Toptailieu.vn xin giới thiệu 50 bài tập trắc nghiệm Mặt cầu (có đáp án) chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 12 ôn luyện kiến thức để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Mặt cầu

Câu 1: Cho mặt cầu tâm O bán kính R và điểm A bất kì trong không gian. Điểm A không nằm ngoài mặt cầu khi và chỉ khi:

A. OA = R

B. OA ≤ R

C. OA < R

D. OA > R

Lời giải:

Đáp án đúng là B.

Đáp án cần chọn là:B

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuôg cân đỉnh B và BC = a, SA ⊥ (ABC), SA = 2a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Điểm S nằm trong mặt cầu tâm A bán kính a

B. Điểm S nằm ngoài mặt cầu tâm A bán kính 2a

C. Điểm C nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 2a

D. Cả ba điểm S, B, C cùng nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 2a.

Lời giải:

Từ giả thiết ta có: SA = 2a; AB = a và AC = a√2 .

Đáp án cần chọn là:C

Câu 3: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một mặt phẳng (P). Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) có nhiều hơn một điểm chung với mặt cầu (S) nếu :

A. h ≤ R

B. h ≥ R

C. h > R

D. h < R

Lời giải:

Từ vị trí tương đối của một mặt phẳng với mặt cầu ta có đáp án đúng là D.

Đáp án cần chọn là:D

Câu 4: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một đường thẳng d. Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến đường thẳng d. Đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) nếu và chỉ nếu:

A. h ≤ R

B. h = R

C. h > R

D. h < R

Lời giải:

Từ vị trí tương đối của một đường thẳng và mặt cầu ta có đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) khi và chỉ khi đường thẳng d tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu (S).

Đáp án cần chọn là:A

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) theo a là:

A. 2a

B. a

C. a√2/2

D. 2a√5/5

Lời giải:

Ta có mặt cầu S(A;r) tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) khi và chỉ khi r = d(A; (SBC)) .

Hạ AH ⊥ SB tại H. Do BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB) , suy ra BC ⊥ AH .

Mặt khác AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) hay d(A; (SBC)) = AH Xét tam giác vuông SAB ta có:

Đáp án cần chọn là:D

Câu 6: Cho hai quả cầu cùng bán kính là 5cm. Để đựng hai quả cầu Nam phải làm một hình hộp chữ nhật từ bìa carton. Hỏi trong các đáp án dưới đây, Nam cần ít nhất bao nhiêu xen-ti-mét vuông bìa carton để làm được chiếc hộp đó?

A. 300(cm²)

B. 1000(cm²)

C. 250(cm²)

D. 1250(cm²)

Lời giải:

Hình hộp chữ nhật đựng được hai quả cầu bán kính 5cm thì độ dài các cạnh ít nhất là 10cm, 10cm, 20cm. Khi đó ta có: S_tp = 2 x 10² + 4 x 10 x 20 = 1000(cm²) .

Đáp án cần chọn là:B

Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp có đáy là một tứ giác nội tiếp được đường tròn.

B. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là hình chóp tam giác

C. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó có các cạnh bên bằng nhau.

D. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu có cạnh bên vuông góc với đáy.

Lời giải:

Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp đó có đáy là một đa giác nội tiếp được đường tròn nên mệnh đề A và B đúng. Hình chps có các cạnh bên bằng nhau có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy nên hình chóp đó có đáy nội tiếp được đường tròn và do đó đáp án C đúng.

Đáp án cần chọn là:D

Câu 8: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hình lăng trụ có mặtc ầu ngoại tiếp nếu đáy của nó là hình vuông

B. Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là lăng trụ đứng

C. Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn

D. Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là lăng trụ đứng tam giác.

Lời giải:

Đáp án đúng là D.

Đáp án cần chọn là:D

Câu 9: Cho đường thẳng a và điểm A cách đường thẳng a một khoảng bằng 4cm. Trong các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng a, mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất thì diện tích đó bằng :

A. 4π(cm²)

B. 16π/3(cm²)

C. 16π(cm²)

D. 64π(cm²)

Lời giải:

Gọi S(I ;r) là mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với a.

Ta có diện tích của mặt cầu là : S = 4πr³ nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi r đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi tiếp điểm của đường thẳng a và mặt cầu là H và hình chiếu vuông góc hạ từ A lên đường thẳng A là A’. Khi đó ta có :

2r = IA + IH ≥ AH ≥ AA' => r ≥ AA'/2 = 2(cm)

Vậy r đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2cm khi I là trung điểm của AA’.

Khi đó mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất là S = 4π2² = 16π(cm²).

Đáp án cần chọn là:C

Câu 10: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một mặt phẳng (P). Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có điểm chung nếu và chỉ nếu :

A. h < R

B. h = R

C. h ≤ R

D. h ≥ R

Lời giải:

Từ vị trí tương đối của một mặt phẳng và mặt cầu ta có mặt phẳng (P) có điểm chung với mặt cầu (S) khi và chỉ khi mặt phẳng (P) tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu (S)

Đáp án cần chọn là:C

Câu 11: Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O cách Δ một khoảng bằng 20cm. Mặt cầu (S) tâm O cắt đường thẳng Δ theo một dây có độ dài 30cm có bán kính r bằng :

A. r = 45cm

B. r = 30cm

C. r = 25cm

D. r = 20cm

Lời giải:

Đáp án cần chọn là:C

Câu 12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA tạo với đáy một góc bằng 30^o và SA=2a. Trong các điểm S, B, C điểm nào nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 3a.

A. Không điểm nào

C. Chỉ hai điểm B và C

B. Chỉ điểm S

D. Cả ba điểm

Lời giải:

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Ta có:

góc SAO = 30^o => AO = a√3 => AB = AC = 3a

Đáp án cần chọn là:C

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a, SAB là tam giác đều. Bán kính mặt cầu tâm A cắt SB theo một dây có độ dài a là:

A. a√13/2

B. 2a

C. 2a√2

D. a√3

Lời giải:

Gọi S(A;r) là mặt cầu tâm A cắt đường thẳng SB theo một dây có độ dài a, khi đó ta có:

Gọi H là trung điểm của SB. Do tam giác SAB đều nên AH ⊥ SB hay AH là khoảng cách từ A đến SB. Xét tam giác đều SAB ta có :

Đáp án cần chọn là:A

Câu 14: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?

A. Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp

B. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp

C. Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp

D. Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp

Lời giải:

Hình thang cân thì nội tiếp đường tròn nên hình chóp có đáy là hình thang cân sẽ có mặt cầu ngoại tiếp.

Đáp án cần chọn là:D

Câu 15: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:

A. Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình tứ diện bất kì.

B. Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình lăng trụ có đáy là tứ giác lồi.

C. Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình hộp chữ nhật.

D. Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp đa giác đều.

Lời giải:

Sử dụng phương pháp loại trừ rõ ràng A, C, D đúng nên B sai

Đáp án cần chọn là:B

Câu 16: Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu và biết rằng ∠(ACB)=90º. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

A. AB là một đường kính của mặt cầu đã cho

B. Luôn luôn có một đường tròn thuộc mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC

C. ABC là một tam giác vuông cân tại C

D. AB là đường kính của một đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng (ABC)

Lời giải:

Đáp án : D

Đáp án cần chọn là:D

Câu 17: Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu:

A. Hình chóp tam giác (tứ diện)

B. Hình chóp ngũ giác đều

C. Hình chóp tứ giác

D. Hình hộp chữ nhật

Lời giải:

Chọn C vì cạnh bên đồng phẳng với trục và đáy là tứ giác nội tiếp thì thì hình chóp tứ giác mới có tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Đáp án cần chọn là:C

Câu 18: Cho khối trụ có bán kính đáy là 3a, chiều cao là a/2. Một khối cầu có thể tích bằng khối trục trên. Tính bán kính khối cầu

A.3a/2

B. 5a/2

C.2a

D.3a

Lời giải:

Thể tích của khối trụ là:

Gọi R là bán kính khối cầu

Theo bài ta, khối cầu có thể tích bằng khối trục nên ta có:

Đáp án cần chọn là:A

Câu 19: Trong không gian cho 2 điểm phân biệt A và B. Tập hợp tâm các mặt cầu đi qua A và B là

A. một đường thẳng

B. một mặt phẳng

C. một đường tròn

D. một mặt cầu

Lời giải:

I là tâm của các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt A,B cho trước khi và chỉ khi IA=IB. Vậy tập hợp tâm của các mặt cầu đó là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Đáp án cần chọn là:B

Câu 20: Thể tích khối cầu có bán kính R=3 là

A. một đường thẳng

B. một mặt phẳng

C. một đường tròn

D. một mặt cầu

Lời giải:

I là tâm của mặt cầu đi qua ba điểm phân biệt A,B,C cho trước khi và chỉ khi IA=IB=IC. Vậy ba điểm A,B,C không thẳng hàng thì tập hợp các điểm I là trục của đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.

Đáp án cần chọn là:B

Câu 21: Thể tích khối cầu có bán kính R=3 là

A. 36π

B. 18π

C. 9π

D. 27π

Lời giải:

Đáp án : A

Đáp án cần chọn là:A

Câu 22: Diện tích mặt cầu 2π (cm²) bán kính mặt cầu đó bằng

A. 2 cm

B. 1/2 cm

C. 4 cm

D. √2/2 cm

Lời giải:

Đáp án : B

Đáp án cần chọn là:B

Câu 23: Cho mặt cầu (S₁) có bán kính R₁, mặt cầu (S₂) có bán kính R₂ và R₂ = 2R₁. Tỉ số diện tích của mặt cầu (S₂) và mặt cầu (S₁) bằng:

A.1/2

B.2

C.1/4

D. 4

Lời giải:

Tỉ số diện tích của mặt cầu (S₂) và mặt cầu (S₁) bằng:

Đáp án cần chọn là:D

Câu 24: Gọi (S) là mặt cầu có tâm O và bán kính R; d là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) , với d < R. Khi đó có bao nhiêu điểm chung giữa (S) và (P)?

A. Vô số

B.1

C. 2

D. 0

Lời giải:

Khi d < R thì giao tuyến của (P) và (S) là đường tròn, do đó giữa (P) và (S) có vô số điểm chung.

Đáp án cần chọn là:A

Câu 25: Cho khối cầu có thể tích bằng 32πa³/81, khi đó bán kính mặt cầu là:

A.3a/2

B. 2a/3

C.2a

D.3a

Lời giải:

Gọi bán kính mặt cầu là R, ta có:

Đáp án cần chọn là:B

Câu 26: Cho điểm I cố định, số thực a > 0 không đổi. Tập hợp những điểm M thoả mãn MI = a là:

A. Mặt phẳng;

B. Mặt trụ;

C. Mặt nón;

D. Mặt cầu.

Lời giải:

Đáp án : D

Đáp án cần chọn là:D

Câu 27: Mặt cầu tâm O, có bán kính R; mặt phẳng (P) có đúng một điểm chung với mặt cầu. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. d(O;(P)) < R

B. d(O;(P)) > R

C. d(O;(P)) = R

D. d(O;(P)) = 0

Lời giải:

Đáp án : C

Đáp án cần chọn là:C

Câu 28: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r = 4. Biết khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) bằng 3. Bán kính mặt cầu (S) là

A. 5

B. 4

C. √5

D. 25

Lời giải:

Từ hình vẽ, ta có:

Đáp án cần chọn là:A

Câu 29: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R. Đường thẳng D cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B . Biết AB=6, khoảng cách từ I đến đường thẳng D bằng 4. Bán kính mặt cầu (S) là

A. 5

B. 4

C. √5

D. 25

Lời giải:

Bán kính mặt cầu (S) là:

Đáp án cần chọn là:A

Câu 30: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r và điểm A nằm ngoài mặt cầu. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. OA = r

B. OA < r

C. OA > r

D. OA ≤ r

Lời giải:

Đáp án : C

Đáp án cần chọn là:C

Câu 31: Cho mặt cầu S (I;R) và một điểm A sao cho IA = 2R. Từ A kẻ tiếp tuyến AT đến (S) (T là tiếp điểm). Khi đó độ dài đoạn thẳng AT bằng

A. R/2

B. R

C. R√2

D. R√3

Lời giải:

Xét tam giác ATI có:

Đáp án cần chọn là:D

Câu 32. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M trong khôn gian sao cho:
MA² + MB² + MC² + MD² ≤ 2a² (*)

A. Mặt trụ, bán kính bằng  .

B. Mặt cầu, bán kính bằng  .

C. Khối trụ, bán kính bằng  .

D. Khối cầu, bán kính bằng  .

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của cạnh AB, J là trung điểm của CD, K là trung điểm IJ.

Áp dụng định lý trung tuyến trong tam giác  ta có:

 .

Suy ra

MA² + MB² + MC² + MD² = 2(MI² + MJ²) + a²
= 

Ta có 
= 

Suy ra MA² + MB² + MC² + MD² = 4MK² + 

Do đó:
(*) ⇔ 
⇔ MK ≤ 

Vậy tập hợp các điểm M trong không gian là khối cầu tâm K bán kính R = 

Đáp án cần chọn là:D

Câu 33. Cho mặt cầu S_{(O; R)} và điểm A cố định với OA = d. Qua A, kẻ đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu S_{(O; R)} tại M. Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM?

A. 

B. 

C.  

D. 

Lời giải:

Vì Δ tiếp xúc với S_{(O; R)} tại M nên OM ⊥ Δ tại M.

Xét tam giác OMA vuông tại M, ta có:

AM² = OA² - OM² = d² - R²
⇒ AM = 

Đáp án cần chọn là:B

Câu 34. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA ⊥ (ABC) , AB = a,
 = 30⁰ , góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 60⁰. Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu S_{(A; a)} và mặt phẳng ( SBC).

A. Mặt phẳng ( SBC) tiếp xúc mặt cầu S_(A,a).

B. Mặt phẳng ( SBC) không cắt mặt cầu S_{(A; a)}.

C. Mặt phẳng ( SBC) cắt mặt cầu S_(A;a) theo đường tròn lớn.

D. Mặt phẳng (SBC) cắt mặt cầu S_{(A; a)} theo giao tuyến là một đường tròn.

Lời giải:

Ta có:  = 60⁰ ⇒ SA = a√3

Gọi H là hình chiếu của A trên SB, ta chứng minh được AH = d(A, (SBC)) .

Ta có: 

⇒ AH =  ⇒ d(A, (SBC)) = AH =  < a = R

Vậy mặt phẳng (SBC) cắt mặt cầu S_(A;a) theo giao tuyến là một đường tròn.

Đáp án cần chọn là:D

Câu 35. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA ⊥ (ABC) , AB= a,
 = 30⁰ , góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 60⁰. Mặt cầu S_(A;a) cắt mặt phẳng (SBC) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Tính bán kính của (C).

A. r = 

B. r = 

C. r = 

D. r = 

Lời giải:

Ta có:  = 60⁰ ⇒ SA = a√3

Gọi H là hình chiếu của A trên SB, ta chứng minh được AH = d(A; (SBC)).

Ta có: 

⇒ AH =  ⇒ d(A, (SBC)) = AH =  < a = R

Vậy mặt phẳng (SBC) cắt mặt cầu S_{(A; a)} theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính

r = 

Đáp án cần chọn là:B

Câu 36. Mặt cầu có bán kính R√3 có diện tích là:

A. 4√3πR²

B. 4πR² .

C. 6πR² .

D. 12πR² .

Lời giải:

Áp dụng công thức: S = 4πR²

Diện tích mặt cầu có bán kính R√3 là:
S = 4π(R√3)² = 12πR² .

Đáp án cần chọn là:D

Câu 37. Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó. Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh ra bằng:

A.  πa³

B.  πa³

C.  πa³

D.  πa³

Lời giải:

Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó ta được khối cầu có đường kính 4a hay bán kính R = 2a.

Thể tích khối cầu là:

V =  πR³ =  π(2a)³ =  πa³ .

Đáp án cần chọn là:A

Câu 38. Khối cầu ( S) có diện tích mặt cầu bằng (đvdt). Tính thể tích khối cầu.

A.  π (đvdt). 

B.  π (đvdt).

C.  π (đvdt).

D.  π (đvdt).

Lời giải:

Do khối cầu (S) có diện tích mặt cầu bằng nên ta có:

S = 4πR² = 16π ⇒ R = 2

Thể tích của khối cầu là:

V =  πR³ =  π2³ =  π (đvdt).

Đáp án cần chọn là:D

Câu 39. Cho khối cầu có thể tích là 36π (cm³) . Bán kính R của khối cầu là:

A. R = 6 cm

B. R= 3 cm.

C. R = 3√2 cm

D. R = √6 cm

Lời giải:

Thể tích của khối cầu V =  πR³ = 36π
⇒ R³ = 27 ⇔ R = 3 cm.

Đáp án cần chọn là:B

Câu 40. Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ).

Đường sinh của hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu. Biết thể tích của bồn chứa nước là  m³. Tính diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn vị m².

A. 50π(m²)

B. 64π(m²)

C. 40π(m²)

D. 48π(m²)

Lời giải:

Gọi 4x ( m) là đường sinh hình trụ.

Khi đó đường tròn đáy hình trụ và mặt cầu có bán kính là x (m).

Thể tích bồn chứa nước này chính là thể tích của khối trụ có bán kính đáy R = x;
đường sinh l = h = 4x và thể tích khối cầu có bán kính R= x.

Do đó, thể tích bồn chứa nước là:

Vậy diện tích xung quanh bồn nước là:
π(4x² + 2.x.4x) = 48π(m²) .

Đáp án cần chọn là:D

Câu 41. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC= 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

A. a

B. 2a

C. a√2 .

D. 

Lời giải:

▪ Ta có:  ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB .

▪ Chứng minh tương tự ta được CD ⊥ SD .

▪ SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AC .

Suy ra: Ba điểm A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông.

Vậy bán kính mặt cầu là R = SC/2 = a .

Đáp án cần chọn là:A

Câu 42. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S. ABC, biết các cạnh đáy có độ dài bằng a, cạnh bên SA = a√3 .

A.     

B.     

C.     

D. 

Lời giải:

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC.

+ Ta có SO ⊥ (ABC) nên SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

+ Gọi N là trung điểm của SA, trong mp(SAO) kẻ trung trực của SA cắt SO tại I thì IS= IA= IB= IC nên I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC. Bán kính mặt cầu là R= SI.

+ Vì hai tam giác SNI và SOA đồng dạng nên ta có 

Suy ra R = SI = 

Mà AO =  ,
SO = 

Nên R = SI = 

Đáp án cần chọn là:D

Câu 43. Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, SBC là tam giác vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a, SA= 10a. Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

A. 5a√2 .

B. 5a√5 .

C. 10a√2 .

D. 2a√5 .

Lời giải:

Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A.

Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; trong mặt phẳng (SA; d) vẽ trung trực cạnh SA và cắt d tại I.

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và bán kính R= IA= IB= IC= IS.

Ta có tứ giác NIOA là hình chữ nhật.

Xét tam giác NAI vuông tại N có:

Đáp án cần chọn là:A

Câu 44. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

A.     

B. 

C.     

D. 

Lời giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

⇒ O cách đều các mặt bên của hình chóp tứ giác đều S. ABCD.

Suy ra mọi điểm thuộc SO cách đều các mặt bên của hình chóp tứ giác đều S.ABCD. (1)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Khi đó tam giác SMN cân tại S nên SO cũng là phân giác của góc MSN.

Trong tam giác SMN, kẻ phân giác góc SMN cắt SO tại I.

Suy ra IO= IH hay I cách đều mặt đáy và mặt bên (SAB). (2)

Từ (1) và (2) suy ra I cách đều các mặt của hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

Hay I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

Bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SMN nên:

• Cách khác để tính bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD:

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.

Ta có: V_S.ABCD
= V_I.ABCD + V_I.SAB + V_I.SBC + V_I.SCD + V_{I. SDA}

Đáp án cần chọn là:C

Câu 45. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tam giác đều S.ABC

A.     

B.     

C.     

D. 

Lời giải:

Gọi O là tâm tam giác đều ABC.

⇒ O cách đều các mặt bên của hình chóp tam giác đều S. ABC.

Suy ra mọi điểm thuộc SO cách đều các mặt bên của hình chóp tam giác đều S.ABC. (1)

Trong tam giác SAM, kẻ phân giác góc SMA cắt SO tại I.

Suy ra IO = IH hay I cách đều mặt đáy và mặt bên (SAB). (2)

Từ (1) và (2) suy ra I cách đều các mặt của hình chóp tam giác đều S.ABC.

Hay I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp tam giác đều S.ABC.

Ta có IM là phân giác góc SMO nên .

• Cách khác để tính bán kính mặt cầu nội tiếp S. ABC

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.

Ta có: V_S.ABC = V_I.ABC + V_I.SAB + V_I.SBC + V_I.SCA

Đáp án cần chọn là:D

Câu 46. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ nội tiếp trong mặt cầu bán kính R = 3cm. Tam giác ABC cân và có diện tích bằng 2cm. Diện tích toàn phần của hình hộp đó bằng:

A. 8cm²

  B. 24cm²

C. 8√7cm²

D. 8(1 + 2√7) cm²

Lời giải:

+ Ta có ABCD là hình chữ nhật nên tam giác ABC vuông tại B.

Theo giả thiết tam giác ABC cân nên tam giác ABC vuông cân tại B ⇒ AB= BC

+ Diện tích tam giác ABC là
S_ABC =  .AB.BC =  =  AB² = 2
⇒ AB = BC = 2

Tam giác ABC có: AC = 2√2 ⇒ IC = AC/2 = √2

Xét tam giác IOC:
IO =  = √7

+ Suy ra chiều cao của khối hộp là

+ Diện tích toàn phần của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là: S_tp = S_{2 đay} + S_xq

= 2.2² + 4.2.2√7 = 8 + 16√7 = 8(1 + 2√7)

Đáp án cần chọn là:D

Câu 47. Một khối cầu nội tiếp trong hình lập phương có chu vi đáy là 4cm. Diện tích của mặt cầu là:

A. S = 2π

B. S = 4π

C. S = 3π

D. S = π

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a.

Chu vi đáy của hình lập phương là P = 4a = 4 cm

⇒ độ dài một cạnh là a = 1 cm

Bán kính hình cầu nội tiếp lập phương là
r =  =  cm

Diện tích của mặt cầu là: S = 4π()² cm²

Đáp án cần chọn là:D

Câu 48. Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm bao nhiêu % của chiếc hộp.

A. 65, 09%.

B. 47,64%.

C. 82,55 %

D. 83,3%.

Lời giải:

Gọi đường kính quả bóng bàn là d. Khi đó kích thước của hình hộp chữ nhật là d; d; 3d.

Bán kính của mỗi quả bóng là r = 

Thể tích của hình hộp chữ nhật là:
V₁ = d.d.3d = 3d³.

Thể tích của ba quả bóng bàn là

Thể tích của phần không gian còn trống trong hộp là:
V₃ = V₁ - V₂ = 3d³ - 

Phần không gian còn trống trong hộp chiếm:

Đáp án cần chọn là:B

Câu 49. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi R₁, R₂, R₃ lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương và bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. R₂² = R₁.R₃

B. R₂² = R₁² + R₃²

C. R₁² = R₂² + R₃²

D. R₃² = R₁.R₂ .

Lời giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, gọi M là trung điểm của AB và I là trung điểm của AC’.

Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là :
R₁ = IA = 

Bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương là : R₂ = IO

Bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương là : R₃ = IM

Ta có R₁, R₂, R₃ như trên hình vẽ.

Kiểm tra ta thấy: R₁² = R₂² + R₃²

Đáp án cần chọn là:C

Câu 50: Một hình trụ có bán kính đáy r = a , độ dài đường sinh l = 2a . Diện tích toàn phần của hình trụ này là:

A.6πa²

B.2πa²

C.4πa²

D.5πa²

Lời giải:

S_tp=2πrh+2πr²=2π.a.2a+2πa²=6πa²

Đáp án cần chọn là:A