt cầu: SC = 4πR2.

    • Thể tích mặt cầu: VC = (4/3)πR3.

B. Bài tập trắc nghiệm 

Câu 1.​​ Cho đường tròn​​ $\left(C\right)$​​ đường kính​​ $AB$​​ và đường thẳng​​ $\Delta$. Để​​ hình tròn xoay sinh bởi​​ $\left(C\right)$​​ khi quay quanh​​ $\Delta$​​ là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây

(I)Đường kính​​ $AB$​​ thuộc​​ $\Delta$.

(II)$\Delta$​​ cố​​ định và đường kính​​ $AB$​​ thuộc​​ $\Delta$.

(III)$\Delta$​​ cố​​ định và hai điểm​​ $A,B$​​ cố​​ định trên$\Delta$.

A. Chỉ​​ (I).​​   B. Chỉ​​ (II).​​ 

C. Chỉ​​ (III).​​   D. Không cần thêm điều kiện nào.​​ 
​​ Chọn C.

Câu 2.​​ Cho mặt cầu​​ $\left(S\right)$​​ tâm​​ $O$, bán kính​​ $R$​​ và mặt phẳng​​ $\left(P\right)$​​ có khoảng cách đến​​ $O$​​ bằng​​ $R$. Một điểm​​ $M$​​ tùy ý thuộc​​ $\left(S\right)$. Đường thẳng​​ $OM$​​ cắt​​ $\left(P\right)$​​ tại​​ $N$. Hình chiếu của​​ $O$​​ trên​​ $\left(P\right)$​​ là​​ $I$. Mệnh đề​​ nào sau đây đúng?

A.​​ $NI$​​ tiếp xúc với​​ $\left(S\right)$.

B.​​ $ON=R\sqrt{2}\iff IN=R.$​​ 

C. Cả​​ A và B đều sai.

D. Cả​​ A và B đều đúng.

Vì​​ $\mathrm{I}$​​ là hình chiếu của​​ $\mathrm{O}$​​ trên​​ $\left(\mathrm{P}\right)$​​ nên​​ $\mathrm{d}\left[\mathrm{O},\left(\mathrm{P}\right)\right]=\mathrm{O}\mathrm{I}$​​ mà​​ $\mathrm{d}\left[\mathrm{O},\left(\mathrm{P}\right)\right]=\mathrm{R}$​​ nên​​ $\mathrm{I}$​​ là tiếp điểm của​​ $\left(\mathrm{P}\right)$​​ và​​ $\left(\mathrm{S}\right)$.

Đường thẳng​​ $\mathrm{O}\mathrm{M}$​​ cắt​​ $\left(\mathrm{P}\right)$​​ tại​​ $\mathrm{N}$​​ nên​​ $\mathrm{I}\mathrm{N}$​​ vuông góc với​​ $\mathrm{O}\mathrm{I}$​​ tại​​ $\mathrm{I}$. Suy ra​​ $\mathrm{I}\mathrm{N}$​​ tiếp xúc với​​ $\left(\mathrm{S}\right)$.

Tam giác​​ $\mathrm{O}\mathrm{I}\mathrm{N}$​​ vuông tại​​ $\mathrm{I}$​​ nên​​ $\mathrm{O}\mathrm{N}=\mathrm{R}\sqrt{2}\iff \mathrm{I}\mathrm{N}=\mathrm{R}$.​​ Chọn D.

Câu 3.​​ Cho mặt cầu​​ $S\left(O;R\right)$​​ và một điểm​​ $A$, biết​​ $OA=2R$. Qua​​ $A$​​ kẻ​​ một tiếp tuyến tiếp xúc với​​ $\left(S\right)$​​ tại​​ $B$.​​ Khi đó độ​​ dài đoạn​​ $AB$​​ bằng

A.​​ $R$.   B.​​ $\frac{R}{2}$. C.​​ $R\sqrt{2}$. D.​​ $R\sqrt{3}$.

Vì​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}$​​ tiếp xúc với​​ $\left(\mathrm{S}\right)$​​ tại​​ $\mathrm{B}$​​ nên​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\perp \mathrm{O}\mathrm{B}$.

Suy ra​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}=\sqrt{\mathrm{O}{\mathrm{A}}^2-\mathrm{O}{\mathrm{B}}^2}=\sqrt{4{\mathrm{R}}^2-{\mathrm{R}}^2}=\mathrm{R}\sqrt{3}.$​​ Chọn D.

Câu 4.​​ Cho mặt cầu​​ $S\left(O;R\right)$​​ và một điểm​​ $A$, biết​​ $OA=2R$. Qua​​ $A$​​ kẻ​​ một cát tuyến cắt​​ $\left(S\right)$​​ tại​​ $B$​​ và​​ $C$​​ sao cho​​ $BC=R\sqrt{3}$. Khi đó khoảng cách từ​​ $O$​​ đến​​ $BC$​​ bằng

A.​​ $R$.   B.​​ $\frac{R}{2}$. C.​​ $R\sqrt{2}$. D.​​ $R\sqrt{3}$.

Gọi​​ $\mathrm{H}$​​ là hình chiếu của​​ $\mathrm{O}$​​ lên​​ $\mathrm{B}\mathrm{C}$.​​ 

Ta có​​ $\mathrm{O}\mathrm{B}=\mathrm{O}\mathrm{C}=\mathrm{R}$, suy ra​​ $\mathrm{H}$​​ là trung điểm của​​ $\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ nên​​ $\mathrm{H}\mathrm{C}=\frac{\mathrm{C}\mathrm{D}}{2}=\frac{\mathrm{R}\sqrt{3}}{2}$.

Suy ra​​ $\mathrm{O}\mathrm{H}=\sqrt{\mathrm{O}{\mathrm{C}}^2-\mathrm{H}{\mathrm{C}}^2}=\frac{\mathrm{R}}{2}.$​​ Chọn B.

Câu 5.​​ Cho mặt cầu​​ $S\left(O;R\right)$​​ và mặt phẳng​​ $\left(\alpha \right)$. Biết khoảng cách từ​​ $O$​​ đến​​ $\left(\alpha \right)$​​ bằng​​ $\frac{R}{2}$.​​ Khi đó thiết diện tạo bởi mặt​​ phẳng​​ $\left(\alpha \right)$​​ với​​ $S\left(O;R\right)$​​ là một đường tròn có đường kính bằng

A.​​ $R$.   B.​​ $R\sqrt{3}$.

C.​​ $\frac{R}{2}$.   D.​​ $\frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Gọi​​ $\mathrm{H}$​​ là hình chiếu của​​ $\mathrm{O}$​​ xuống​​ $\left(\mathrm{\alpha }\right)$.​​ 

Ta có​​ $\mathrm{d}\left[\mathrm{O},\left(\mathrm{\alpha }\right)\right]=\mathrm{O}\mathrm{H}=\frac{\mathrm{R}}{2}<\mathrm{R}$​​ nên​​ $\left(\mathrm{\alpha }\right)$​​ cắt​​ $\mathrm{S}\left(\mathrm{O};\mathrm{R}\right)$​​ theo đường tròn​​ $\mathrm{C}\left(\mathrm{H};\mathrm{r}\right)$.

Bán kính đường tròn​​ $\mathrm{C}\left(\mathrm{H};\mathrm{r}\right)$​​ là​​ $\mathrm{r}=\sqrt{{\mathrm{R}}^2-\mathrm{O}{\mathrm{H}}^2}=\frac{\mathrm{R}\sqrt{3}}{2}.$

Suy ra đường kính bằng​​ $\mathrm{R}\sqrt{3}.$Chọn B.

Câu 6.​​ Cho mặt cầu tâm​​ $I$​​ bán kính​​ $R=\mathrm{2,6}\mathrm{c}\mathrm{m}$. Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm​​ $I$​​ một khoảng bằng​​ $\mathrm{2,4}\mathrm{c}\mathrm{m}$. Thế​​ thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là

A.$\mathrm{1,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$. B.​​ $\mathrm{1,3}\mathrm{c}\mathrm{m}$. C.​​ $1\mathrm{c}\mathrm{m}$. D.​​ $\mathrm{1,4}\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Mặt phẳng cắt mặt cầu​​ $\mathrm{S}\left(\mathrm{I};\mathrm{2,6}\mathrm{c}\mathrm{m}\right)$​​ theo một đường tròn​​ $\left(\mathrm{H};\mathrm{r}\right)$.

Vậy​​ $\mathrm{r}=\sqrt{{\mathrm{R}}^2-\mathrm{I}{\mathrm{H}}^2}=\sqrt{{\left(\mathrm{2,6}\right)}^2-{\left(\mathrm{2,4}\right)}^2}=1\mathrm{c}\mathrm{m}$.​​ Chọn C.

Câu 7.​​ Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu là​​ $p$. Một mặt phẳng​​ $\left(\alpha \right)$​​ cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích là​​ $\frac{p}{2}$. Khoảng cách từ​​ tâm mặt cầu đến mặt phẳng​​ $\left(\alpha \right)$​​ bằng​​ 

A.$\sqrt{\frac{p}{\pi }}$.​​   B.​​ $\sqrt{\frac{1}{\pi }}$. C.​​ $\sqrt{\frac{2p}{\pi }}$. D.​​ $\sqrt{\frac{p}{2\pi }}$.

Hình tròn lớn của hình cầu​​ $\mathrm{S}$​​ là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu. Gọi​​ $\mathrm{R}$​​ là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là​​ $\mathrm{R}$.

Theo giả​​ thiết, ta​​ có​​ $\mathrm{\pi }{\mathrm{R}}^2=\mathrm{p}\iff \mathrm{R}=\sqrt{\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{\pi }}}$​​ và​​ $\mathrm{\pi }{\mathrm{r}}^2=\frac{\mathrm{p}}{2}\iff \mathrm{r}=\sqrt{\frac{\mathrm{p}}{2\mathrm{\pi }}}.$

Suy ra​​ $\mathrm{d}=\sqrt{{\mathrm{R}}^2-{\mathrm{r}}^2}=\sqrt{\frac{\mathrm{p}}{2\mathrm{\pi }}}$.​​ Chọn D.

Câu 8.​​ Một hình cầu có bán kính là​​ $2\mathrm{m}$, một​​ mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có độ​​ dài là​​ $\mathrm{2,4}\pi \mathrm{m}$. Khoảng cách từ​​ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là

A.$\mathrm{1,6}\mathrm{m}$.​​  B.​​ $\mathrm{1,5}\mathrm{m}$. C.​​ $\mathrm{1,4}\mathrm{m}$.​​  D.​​ $\mathrm{1,7}\mathrm{m}$.

Gọi khoảng cách từ​​ tâm cầu đến mặt phẳng là​​ $\mathrm{d}$, ta có​​ ${\mathrm{d}}^2={\mathrm{R}}^2-{\mathrm{r}}^2$.

Theo giả​​ thiết​​ $\mathrm{R}=2\mathrm{m}$​​ và​​ $2\mathrm{\pi }\mathrm{r}=\mathrm{2,4}\mathrm{\pi }\mathrm{m}\Rightarrow \mathrm{r}=\frac{\mathrm{2,4}\mathrm{\pi }}{2\mathrm{\pi }}=\mathrm{1,2}\mathrm{m}$.

Vậy​​ $\mathrm{d}=\sqrt{{\mathrm{R}}^2-{\mathrm{r}}^2}=\mathrm{1,6}\mathrm{m}$.​​ Chọn A.

Câu 9.​​ Cho mặt cầu​​ $S\left(O;R\right)$,​​ $A$​​ là một điểm​​ ở​​ trên mặt cầu​​ $\left(S\right)$​​ và​​ $\left(P\right)$​​ là mặt phẳng qua​​ $A$​​ sao cho góc giữa​​ $OA$​​ và​​ $\left(P\right)$​​ bằng​​ $60^0.$​​ 

 Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng

A.​​ $\pi R^2.$ B.​​ $\frac{\pi R^2}{2}.$

C.​​ $\frac{\pi R^2}{4}.$ D.​​ $\frac{\pi R^2}{8}.$

 Gọi​​ $\mathrm{H}$​​ là hình chiếu vuông góc của​​ $\mathrm{O}$​​ trên​​ $\left(\mathrm{P}\right)$​​ thì​​ 

●​​ $\mathrm{H}$​​ là tâm của đường tròn giao tuyến của​​ $\left(\mathrm{P}\right)$​​ và​​ $\left(\mathrm{S}\right)$.

●​​ $\widehat{\mathrm{O}\mathrm{A},\left(\mathrm{P}\right)}=\widehat{\left(\mathrm{O}\mathrm{A},\mathrm{A}\mathrm{H}\right)}=60^0.$

Bán kính của đường tròn giao tuyến​​ $\mathrm{r}=\mathrm{H}\mathrm{A}=\mathrm{O}\mathrm{A}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}60^0=\frac{\mathrm{R}}{2}$.

Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến​​ $\mathrm{\pi }{\mathrm{r}}^2=\mathrm{\pi }{\left(\frac{\mathrm{R}}{2}\right)}^2=\frac{\mathrm{\pi }{\mathrm{R}}^2}{4}.$​​ Chọn C.

Câu 10.​​ Cho hình chóp tứ​​ giác đều​​ $S.ABCD$​​ có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng​​ $a$. Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp​​ $S.ABCD$​​ có bán kính bằng

A.​​ $\frac{a\left(1+\sqrt{3}\right)}{\sqrt{2}}.$ B.​​ $\frac{a\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{4}.$ C.​​ $\frac{a\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}{4}.$ D.​​ $\frac{a\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{2}}.$

Gọi​​ $\mathrm{H}$​​ là tâm của hình vuông​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$.​​ 

Ta có​​ $\mathrm{S}\mathrm{H}$​​ là trục đường tròn ngoại tiếp đáy.

Gọi​​ $\mathrm{M}$​​ là trung điểm của​​ $\mathrm{C}\mathrm{D}$​​ và​​ $\mathrm{I}$​​ là chân đường phân giác trong của góc​​ $\widehat{\mathrm{S}\mathrm{M}\mathrm{H}}(\mathrm{I}\in \mathrm{S}\mathrm{H})$.

Suy ra​​ $\mathrm{I}$​​ là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính​​ $\mathrm{r}=\mathrm{I}\mathrm{H}$.

Ta có​​ $\begin{array}{c}SH=\sqrt{\mathrm{S}{\mathrm{A}}^2-\mathrm{A}{\mathrm{H}}^2}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{2}}{2};\\ SM=\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2};MH=\frac{\mathrm{a}}{2}.\end{array}$

Dựa vào tính chất của đường phân giác ta có

$$\frac{\mathrm{I}\mathrm{S}}{\mathrm{I}\mathrm{H}}=\frac{\mathrm{M}\mathrm{S}}{\mathrm{M}\mathrm{H}}$$

$$\Rightarrow \frac{\mathrm{S}\mathrm{H}}{\mathrm{I}\mathrm{H}}=\frac{\mathrm{M}\mathrm{S}+\mathrm{M}\mathrm{H}}{\mathrm{M}\mathrm{H}}$$

$$\Rightarrow \mathrm{I}\mathrm{H}=\frac{\mathrm{S}\mathrm{H}.\mathrm{M}\mathrm{H}}{\mathrm{M}\mathrm{S}+\mathrm{M}\mathrm{H}}=$$​​ 

$\frac{\mathrm{a}}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}=\frac{\mathrm{a}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{4}.$Chọn B.

Câu 11.​​ Cho hình chóp​​ $S.ABC$​​ có đáy​​ $ABC$​​ là tam giác vuông tại​​ $B$​​ và​​ $BA=BC=a$. Cạnh bên​​ $SA=2a$​​ và vuông góc với mặt​​ phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp​​ $S.ABC$​​ là

A.​​ $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$ B.​​ $3a.$ C.​​ $\frac{a\sqrt{6}}{2}.$ D.​​ $a\sqrt{6}.$​​

Gọi​​ $\mathrm{M}$​​ là trung điểm​​ $\mathrm{A}\mathrm{C}$, suy ra​​ $\mathrm{M}$​​ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$.

Gọi​​ $\mathrm{I}$​​ là trung điểm​​ $\mathrm{S}\mathrm{C}$, suy ra​​ 

   $\mathrm{I}\mathrm{M}\parallel \mathrm{S}\mathrm{A}$​​ nên​​ $\mathrm{I}\mathrm{M}\perp \left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)$.

Do đó​​ $\mathrm{I}\mathrm{M}$​​ là trục của​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, suy ra​​ 

  $$\mathrm{I}\mathrm{A}=\mathrm{I}\mathrm{B}=\mathrm{I}\mathrm{C}.$$ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​  ​​ $$\left(1\right)$$

Hơn nữa, tam giác​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{C}$​​ vuông tại​​ $\mathrm{A}$​​ có​​ $\mathrm{I}$​​ là trung điểm​​ $\mathrm{S}\mathrm{C}$​​ nên​​ $\mathrm{I}\mathrm{S}=\mathrm{I}\mathrm{C}=\mathrm{I}\mathrm{A}$.  ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ $\left(2\right)$

Từ​​ $\left(1\right)$​​ và​​ $\left(2\right)$, ta có​​ $\mathrm{I}\mathrm{S}=\mathrm{I}\mathrm{A}=\mathrm{I}\mathrm{B}=\mathrm{I}\mathrm{C}$

​​ hay​​ $\mathrm{I}$​​ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$.

Vậy bán kính​​ $\mathrm{R}=\mathrm{I}\mathrm{S}=\frac{\mathrm{S}\mathrm{C}}{2}$

$=\frac{\sqrt{\mathrm{S}{\mathrm{A}}^2+\mathrm{A}{\mathrm{C}}^2}}{2}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{6}}{2}$.​​ Chọn C.​​ 

Câu 12.​​ Cho hình chóp​​ $S.ABCD$​​ có đáy​​ $ABCD$​​ là hình vuông cạnh​​ $a$. Cạnh bên​​ $SA=a\sqrt{6}$​​ và vuông góc với đáy​​ $\left(ABCD\right)$. Tính theo​​ $a$​​ diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp​​ $S.ABCD$​​ ta được

A.​​ $a^2\sqrt{2}.$ B.​​ $8\pi a^2.$ C.​​ $2a^2.$ D.​​ $2\pi a^2.$​​

Gọi​​ $\mathrm{O}=\mathrm{A}\mathrm{C}\cap \mathrm{B}\mathrm{D}$, suy ra​​ $\mathrm{O}$​​ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$.

Gọi​​ $\mathrm{I}$​​ là trung điểm​​ $\mathrm{S}\mathrm{C}$, suy ra

$$\mathrm{I}\mathrm{O}\parallel \mathrm{S}\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{I}\mathrm{O}\perp \left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\right).$$

Do đó​​ $\mathrm{I}\mathrm{O}$​​ là trục của hình vuông​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$,​​ suy ra​​ 

$$\mathrm{I}\mathrm{A}=\mathrm{I}\mathrm{B}=\mathrm{I}\mathrm{C}=\mathrm{I}\mathrm{D}.\left(1\right)$$

Tam giác​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{C}$​​ vuông tại​​ $\mathrm{A}$​​ có​​ $\mathrm{I}$​​ là trung điểm cạnh huyền​​ $\mathrm{S}\mathrm{C}$​​ nên​​ $\mathrm{I}\mathrm{S}=\mathrm{I}\mathrm{C}=\mathrm{I}\mathrm{A}$.​​ $\left(2\right)$

Từ​​ $\left(1\right)$​​ và​​ $\left(2\right)$, ta có​​ $\mathrm{R}=\mathrm{I}\mathrm{A}=\mathrm{I}\mathrm{B}=\mathrm{I}\mathrm{C}=$

$$\mathrm{I}\mathrm{D}=\mathrm{I}\mathrm{S}=\frac{\mathrm{S}\mathrm{C}}{2}=\mathrm{a}\sqrt{2}$$

Vậy diện tích mặt cầu​​ $\mathrm{S}=4\mathrm{\pi }{\mathrm{R}}^2=8\mathrm{\pi }{\mathrm{a}}^2$​​ (đvdt).​​ Chọn B.

Câu 13.​​ Cho hình chóp​​ $S.ABC$​​ có​​ đáy​​ $ABC$​​ là tam giác vuông cân tại​​ $B$,​​ $AB=a$. Cạnh bên​​ $SA=a\sqrt{2}$, hình chiếu của điểm​​ $S$​​ lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền​​ $AC$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp​​ $S.ABC$​​ là

A.​​ $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$ B.​​ $\frac{a\sqrt{6}}{3}.$​​  C.​​ $\frac{a\sqrt{6}}{2}.$ D.​​ $\frac{a\sqrt{2}}{3}.$​​

Gọi​​ $\mathrm{M}$​​ là trung điểm​​ $\mathrm{A}\mathrm{C}$, suy ra​​ $\mathrm{S}\mathrm{M}\perp \left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)\Rightarrow \mathrm{S}\mathrm{M}\perp \mathrm{A}\mathrm{C}.$

Tam giác​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{C}$​​ có​​ $\mathrm{S}\mathrm{M}$​​ là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{C}$​​ cân tại​​ $\mathrm{S}$.

Ta có​​ $\mathrm{A}\mathrm{C}=\sqrt{\mathrm{A}{\mathrm{B}}^2+\mathrm{B}{\mathrm{C}}^2}=\mathrm{a}\sqrt{2}$, suy ra tam giác​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{C}$​​ đều.

Gọi​​ $\mathrm{G}$​​ là trọng tâm​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{C}$, suy ra​​ $\mathrm{G}\mathrm{S}=\mathrm{G}\mathrm{A}=\mathrm{G}\mathrm{C}$. $\left(1\right)$

Tam giác​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ vuông tại​​ $\mathrm{B}$, có​​ $\mathrm{M}$​​ là trung điểm cạnh huyền​​ $\mathrm{A}\mathrm{C}$​​ nên​​ $\mathrm{M}$​​ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$.​​ 

Lại có​​ $\mathrm{S}\mathrm{M}\perp \left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)$​​ nên​​ $\mathrm{S}\mathrm{M}$​​ là trục của tam giác​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$.

Mà​​ $\mathrm{G}$​​ thuộc​​ $\mathrm{S}\mathrm{M}$​​ nên suy ra​​ $\mathrm{G}\mathrm{A}=\mathrm{G}\mathrm{B}=\mathrm{G}\mathrm{C}$.​​  $\left(2\right)$

Từ​​ $\left(1\right)$​​ và​​ $\left(2\right)$, suy ra​​ 

  $\mathrm{G}\mathrm{S}=\mathrm{G}\mathrm{A}=\mathrm{G}\mathrm{B}=\mathrm{G}\mathrm{C}$​​ hay​​ $\mathrm{G}$​​ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối​​ chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$.

Bán kính mặt cầu​​ $\mathrm{R}=\mathrm{G}\mathrm{S}=\frac{2}{3}\mathrm{S}\mathrm{M}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{6}}{3}$.​​ Chọn B.

Câu 14.​​ Cho hình chóp tam giác đều​​ $S.ABC$​​ có cạnh đáy bằng​​ $a$​​ và cạnh bên bằng​​ $\frac{a\sqrt{21}}{6}$.​​ Gọi​​ $h$​​ là chiều cao của khối chóp và​​ $R$​​ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ​​ số​​ $\frac{R}{h}$​​ bằng

A.​​ $\frac{7}{12}$   B.​​ $\frac{7}{24}.$​​  C.​​ $\frac{7}{6}.$ D.​​ $\frac{1}{2}.$​​

Gọi​​ $\mathrm{O}$​​ là tâm​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, suy ra​​ $\mathrm{S}\mathrm{O}\perp \left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)$​​ và​​ $\mathrm{A}\mathrm{O}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{3}.$

Trong​​ $\mathrm{S}\mathrm{O}\mathrm{A}$, ta có​​ $h=\mathrm{S}\mathrm{O}=\sqrt{\mathrm{S}{\mathrm{A}}^2-\mathrm{A}{\mathrm{O}}^2}=\frac{\mathrm{a}}{2}.$

Trong mặt phẳng​​ $\mathrm{S}\mathrm{O}\mathrm{A}$, kẻ​​ trung trực​​ $\mathrm{d}$​​ của đoạn​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}$​​ cắt​​ $\mathrm{S}\mathrm{O}$​​ tại​​ $\mathrm{I}$, suy ra​​ 

●$\mathrm{I}\in \mathrm{d}$​​ nên​​ $\mathrm{I}\mathrm{S}=\mathrm{I}\mathrm{A}$.

●$\mathrm{I}\in \mathrm{S}\mathrm{O}$​​ nên​​ $\mathrm{I}\mathrm{A}=\mathrm{I}\mathrm{B}=\mathrm{I}\mathrm{C}$.

Do đó​​ $\mathrm{I}\mathrm{A}=\mathrm{I}\mathrm{B}=\mathrm{I}\mathrm{C}=\mathrm{I}\mathrm{S}$​​ nên​​ $\mathrm{I}$​​ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối​​ chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$.

Gọi​​ $\mathrm{M}$​​ là tung điểm​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}$, ta có​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{S}\mathrm{M}\mathrm{I}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ÿ}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{\Delta }\mathrm{S}\mathrm{O}\mathrm{A}$​​ nên

 $\mathrm{R}=\mathrm{S}\mathrm{I}=\frac{\mathrm{S}\mathrm{M}.\mathrm{S}\mathrm{A}}{\mathrm{S}\mathrm{O}}=\frac{\mathrm{S}{\mathrm{A}}^2}{2\mathrm{S}\mathrm{O}}=\frac{7\mathrm{a}}{12}.$​​ Vậy​​ $\frac{\mathrm{R}}{h}=\frac{7}{6}.$​​ Chọn​​ C.

Câu 15.​​ Cho hình chóp tứ​​ giác đều​​ $S.ABCD$​​ có cạnh đáy bằng​​ $a$, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc​​ $60^0$. Thể​​ tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp​​ $S.ABCD$​​ là

A.​​ $\frac{4\pi a^3}{3}.$ B.​​ $\frac{2\pi a^3\sqrt{6}}{9}.$ C.​​ $\frac{8\pi a^3\sqrt{6}}{9}.$ D.​​ $\frac{8\pi a^3\sqrt{6}}{27}.$​​

Gọi​​ $\mathrm{O}=\mathrm{A}\mathrm{C}\cap \mathrm{B}\mathrm{D}$, suy ra​​ $\mathrm{S}\mathrm{O}\perp \left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\right)$.

Ta có​​ $60^0=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{B},\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\right)}=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{B},\mathrm{O}\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{B}\mathrm{O}}$.

Trong​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{S}\mathrm{O}\mathrm{B}$, ta có​​ $\mathrm{S}\mathrm{O}=\mathrm{O}\mathrm{B}.\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\widehat{\mathrm{S}\mathrm{B}\mathrm{O}}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{6}}{2}$.

Ta có​​ $\mathrm{S}\mathrm{O}$​​ là trục của hình vuông​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$.

Trong mặt phẳng​​ $\mathrm{S}\mathrm{O}\mathrm{B}$, kẻ​​ đường trung trực​​ $\mathrm{d}$​​ của đoạn​​ $\mathrm{S}\mathrm{B}$.​​ 

Gọi​​ $\mathrm{I}=\mathrm{S}\mathrm{O}\cap \mathrm{d}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}I\in SO\\ I\in d\end{array}\right.$

$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}IA=IB=IC=ID\\ IS=IB\end{array}\right.$$

$\Rightarrow \mathrm{I}\mathrm{A}=\mathrm{I}\mathrm{B}=\mathrm{I}\mathrm{C}=\mathrm{I}\mathrm{D}=\mathrm{I}\mathrm{S}=\mathrm{R}$.

Xét​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{S}\mathrm{B}\mathrm{D}$​​ có​​ $\left\{\begin{array}{c}SB=SD\\ \widehat{\mathrm{S}\mathrm{B}\mathrm{D}}=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{B}\mathrm{O}}=60^{\mathrm{o}}\end{array}\right.$​​ $\Rightarrow \mathrm{\Delta }\mathrm{S}\mathrm{B}\mathrm{D}$​​ đều.

Do đó​​ $\mathrm{d}$​​ cũng là đường trung tuyến của​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{S}\mathrm{B}\mathrm{D}$. Suy ra​​ $\mathrm{I}$​​ là trọng tâm​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{S}\mathrm{B}\mathrm{D}$.

Bán kính mặt cầu​​ $\mathrm{R}=\mathrm{S}\mathrm{I}=\frac{2}{3}\mathrm{S}\mathrm{O}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{6}}{3}$. Suy ra​​ $\mathrm{V}=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }{\mathrm{R}}^3=\frac{8\mathrm{\pi }{\mathrm{a}}^3\sqrt{6}}{27}.$​​ Chọn D.

Câu 16.​​ Cho hình chóp​​ $S.ABCD$​​ có đáy​​ $ABCD$​​ là hình thang cân, đáy lớn​​ $AD=2a$,​​ $AB=BC=CD=a$. Cạnh bên​​ $SA=2a$​​ và vuông góc với đáy. Gọi​​ $R$​​ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp​​ $S.ABCD$. Tỉ​​ số​​ $\frac{R}{a}$​​ nhận giá trị​​ nào sau đây?

A.​​ $a\sqrt{2}.$ B.​​ $a.$ C.​​ $1$ D.​​ $\sqrt{2}.$​​

Ta có​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}\perp \mathrm{A}\mathrm{D}$​​ hay​​ $\widehat{\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{D}}=90^0.$​​ 

Gọi​​ $\mathrm{E}$​​ là trung điểm​​ $\mathrm{A}\mathrm{D}$.

Ta có​​ $\mathrm{E}\mathrm{A}=\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ nên​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{E}$​​ là hình thoi.

Suy ra​​ $\mathrm{C}\mathrm{E}=\mathrm{E}\mathrm{A}=\frac{1}{2}\mathrm{A}\mathrm{D}$.​​ 

Do đó tam giác​​ $\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}$​​ vuông tại​​ $\mathrm{C}$. Ta có

​​ $\left\{\begin{array}{c}DC\perp AC\\ DC\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{D}\mathrm{C}\perp \left(\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{C}\right)\Rightarrow \mathrm{D}\mathrm{C}\perp \mathrm{S}\mathrm{C}$​​ hay​​ $\widehat{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{D}}=90^0.$

Tương tự, ta cũng có​​ $\mathrm{S}\mathrm{B}\perp \mathrm{B}\mathrm{D}$​​ hay​​ $\widehat{\mathrm{S}\mathrm{B}\mathrm{D}}=90^0.$

Ta có​​ $\widehat{\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{D}}=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{B}\mathrm{D}}=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{D}}=90^0$​​ nên khối chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$​​ nhận trung điểm​​ $\mathrm{I}$​​ của​​ $\mathrm{S}\mathrm{D}$​​ làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính​​ $\mathrm{R}=\frac{\mathrm{S}\mathrm{D}}{2}=\frac{\sqrt{\mathrm{S}{\mathrm{A}}^2+\mathrm{A}{\mathrm{D}}^2}}{2}=\mathrm{a}\sqrt{2}$.​​ 

Suy ra​​ $\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{a}}=\sqrt{2}.$​​ Chọn D.

Câu 17.​​ Cho hình chóp​​ $S.ABCD$​​ có đáy​​ $ABCD$​​ là hình chữ​​ nhật với​​ $AB=2a$,​​ $AD=a$.​​ Cạnh bên​​ $SA$​​ vuông góc với đáy và góc giữa​​ $SC$​​ với đáy bằng​​ $45^0$. Gọi​​ $N$​​ là trung điểm​​ $SA$,​​ $h$​​ là chiều cao của khối chóp​​ $S.ABCD$​​ và​​ $R$​​ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp​​ $N.ABC$. Biểu thức liên hệ​​ giữa​​ $R$​​ và​​ $h$​​ là

A.​​ $4R=\sqrt{5}h.$ B.​​ $\sqrt{5}R=4h.$ C.​​ $R=\frac{4}{5\sqrt{5}}h.$ D.​​ $R=\frac{5\sqrt{5}}{4}h.$​​

Ta có​​ $45^0=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{C},\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\right)}=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{C},\mathrm{A}\mathrm{C}}=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{A}}$.

Trong​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{C}$, ta có​​ $h=\mathrm{S}\mathrm{A}=\mathrm{a}\sqrt{5}.$

Ta có​​ $\left\{\begin{array}{c}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{B}\mathrm{C}\perp \left(\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{B}\right)\Rightarrow \mathrm{B}\mathrm{C}\perp \mathrm{B}\mathrm{N}$.

Lại có​​ $\mathrm{N}\mathrm{A}\perp \mathrm{A}\mathrm{C}$. Do đó hai điểm​​ $\mathrm{A},\mathrm{B}$​​ cùng nhìn đoạn​​ $\mathrm{N}\mathrm{C}$​​ dưới một góc vuông nên hình chóp​​ $\mathrm{N}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ nội tiếp mặt cầu tâm​​ $\mathrm{J}$​​ là trung điểm​​ $\mathrm{N}\mathrm{C}$, bán kính​​ 

  $\mathrm{R}=\mathrm{J}\mathrm{N}=\frac{\mathrm{N}\mathrm{C}}{2}=\frac{1}{2}.\sqrt{\mathrm{A}{\mathrm{C}}^2+{\left(\frac{\mathrm{S}\mathrm{A}}{2}\right)}^2}=\frac{5\mathrm{a}}{4}.$​​ Chọn A.

Câu 18.​​ Cho hình chóp​​ $S.ABCD$​​ có đáy​​ $ABCD$​​ là hình vuông cạnh bằng​​ $a$. Đường thẳng​​ $SA=a\sqrt{2}$​​ vuông góc với đáy​​ $\left(ABCD\right)$. Gọi​​ $M$​​ là trung điểm​​ $SC$, mặt phẳng​​ $\left(\alpha \right)$​​ đi qua hai điểm​​ $A$​​ và​​ $M$​​ đồng thời song song với​​ $BD$​​ cắt​​ $SB$,​​ $SD$​​ lần lượt tại​​ $E,F$. Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm​​ $S,A,E,M,F$​​ nhận giá trị​​ nào sau đây?

A.​​ $a\sqrt{2}.$ B.​​ $a$. C.​​ $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$ D.​​ $\frac{a}{2}.$​​

Mặt phẳng​​ $\left(\mathrm{\alpha }\right)$​​ song song với​​ $\mathrm{B}\mathrm{D}$​​ cắt​​ $\mathrm{S}\mathrm{B}$,​​ $\mathrm{S}\mathrm{D}$​​ lần lượt tại​​ $\mathrm{E},\mathrm{F}$​​ nên​​ $\mathrm{E}\mathrm{F}\parallel \mathrm{B}\mathrm{D}$.

$\mathrm{\Delta }\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{C}$​​ cân tại​​ $\mathrm{A}$, trung tuyến​​ $\mathrm{A}\mathrm{M}$​​ nên​​ $\mathrm{A}\mathrm{M}\perp \mathrm{S}\mathrm{C}$.​​ $\left(1\right)$

Ta có​​ $\left\{\begin{array}{c}BD\perp AC\\ BD\perp SA\end{array}\right.$

$\Rightarrow \mathrm{B}\mathrm{D}\perp \left(\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{C}\right)\Rightarrow \mathrm{B}\mathrm{D}\perp \mathrm{S}\mathrm{C}$.

Do đó​​ $\mathrm{E}\mathrm{F}\perp \mathrm{S}\mathrm{C}$.$\left(2\right)$

Từ​​ $\left(1\right)$​​ và​​ $\left(2\right)$, suy ra​​ $\mathrm{S}\mathrm{C}\perp \left(\mathrm{\alpha }\right)\Rightarrow \mathrm{S}\mathrm{C}\perp \mathrm{A}\mathrm{E}$.​​ $\left(\mathrm{*}\right)$

Lại có​​ $\left\{\begin{array}{c}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow$

$$\mathrm{B}\mathrm{C}\perp \left(\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{B}\right)\Rightarrow \mathrm{B}\mathrm{C}\perp \mathrm{A}\mathrm{E}\left(\mathrm{*}\mathrm{*}\right)$$

Từ​​ $\left(\mathrm{*}\right)$​​ và​​ $\left(\mathrm{*}\mathrm{*}\right)$, suy ra​​ $\mathrm{A}\mathrm{E}\perp \left(\mathrm{S}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)\Rightarrow \mathrm{A}\mathrm{E}\perp \mathrm{S}\mathrm{B}$. ​​ Tương tự​​ ta cũng có​​ $\mathrm{A}\mathrm{F}\perp \mathrm{S}\mathrm{D}.$

Do đó​​ $\widehat{\mathrm{S}\mathrm{E}\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{M}\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{F}\mathrm{A}}=90^0$​​ nên năm điểm​​ $\mathrm{S},\mathrm{A},\mathrm{E},\mathrm{M},\mathrm{F}$​​ cùng thuộc mặt cầu tâm​​ $\mathrm{I}$​​ là trung điểm của​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}$, bán kính​​ $\mathrm{R}=\frac{\mathrm{S}\mathrm{A}}{2}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{2}}{2}$.​​ Chọn C.

Câu 19.​​ Cho hình chóp​​ $S.ABCD$​​ có đáy​​ $ABCD$​​ là hình vuông cạnh​​ $a$. Đường thẳng​​ $SA$​​ vuông góc đáy​​ $\left(ABCD\right).$​​ Gọi​​ $H$​​ là hình chiếu của​​ $A$​​ trên đường thẳng​​ $SB$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ​​ diện​​ $HBCD$​​ có giá trị​​ nào sau đây?

A.​​ $a\sqrt{2}.$ B.​​ $a$. C.​​ $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$ D.​​ $\frac{a}{2}.$​​

Gọi​​ $\mathrm{O}=\mathrm{A}\mathrm{C}\cap \mathrm{B}\mathrm{D}$.

Vì​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$​​ là hình vuông nên​​ $\mathrm{O}\mathrm{B}=\mathrm{O}\mathrm{D}=\mathrm{O}\mathrm{C}$.$\left(1\right)$

Ta có​​ $\left\{\begin{array}{c}CB\perp AB\\ CB\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{C}\mathrm{B}\perp \left(\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{B}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{C}\mathrm{B}\perp \mathrm{A}\mathrm{H}$.

Lại có​​ $\mathrm{A}\mathrm{H}\perp \mathrm{S}\mathrm{B}$.​​ 

Suy ra​​ $\mathrm{A}\mathrm{H}\perp \left(\mathrm{S}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)\Rightarrow \mathrm{A}\mathrm{H}\perp \mathrm{H}\mathrm{C}$​​ nên tam giác​​ $\mathrm{A}\mathrm{H}\mathrm{C}$​​ vuông tại​​ $\mathrm{H}$​​ và có​​ $\mathrm{O}$​​ là trung điểm cạnh huyền​​ $\mathrm{A}\mathrm{C}$​​ nên suy ra​​ $\mathrm{O}\mathrm{H}=\mathrm{O}\mathrm{C}$.$\left(2\right)$

Từ​​ $\left(1\right)$​​ và​​ $\left(2\right)$, suy ra​​ 

$\mathrm{R}=\mathrm{O}\mathrm{H}=\mathrm{O}\mathrm{B}=\mathrm{O}\mathrm{D}=\mathrm{O}\mathrm{C}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{2}}{2}.$​​ Chọn C.

Câu 20.​​ Cho hình chóp​​ $S.ABC$​​ có đáy​​ $ABC$​​ là tam giác vuông cân tại​​ $B$​​ và​​ $BC=a$. Cạnh bên​​ $SA$​​ vuông góc với đáy​​ $\left(ABC\right)$. Gọi​​ $H,K$​​ lần lượt là hình chiếu vuông góc của​​ $\mathrm{A}$​​ lên cạnh bên​​ $\mathrm{S}\mathrm{B}$​​ và​​ $\mathrm{S}\mathrm{C}$. Thể​​ tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp​​ $\mathrm{A}.\mathrm{H}\mathrm{K}\mathrm{C}\mathrm{B}$​​ là

A.​​ $\frac{\sqrt{2}\mathrm{\pi }{\mathrm{a}}^3}{3}.$ B.​​ $\sqrt{2}\mathrm{\pi }{\mathrm{a}}^3.$ C.​​ $\frac{\mathrm{\pi }{\mathrm{a}}^3}{6}.$ D.​​ $\frac{\mathrm{\pi }{\mathrm{a}}^3}{2}.$​​

Theo giả​​ thiết, ta có​​ 

 $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=90^0$​​ và​​ $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{K}\mathrm{C}}=90^0$.$\left(1\right)$

Do​​ $\left\{\begin{array}{c}AH\perp SB\\ BC\perp AH\left(\mathrm{B}\mathrm{C}\perp \left(\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{B}\right)\right)\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{A}\mathrm{H}\perp \mathrm{H}\mathrm{C}.$​​ $\left(2\right)$​​ 

Từ​​ $\left(1\right)$​​ và​​ $\left(2\right)$, suy ra ba điểm​​ $\mathrm{B},\mathrm{H},\mathrm{K}$​​ cùng nhìn xuống​​ $\mathrm{A}\mathrm{C}$​​ dưới một góc​​ $90^0$​​ nên hình chóp​​ $\mathrm{A}.\mathrm{H}\mathrm{K}\mathrm{C}\mathrm{B}$​​ nội tiếp mặt cầu tâm​​ $\mathrm{I}$​​ là trung điểm​​ $\mathrm{A}\mathrm{C}$, bán kính​​ $\mathrm{R}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{2}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}\sqrt{2}}{2}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{2}}{2}$.

Vậy thể​​ tích khối cầu​​ $\mathrm{V}=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }{\mathrm{R}}^3=\frac{\sqrt{2}\mathrm{\pi }{\mathrm{a}}^3}{3}$​​ (đvtt).​​ Chọn A.

Câu 21.​​ Cho hình chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$​​ có đáy​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$​​ là hình vuông tâm​​ $\mathrm{O}$,​​ $\mathrm{B}\mathrm{D}=\mathrm{a}$. Hình chiếu vuông góc​​ $\mathrm{H}$​​ của đỉnh​​ $\mathrm{S}$​​ trên mặt phẳng đáy​​ $\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\right)$​​ là trung điểm​​ $\mathrm{O}\mathrm{D}$. Đường thẳng​​ $\mathrm{S}\mathrm{D}$​​ tạo với mặt đáy một góc bằng​​ $60^0$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$​​ nhận giá trị​​ nào sau đây?

A.​​ $\frac{\mathrm{a}}{4}.$  B.​​ $\frac{\mathrm{a}}{3}.$ C.​​ $\frac{\mathrm{a}}{2}.$ D.​​ $\mathrm{a}.$​​

​​ Ta có​​ $60^0=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{D},\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\right)}=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{D},\mathrm{H}\mathrm{D}}=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{D}\mathrm{H}}$.

Trong tam giác vuông​​ $\mathrm{S}\mathrm{H}\mathrm{D}$, có​​ 

$\mathrm{S}\mathrm{H}=\frac{\mathrm{B}\mathrm{D}}{4}.\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\widehat{\mathrm{S}\mathrm{D}\mathrm{H}}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{4}$​​ và​​ $\mathrm{S}\mathrm{D}=\frac{\mathrm{H}\mathrm{D}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\widehat{\mathrm{S}\mathrm{D}\mathrm{H}}}=\frac{\mathrm{a}}{2}.$

Trong tam giác vuông​​ $\mathrm{S}\mathrm{H}\mathrm{B}$, có

  ​​ $$\mathrm{S}\mathrm{B}=\sqrt{\mathrm{S}{\mathrm{H}}^2+\mathrm{H}{\mathrm{B}}^2}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}.$$

Xét tam giác​​ $\mathrm{S}\mathrm{B}\mathrm{D}$, ta có​​ $\mathrm{S}{\mathrm{B}}^2+\mathrm{S}{\mathrm{D}}^2={\mathrm{a}}^2=\mathrm{B}{\mathrm{D}}^2$.​​ 

Suy ra tam giác​​ $\mathrm{S}\mathrm{B}\mathrm{D}$​​ vuông tại​​ $\mathrm{S}$.

Vậy các đỉnh​​ $\mathrm{S},\mathrm{A},\mathrm{C}$​​ cùng nhìn xuống​​ $\mathrm{B}\mathrm{D}$​​ dưới một góc vuông nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$​​ là​​ $\mathrm{O}$, bán kính​​ $\mathrm{R}=\frac{1}{2}\mathrm{B}\mathrm{D}=\frac{\mathrm{a}}{2}$.​​ Chọn C.

Câu 22.​​ Cho hình chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ có đáy​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ là tam giác đều cạnh​​ $\mathrm{a}$, hình chiếu vuông góc của đỉnh​​ $\mathrm{S}$​​ trên mặt phẳng​​ $\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)$​​ là trung điểm​​ $\mathrm{H}$​​ của cạnh​​ $\mathrm{B}\mathrm{C}$.​​ Góc giữa đường thẳng​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}$​​ và mặt phẳng​​ $\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)$​​ bằng​​ $60^0$.​​ Gọi​​ $\mathrm{G}$​​ là trọng tâm tam giác​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{C}$,​​ $\mathrm{R}$​​ là bán kính mặt cầu có tâm​​ $\mathrm{G}$​​ và tiếp xúc với mặt phẳng​​ $\left(\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{B}\right)$. Đẳng thức nào sau đây sai?

A.​​ $\mathrm{R}=\mathrm{d}\left[\mathrm{G},\left(\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{B}\right)\right].$ B.​​ $3\sqrt{13}\mathrm{R}=2\mathrm{S}\mathrm{H}.$

C.​​ $\frac{{\mathrm{R}}^2}{{\mathrm{S}}_{\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}}=\frac{4\sqrt{3}}{39}.$ D.​​ $\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{a}}=\sqrt{13}.$​​

Ta có​​ $60^0=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{A},\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)}=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{A},\mathrm{H}\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{H}}$.

Tam giác​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ đều cạnh​​ $\mathrm{a}$​​ nên​​ $\mathrm{A}\mathrm{H}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}$.

Trong tam giác vuông​​ $\mathrm{S}\mathrm{H}\mathrm{A}$, ta có​​ $\mathrm{S}\mathrm{H}=\mathrm{A}\mathrm{H}.\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\widehat{\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{H}}=\frac{3\mathrm{a}}{2}$.

Vì mặt cầu có​​ tâm​​ $\mathrm{G}$​​ và tiếp xúc với​​ $\left(\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{B}\right)$​​ nên bán kính mặt cầu​​ $\mathrm{R}=\mathrm{d}\left[\mathrm{G},\left(\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{B}\right)\right].$

Ta có​​ $\mathrm{d}\left[\mathrm{G},\left(\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{B}\right)\right]=\frac{1}{3}\mathrm{d}\left[\mathrm{C},\left(\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{B}\right)\right]=\frac{2}{3}\mathrm{d}\left[\mathrm{H},\left(\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{B}\right)\right].$

Gọi​​ $\mathrm{M},\mathrm{E}$​​ lần lượt là trung điểm​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}$​​ và​​ $\mathrm{M}\mathrm{B}$.

Suy ra​​ $\left\{\begin{array}{c}CM\perp AB\\ CM=\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$​​ và​​ $\left\{\begin{array}{c}HE\perp AB\\ HE=\frac{1}{2}CM=\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{4}\end{array}\right.$.

Gọi​​ $\mathrm{K}$​​ là hình chiếu vuông góc của​​ $\mathrm{H}$​​ trên​​ $\mathrm{S}\mathrm{E}$, suy ra​​ $\mathrm{H}\mathrm{K}\perp \mathrm{S}\mathrm{E}$.​​ $\left(1\right)$

Ta có​​ $\left\{\begin{array}{c}HE\perp AB\\ AB\perp SH\end{array}\right.$​​ 

$$\Rightarrow \mathrm{A}\mathrm{B}\perp \left(\mathrm{S}\mathrm{H}\mathrm{E}\right)\Rightarrow \mathrm{A}\mathrm{B}\perp \mathrm{H}\mathrm{K}\left(2\right)$$

Từ​​ $\left(1\right)$​​ và​​ $\left(2\right)$, suy ra​​ $\mathrm{H}\mathrm{K}\perp \left(\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{B}\right)$​​ nên​​ $\mathrm{d}\left[\mathrm{H},\left(\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{B}\right)\right]=\mathrm{H}\mathrm{K}$.

Trong tam giác vuông​​ $\mathrm{S}\mathrm{H}\mathrm{E}$, ta có​​ $\mathrm{H}\mathrm{K}=\frac{\mathrm{S}\mathrm{H}.\mathrm{H}\mathrm{E}}{\sqrt{\mathrm{S}{\mathrm{H}}^2+\mathrm{H}{\mathrm{E}}^2}}=\frac{3\mathrm{a}}{2\sqrt{13}}$.

Vậy​​ $\mathrm{R}=\frac{2}{3}\mathrm{H}\mathrm{K}=\frac{\mathrm{a}}{\sqrt{13}}$.​​ Chọn D.

Câu 23.​​ Cho hình chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$​​ có đáy​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$​​ là hình vuông cạnh​​ $\mathrm{a}$. Mặt bên​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{B}$​​ là tam giác vuông tại​​ $\mathrm{S}$​​ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể​​ tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$​​ là

A.​​ $\frac{\sqrt{2}\mathrm{\pi }{\mathrm{a}}^3}{3}.$ B.​​ $\frac{11\sqrt{11}\mathrm{\pi }{\mathrm{a}}^3}{162}.$ C.​​ $\frac{\mathrm{\pi }{\mathrm{a}}^3}{6}.$ D.​​ $\frac{\mathrm{\pi }{\mathrm{a}}^3}{3}.$​​

Gọi​​ $\mathrm{O}=\mathrm{A}\mathrm{C}\cap \mathrm{B}\mathrm{D}$​​ 

 Suy ra​​ $\mathrm{O}\mathrm{A}=\mathrm{O}\mathrm{B}=\mathrm{O}\mathrm{C}=\mathrm{O}\mathrm{D}.$​​ $\left(1\right)$

Gọi​​ $\mathrm{M}$​​ là trung điểm​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}$, do tam giác​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{B}$​​ vuông tại​​ $\mathrm{S}$​​ nên​​ $\mathrm{M}\mathrm{S}=\mathrm{M}\mathrm{A}=\mathrm{M}\mathrm{B}$.

Gọi​​ $\mathrm{H}$​​ là hình chiếu của​​ $\mathrm{S}$​​ trên​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}$.​​ 

Từ​​ giả​​ thiết suy ra​​ $\mathrm{S}\mathrm{H}\perp \left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\right).$​​ 

Ta có​​ $\left\{\begin{array}{c}OM\perp AB\\ OM\perp SH\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{O}\mathrm{M}\perp \left(\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{B}\right)$nên​​ $\mathrm{O}\mathrm{M}$​​ là trục​​ của tam giác​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{B}$, suy ra​​ $\mathrm{O}\mathrm{A}=\mathrm{O}\mathrm{B}=\mathrm{O}\mathrm{S}.$​​ $\left(2\right)$

Từ​​ $\left(1\right)$​​ và​​ $\left(2\right)$, ta có​​ $\mathrm{O}\mathrm{S}=\mathrm{O}\mathrm{A}=\mathrm{O}\mathrm{B}=\mathrm{O}\mathrm{C}=\mathrm{O}\mathrm{D}.$

Vậy​​ $\mathrm{O}$​​ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$, bán kính​​ $\mathrm{R}=\mathrm{O}\mathrm{A}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{2}}{2}$.​​ 

Suy ra​​ $\mathrm{V}=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }{\mathrm{R}}^3=\frac{\sqrt{2}\mathrm{\pi }{\mathrm{a}}^3}{3}$​​ (đvtt).​​ Chọn A.

Gọi​​ $\mathrm{G}$​​ là trọng tâm​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, suy ra​​ $\mathrm{G}$​​ là tâm đường tròn ngoại tiếp​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$.

Từ​​ $\mathrm{G}$​​ dựng tia​​ $\mathrm{G}\mathrm{x}\perp \left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)$​​ (như hình vẽ).​​ 

Suy ra​​ $\mathrm{G}\mathrm{x}$​​ là trục của​​ tam giác​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$.

Trong mặt phẳng​​ $\left(\mathrm{S}\mathrm{A},\mathrm{G}\mathrm{x}\right)$, kẻ​​ trung trực​​ $\mathrm{d}$​​ của đoạn thẳng​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}$.

Gọi​​ $\mathrm{O}=\mathrm{G}\mathrm{x}\cap \mathrm{d}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}O\in Gx\\ O\in d\end{array}\right.$

$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}OA=OB=OC\\ OA=OS\end{array}\right.$$

$\Rightarrow \mathrm{O}\mathrm{A}=\mathrm{O}\mathrm{B}=\mathrm{O}\mathrm{C}=\mathrm{O}\mathrm{S}=\mathrm{R}$.

Suy ra​​ $\mathrm{O}$​​ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$.

Ta có​​ $\mathrm{O}\mathrm{G}=\mathrm{P}\mathrm{A}=\frac{1}{2}\mathrm{S}\mathrm{A}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}$;​​ 

$\mathrm{A}\mathrm{G}=\frac{2}{3}\mathrm{A}\mathrm{M}=\frac{2}{3}.\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{3}$.

Trong tam giác vuông​​ $\mathrm{O}\mathrm{G}\mathrm{A}$, ta có​​ $\mathrm{R}=\mathrm{O}\mathrm{A}=$

$\sqrt{\mathrm{O}{\mathrm{G}}^2+\mathrm{A}{\mathrm{G}}^2}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{39}}{6}.$​​ Chọn C.

Câu 24.​​ Cho hình chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ có đáy​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ là một tam giác đều cạnh bằng​​ $\mathrm{a}$. Cạnh bên​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}=\mathrm{a}\sqrt{3}$​​ và vuông góc với đáy​​ $\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ là

A.​​ $\frac{\mathrm{a}}{2}.$  B.​​ $\frac{\mathrm{a}\sqrt{13}}{2}.$ C.​​ $\frac{\mathrm{a}\sqrt{39}}{6}.$ D.​​ $\frac{\mathrm{a}\sqrt{15}}{4}.$​​

Gọi​​ $\mathrm{G}$​​ là trọng tâm​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, suy ra​​ $\mathrm{G}$​​ là tâm đường tròn ngoại tiếp​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$.

Từ​​ $\mathrm{G}$​​ dựng tia​​ $\mathrm{G}\mathrm{x}\perp \left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)$​​ (như hình vẽ).​​ 

Suy ra​​ $\mathrm{G}\mathrm{x}$​​ là trục của​​ tam giác​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$.

Trong mặt phẳng​​ $\left(\mathrm{S}\mathrm{A},\mathrm{G}\mathrm{x}\right)$, kẻ​​ trung trực​​ $\mathrm{d}$​​ của đoạn thẳng​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}$.

Gọi​​ $\mathrm{O}=\mathrm{G}\mathrm{x}\cap \mathrm{d}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}O\in Gx\\ O\in d\end{array}\right.$

$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}OA=OB=OC\\ OA=OS\end{array}\right.$$

$\Rightarrow \mathrm{O}\mathrm{A}=\mathrm{O}\mathrm{B}=\mathrm{O}\mathrm{C}=\mathrm{O}\mathrm{S}=\mathrm{R}$.

Suy ra​​ $\mathrm{O}$​​ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$.

Ta có​​ $\mathrm{O}\mathrm{G}=\mathrm{P}\mathrm{A}=\frac{1}{2}\mathrm{S}\mathrm{A}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}$;​​ 

$\mathrm{A}\mathrm{G}=\frac{2}{3}\mathrm{A}\mathrm{M}=\frac{2}{3}.\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{3}$.

Trong tam giác vuông​​ $\mathrm{O}\mathrm{G}\mathrm{A}$, ta có​​ $\mathrm{R}=\mathrm{O}\mathrm{A}=$

$\sqrt{\mathrm{O}{\mathrm{G}}^2+\mathrm{A}{\mathrm{G}}^2}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{39}}{6}.$​​ Chọn C.

Câu 25.​​ Cho tứ​​ diện​​ $\mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ có các cạnh​​ $\mathrm{O}\mathrm{A},\mathrm{O}\mathrm{B},\mathrm{O}\mathrm{C}$​​ đôi một vuông góc và​​ $\mathrm{O}\mathrm{A}=\mathrm{a}$,​​ $\mathrm{O}\mathrm{B}=2\mathrm{a}$,​​ $\mathrm{O}\mathrm{C}=3\mathrm{a}$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ​​ diện​​ $\mathrm{O}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ là

A.​​ $\mathrm{a}\sqrt{3}$ B.​​ $\frac{3\mathrm{a}}{2}.$ C.​​ $\frac{\mathrm{a}\sqrt{6}}{2}.$ D.​​ $\frac{\mathrm{a}\sqrt{14}}{2}.$​​

Gọi​​ $\mathrm{M}$​​ là trung điểm​​ $\mathrm{B}\mathrm{C}$,​​ 

   suy ra​​ $\mathrm{M}$​​ là tâm đường tròn ngoại tiếp​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{O}\mathrm{B}\mathrm{C}.$

Kẻ​​ $\mathrm{M}\mathrm{x}\perp \left(\mathrm{O}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)$​​ (như hình vẽ).

Suy ra​​ $\mathrm{M}\mathrm{x}$​​ là trục của​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{O}\mathrm{B}\mathrm{C}$.

Trong mặt phẳng​​ $\left(\mathrm{O}\mathrm{A},\mathrm{M}\mathrm{x}\right)$, kẻ​​ trung trực​​ $\mathrm{d}$​​ của đoạn thẳng​​ $\mathrm{O}\mathrm{A}$​​ cắt​​ $\mathrm{M}\mathrm{x}$​​ tại​​ $\mathrm{I}$.​​ 

Khi đó​​ $\mathrm{I}$​​ chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ​​ diện.

Bán kính mặt cầu​​ $\mathrm{R}=\mathrm{I}\mathrm{O}=\sqrt{\mathrm{I}{\mathrm{M}}^2+\mathrm{O}{\mathrm{M}}^2}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{14}}{2}.$Chọn D.

Câu 26.​​ Cho hình chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ có đáy​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ là tam giác vuông tại​​ $\mathrm{A}$,​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{A}\mathrm{C}=\mathrm{a}$. Cạnh bên​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}$​​ vuông góc với đáy​​ $\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)$. Gọi​​ $\mathrm{I}$​​ là trung điểm của​​ $\mathrm{B}\mathrm{C}$,​​ $\mathrm{S}\mathrm{I}$​​ tạo với đáy​​ $\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)$​​ một góc​​ $60^0.$​​ Gọi​​ $\mathrm{S},\mathrm{V}$​​ lần lượt là diện tích mặt cầu và thể​​ tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$. Tỉ​​ số​​ $\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{S}}$​​ bằng ?

A.​​ $\mathrm{a}\sqrt{14}$ B.​​ $\frac{\mathrm{a}\sqrt{14}}{12}.$ C.​​ $\frac{3\mathrm{a}\sqrt{14}}{4}.$ D.​​ $\frac{\mathrm{a}\sqrt{2}}{6}.$​​

 Ta có​​ $60^{\mathrm{o}}=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{I},\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)}=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{I},\mathrm{A}\mathrm{I}}=\widehat{\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{A}}$.

Tam giác​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ vuông cân tại​​ $\mathrm{A}$, suy ra​​ $\mathrm{A}\mathrm{I}=\frac{1}{2}\mathrm{B}\mathrm{C}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{2}}{2}$.

Trong​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{I}$, ta có​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}=\mathrm{A}\mathrm{I}.\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\widehat{\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{6}}{2}$.

Kẻ​​ $\mathrm{I}\mathrm{x}\perp \left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)$​​ (như hình vẽ).​​ 

Suy ra​​ $\mathrm{I}\mathrm{x}$​​ là trục của​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$.

Trong mặt phẳng​​ $\left(\mathrm{S}\mathrm{A},\mathrm{I}\mathrm{x}\right)$, kẻ​​ trung trực​​ $\mathrm{d}$​​ của đoạn thẳng​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}$​​ cắt​​ $\mathrm{I}\mathrm{x}$​​ tại​​ $\mathrm{J}$. Khi đó​​ $\mathrm{J}$​​ chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính​​ $\mathrm{R}=\mathrm{J}\mathrm{A}=\sqrt{\mathrm{J}{\mathrm{I}}^2+\mathrm{A}{\mathrm{I}}^2}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{14}}{4}$​​ nên​​ $\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{S}}=\frac{\mathrm{R}}{3}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{14}}{12}.$​​ Chọn B.

Câu 27.​​ Cho hình chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$​​ có đáy​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$​​ là hình thoi cạnh​​ $\mathrm{a}$, góc​​ $\widehat{\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{D}}=120^0$. Cạnh bên​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}=\mathrm{a}\sqrt{3}$​​ và vuông góc với đáy​​ $\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\right)$.​​ 

 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}$​​ nhận giá trị

A.​​ $\frac{\mathrm{a}\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}.$ B.​​ $\frac{2\mathrm{a}}{3}.$ C.​​ $\frac{\mathrm{a}\sqrt{13}}{3}.$ D.​​ $\frac{\mathrm{a}\sqrt{13}}{3\sqrt{3}}.$​​

Gọi​​ $\mathrm{G}$​​ là trọng tâm tam giác đều​​ $\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}$. Kẻ​​ $\mathrm{G}\mathrm{x}\perp \left(\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}\right)$, suy ra​​ $\mathrm{G}\mathrm{x}$​​ là trục của​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}$.

Trong mặt phẳng​​ $\left(\mathrm{S}\mathrm{A},\mathrm{G}\mathrm{x}\right)$, kẻ​​ trung trực​​ $\mathrm{d}$​​ của đoạn​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}$​​ cắt​​ $\mathrm{G}\mathrm{x}$​​ tại​​ $\mathrm{I}$.​​ 

Khi đó​​ $\mathrm{I}$​​ chính là tâm mặt cầu​​ ngoại tiếp.

Ta có​​ $\mathrm{I}\mathrm{G}=\mathrm{M}\mathrm{A}=\frac{\mathrm{S}\mathrm{A}}{2}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}$;​​ 

 $$\mathrm{G}\mathrm{A}=\frac{2}{3}\mathrm{A}\mathrm{E}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{3}.$$​​ 

Suy ra bán kính​​ 

 $\mathrm{R}=\mathrm{I}\mathrm{A}=\sqrt{\mathrm{I}{\mathrm{G}}^2+\mathrm{G}{\mathrm{A}}^2}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{39}}{6}.$​​ Chọn A.

Câu 28.​​ Cho hình chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ có đáy​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ là tam giác vuông tại​​ $\mathrm{C}$​​ và​​ $\mathrm{B}\mathrm{C}=\mathrm{a}$. Mặt phẳng​​ $\left(\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{B}\right)$​​ vuông góc với đáy,​​ $\mathrm{S}\mathrm{A}=\mathrm{S}\mathrm{B}=\mathrm{a}$,​​ $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{B}}=120^0$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ là

A.​​ $\frac{\mathrm{a}}{4}.$  B.​​ $\frac{\mathrm{a}}{2}.$ C.​​ $\mathrm{a}.$ D.​​ $2\mathrm{a}.$​​

Gọi​​ $\mathrm{M}$​​ là trung điểm​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}$, suy ra​​ $\mathrm{S}\mathrm{M}\perp \mathrm{A}\mathrm{B}$​​ và​​ $\mathrm{S}\mathrm{M}\perp \left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)$.

Do đó​​ $\mathrm{S}\mathrm{M}$​​ là trục của tam giác​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$.

Trong mặt phẳng​​ $\left(\mathrm{S}\mathrm{M}\mathrm{B}\right)$, kẻ​​ đường trung trực​​ $\mathrm{d}$​​ của đoạn​​ $\mathrm{S}\mathrm{B}$​​ cắt​​ $\mathrm{S}\mathrm{M}$​​ tại​​ $\mathrm{I}$. Khi đó​​ $\mathrm{I}$​​ là tâm​​ mặt cầu ngoại tiếp hình chóp​​ $\mathrm{S}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, bán kính​​ $\mathrm{R}=\mathrm{S}\mathrm{I}.$

Ta có​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}=\sqrt{\mathrm{S}{\mathrm{A}}^2+\mathrm{S}{\mathrm{B}}^2-2\mathrm{S}\mathrm{A}.\mathrm{S}\mathrm{B}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\widehat{\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{B}}}=\mathrm{a}\sqrt{3}.$

Trong​​ tam giác vuông​​ $\mathrm{S}\mathrm{M}\mathrm{B}$, ta có​​ 

 $\mathrm{S}\mathrm{M}=\mathrm{S}\mathrm{B}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\widehat{\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{B}}=\mathrm{a}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}60^0=\frac{\mathrm{a}}{2}$. ​​ ​​ ​​​​ 

Ta có​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{S}\mathrm{M}\mathrm{B}~\mathrm{\Delta }\mathrm{S}\mathrm{P}\mathrm{I}$, suy ra​​ 

 $$\frac{\mathrm{S}\mathrm{M}}{\mathrm{S}\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{S}\mathrm{P}}{\mathrm{S}\mathrm{I}}$$

$$\Rightarrow \mathrm{R}=\mathrm{S}\mathrm{I}=\frac{\mathrm{S}\mathrm{B}.\mathrm{S}\mathrm{P}}{\mathrm{S}\mathrm{M}}=\mathrm{a}$$

Chọn C.

Câu 29.​​ Cho lăng trụ​​ đứng​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}.\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}\mathrm{C}\mathrm{\text{'}}$​​ có đáy​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ là tam giác vuông tại​​ $\mathrm{B}$,​​ $\mathrm{A}\mathrm{C}=\mathrm{a}\sqrt{3}$, góc​​ $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}}$​​ bằng​​ $30^0$. Góc giữa đường​​ thẳng​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}$​​ và mặt phẳng​​ $\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)$​​ bằng​​ $60^0$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ​​ diện​​ $\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ bằng

A.​​ $\frac{3\mathrm{a}}{4}.$ B.​​ $\frac{\mathrm{a}\sqrt{21}}{4}.$ C.​​ $\frac{\mathrm{a}\sqrt{21}}{2}.$ D.​​ $\frac{\mathrm{a}\sqrt{21}}{8}.$​​

Ta có​​ $60^0=\left(\widehat{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\text{'}},\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)}\right)$.

$$=\left(\widehat{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\text{'}},\mathrm{A}\mathrm{B}}\right)=\widehat{\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}\mathrm{A}\mathrm{B}}$$

Trong​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, ta có​​ 

$$\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{A}\mathrm{C}.\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\widehat{\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}.$$

Trong​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}\mathrm{B}\mathrm{A}$, ta có​​ 

$$\mathrm{B}\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}=\mathrm{A}\mathrm{B}.\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\widehat{\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}\mathrm{A}\mathrm{B}}=\frac{3\mathrm{a}}{2}.$$

Gọi​​ $\mathrm{N}$​​ là trung điểm​​ $\mathrm{A}\mathrm{C}$,​​ 

 suy ra​​ $\mathrm{N}$​​ là tâm đường tròn ngoại tiếp​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$.

Gọi​​ $\mathrm{I}$​​ là trung điểm​​ $\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{C}$,​​ 

 suy ra​​ $\mathrm{I}\mathrm{N}\parallel \mathrm{A}\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\Rightarrow \mathrm{I}\mathrm{N}\perp \left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\right)$.​​ 

Do đó​​ $\mathrm{I}\mathrm{N}$​​ là trục của​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, suy ra​​ $\mathrm{I}\mathrm{A}=\mathrm{I}\mathrm{B}=\mathrm{I}\mathrm{C}.\left(1\right)$

Hơn nữa, tam giác​​ $\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{A}\mathrm{C}$​​ vuông​​ tại​​ $\mathrm{A}$​​ có​​ $\mathrm{I}$​​ là trung điểm​​ $\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{C}$​​ nên​​ $\mathrm{I}\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}=\mathrm{I}\mathrm{C}=\mathrm{I}\mathrm{A}$.​​ $\left(2\right)$

Từ​​ $\left(1\right)$​​ và​​ $\left(2\right)$, ta có​​ $\mathrm{I}\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}=\mathrm{I}\mathrm{A}=\mathrm{I}\mathrm{B}=\mathrm{I}\mathrm{C}$​​ hay​​ $\mathrm{I}$​​ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp​​ $\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}.\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$​​ với bán kính​​ $\mathrm{R}=\mathrm{I}\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{C}}{2}$

$=\frac{\sqrt{\mathrm{A}\mathrm{A}{\mathrm{\text{'}}}^2+\mathrm{A}{\mathrm{C}}^2}}{2}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{21}}{4}$.​​ Chọn B.

Câu 30.​​ Cho lăng trụ​​ đứng​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}.\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}\mathrm{C}\mathrm{\text{'}}$​​ có đáy là tam giác đều cạnh​​ $\mathrm{a}$. Mặt phẳng​​ $\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}\mathrm{C}\mathrm{\text{'}}\right)$​​ tạo với mặt đáy góc​​ $60^0$​​ và điểm​​ $\mathrm{G}$​​ là trọng tâm tam giác​​ $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp​​ $\mathrm{G}.\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}\mathrm{C}\mathrm{\text{'}}$​​ bằng

A.​​ $\frac{85\mathrm{a}}{108}.$ B.​​ $\frac{3\mathrm{a}}{2}$. C.​​ $\frac{3\mathrm{a}}{4}.$ D.​​ $\frac{31\mathrm{a}}{36}.$​​

ọi​​ $\mathrm{M}$​​ là trung điểm​​ $\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}\mathrm{C}\mathrm{\text{'}}$,​​ ta có​​ 

 $60^0=\widehat{\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}\mathrm{C}\mathrm{\text{'}}\right),\left(\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}\mathrm{C}\mathrm{\text{'}}\right)}=\widehat{\left(\mathrm{A}\mathrm{M},\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{M}\right)}=\widehat{\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}}$.

Trong​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{M}$, có​​ $\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{M}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}$;​​ 

$\mathrm{A}\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}=\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{M}.\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\widehat{\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}}=\frac{3\mathrm{a}}{2}$.

Gọi​​ $\mathrm{G}\mathrm{\text{'}}$​​ là trọng tâm tam giác đều​​ $\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}\mathrm{C}\mathrm{\text{'}}$, suy ra​​ $\mathrm{G}\mathrm{\text{'}}$​​ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}\mathrm{C}\mathrm{\text{'}}.$

Vì​​ lặng trụ​​ đứng nên​​ $\mathrm{G}\mathrm{G}\mathrm{\text{'}}\perp \left(\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}\mathrm{C}\mathrm{\text{'}}\right)$.​​ 

Do đó​​ $\mathrm{G}\mathrm{G}\mathrm{\text{'}}$​​ là trục của tam giác​​ $\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}\mathrm{C}\mathrm{\text{'}}$.

Trong mặt phẳng​​ $\left(\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{\text{'}}\mathrm{G}\mathrm{\text{'}}\right)$, kẻ​​ trung trực​​ $\mathrm{d}$​​ của đoạn thẳng​​ $\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{\text{'}}$​​ cắt​​ $\mathrm{G}\mathrm{G}\mathrm{\text{'}}$​​ tại​​ $\mathrm{I}$. Khi đó​​ $\mathrm{I}$​​ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp​​ $\mathrm{G}.\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}\mathrm{C}\mathrm{\text{'}}$, bán kính​​ $\mathrm{R}=\mathrm{G}\mathrm{I}.$​​ 

Ta có​​ $\mathrm{\Delta }\mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{ }\mathrm{ }~\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{\Delta }\mathrm{G}\mathrm{G}\mathrm{\text{'}}\mathrm{C}\mathrm{\text{'}}\Rightarrow \frac{\mathrm{G}\mathrm{P}}{\mathrm{G}\mathrm{I}}=\frac{\mathrm{G}\mathrm{G}\mathrm{\text{'}}}{\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{\text{'}}}$

$$\Rightarrow \mathrm{R}=\mathrm{G}\mathrm{I}=\frac{\mathrm{G}\mathrm{P}.\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{\text{'}}}{\mathrm{G}\mathrm{G}\mathrm{\text{'}}}=\frac{\mathrm{G}\mathrm{C}{\mathrm{\text{'}}}^2}{2\mathrm{G}\mathrm{G}\mathrm{\text{'}}}$$

$=\frac{\mathrm{G}\mathrm{G}{\mathrm{\text{'}}}^2+\mathrm{G}\mathrm{\text{'}}\mathrm{C}{\mathrm{\text{'}}}^2}{2\mathrm{G}\mathrm{G}\mathrm{\text{'}}}=\frac{31\mathrm{a}}{36}$.​​ Chọn D.

Câu 31: Cho mặt cầu tâm O bán kính R và điểm A bất kì trong không gian. Điểm A không nằm ngoài mặt cầu khi và chỉ khi:

A. OA = R   B. OA ≤ R   C. OA < R   D. OA > R

Đáp án đúng là B.

Câu 32: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuôg cân đỉnh B và BC = a, SA ⊥ (ABC), SA = 2a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Điểm S nằm trong mặt cầu tâm A bán kính a

B. Điểm S nằm ngoài mặt cầu tâm A bán kính 2a

C. Điểm C nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 2a

D. Cả ba điểm S, B, C cùng nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 2a.

Từ giả thiết ta có: SA = 2a; AB = a và AC = a√2 .

Đáp án đúng là C.

Câu 33: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một mặt phẳng (P). Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) có nhiều hơn một điểm chung với mặt cầu (S) nếu :

A. h ≤ R   B. h ≥ R   C. h > R   D. h < R

Từ vị trí tương đối của một mặt phẳng với mặt cầu ta có đáp án đúng là D.

Câu 4: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một đường thẳng d. Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến đường thẳng d. Đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) nếu và chỉ nếu:

A. h ≤ R   B. h = R   C. h > R   D. h < R

Từ vị trí tương đối của một đường thẳng và mặt cầu ta có đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) khi và chỉ khi đường thẳng d tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu (S).

Đáp án đúng là A.

Câu 34: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) theo a là:

A. 2a   B. a    C. a√2/2   D. 2a√5/5

Ta có mặt cầu S(A;r) tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) khi và chỉ khi r = d(A; (SBC)) .

Hạ AH ⊥ SB tại H. Do BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB) , suy ra BC ⊥ AH .

Mặt khác AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) hay d(A; (SBC)) = AH Xét tam giác vuông SAB ta có:

Đáp án đúng là D.

Câu 35: Cho hai quả cầu cùng bán kính là 5cm. Để đựng hai quả cầu Nam phải làm một hình hộp chữ nhật từ bìa carton. Hỏi trong các đáp án dưới đây, Nam cần ít nhất bao nhiêu xen-ti-mét vuông bìa carton để làm được chiếc hộp đó?

A. 300(cm²)   B. 1000(cm²)   C. 250(cm²)   D. 1250(cm²)

Hình hộp chữ nhật đựng được hai quả cầu bán kính 5cm thì độ dài các cạnh ít nhất là 10cm, 10cm, 20cm. Khi đó ta có: S_tp = 2 x 10² + 4 x 10 x 20 = 1000(cm²) .

Đáp án đúng là B.

Câu 36: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp có đáy là một tứ giác nội tiếp được đường tròn.

B. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là hình chóp tam giác

C. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó có các cạnh bên bằng nhau.

D. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu có cạnh bên vuông góc với đáy.

Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp đó có đáy là một đa giác nội tiếp được đường tròn nên mệnh đề A và B đúng. Hình chps có các cạnh bên bằng nhau có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy nên hình chóp đó có đáy nội tiếp được đường tròn và do đó đáp án C đúng.

Đáp án cần chọn là D.

Câu 37: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hình lăng trụ có mặtc ầu ngoại tiếp nếu đáy của nó là hình vuông

B. Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là lăng trụ đứng

C. Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn

D. Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là lăng trụ đứng tam giác.

Đáp án đúng là D.

Câu 38: Cho đường thẳng a và điểm A cách đường thẳng a một khoảng bằng 4cm. Trong các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng a, mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất thì diện tích đó bằng :

A. 4π(cm²)   B. 16π/3(cm²)   C. 16π(cm²)   D. 64π(cm²)

Gọi S(I ;r) là mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với a.

Ta có diện tích của mặt cầu là : S = 4πr³ nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi r đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi tiếp điểm của đường thẳng a và mặt cầu là H và hình chiếu vuông góc hạ từ A lên đường thẳng A là A’. Khi đó ta có :

2r = IA + IH ≥ AH ≥ AA' => r ≥ AA'/2 = 2(cm)

Vậy r đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2cm khi I là trung điểm của AA’.

Khi đó mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất là S = 4π2² = 16π(cm²).

Đáp án đúng là C.

Câu 39: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một mặt phẳng (P). Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có điểm chung nếu và chỉ nếu :

A. h < R    B. h = R   C. h ≤ R    D. h ≥ R

Từ vị trí tương đối của một mặt phẳng và mặt cầu ta có mặt phẳng (P) có điểm chung với mặt cầu (S) khi và chỉ khi mặt phẳng (P) tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu (S)

Câu 40: Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O cách Δ một khoảng bằng 20cm. Mặt cầu (S) tâm O cắt đường thẳng Δ theo một dây có độ dài 30cm có bán kính r bằng :

A. r = 45cm   B. r = 30cm    C. r = 25cm    D. r = 20cm

Câu 41: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA tạo với đáy một góc bằng 30^o và SA=2a. Trong các điểm S, B, C điểm nào nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 3a.

A. Không điểm nào   C. Chỉ hai điểm B và C

B. Chỉ điểm S   D. Cả ba điểm

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Ta có:

góc SAO = 30^o => AO = a√3 => AB = AC = 3a

Câu 42: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A và AB = SB = a , SB vuông góc với mặt phẳng (ABC). Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng SC và AB là :

Mặt cầu S(I,r) tiếp xúc với AB, SC lần lượt tại T, K. Khi đó ta có:

2r = IT + IK ≥ d(AB; SC) => r ≥ d(AB, SC)/2

Dựng hình bình hành ABDC, khi đó ta có ABDC là hình vuông cạnh a. Hạ BH vuông góc với SD tại H. Khi đó ta có BH ⊥ (SCD).

Suy ra: d(SC; AB) = d(AB, (SCD)) = d(B; (SCD))

Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2AD = 2a, SA vuông góc với đáy, SA = a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :

Theo định lí ba đường vuông góc ta có hai tam giác SBC và SDC lần lượt vuông góc tại B, D. Gọi I là trung điểm của SC thì ta có : IA = IB = ID = SC/2 = IS = IC nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

Câu 44:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a .

Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều nên SH ⊥ AB mà (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, d là đường thẳng qua O và song song SH thì d ⊥ (ABCD) hay d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Trong mặt phẳng (SAB) từ G kẻ đường thẳng vuông góc với (SAB) cắt d tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính R = IS.