SBT Toán 8 Bài 3, 4, 5: Những hàng đằng thức đáng nhớ

SBT Toán 8 Bài 3, 4, 5: Những hàng đằng thức đáng nhớ | Giải SBT Toán lớp 8

Nghiêm Thị Ngà Ngày: 19-05-2022 Lớp 8

636

Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 3, 4, 5: Những hàng đằng thức đáng nhớ chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 3, 4, 5: Những hàng đằng thức đáng nhớ

Bài 11 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính:

a) ${(x + 2 y)}^{2}$

b) $(x - 3 y) (x + 3 y)$

c) ${(5 - x)}^{2}$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng hằng đẳng thức: Cho $A, B$ là các biểu thức tùy ý, ta có:

$1)$ $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

b) Sử dụng hằng đẳng thức: Cho $A, B$ là các biểu thức tùy ý, ta có:

$3)$ $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$

c) Sử dụng hằng đẳng thức: Cho $A, B$ là các biểu thức tùy ý, ta có:

$2)$ $(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

Lời giải:

a) ${(x + 2 y)}^{2}$ $= x^{2} + 2. x .2 y + (2 y)^{2}$ $= x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}$

b) $(x - 3 y) (x + 3 y)$ $= x^{2} - {(3 y)}^{2} = x^{2} - 9 y^{2}$

c) ${(5 - x)}^{2}$ $= 5^{2} - 2.5 x + x^{2} = 25 - 10 x + x^{2}$

Bài 12 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính:

a) ${(x - 1)}^{2}$

b) ${(3 - y)}^{2}$

c) ${(x - \frac{1}{2})}^{2}$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức: Cho $A, B$ là các biểu thức tùy ý, ta có:

$(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

Lời giải:

a) ${(x - 1)}^{2} = x^{2} - 2 x + 1$

b) ${(3 - y)}^{2} = 3^{2} - 2.3. y + y^{2}$ $= 9 - 6 y + y^{2}$

c) ${(x - \frac{1}{2})}^{2} = x^{2} - 2. x . \frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}$ $= x^{2} - x + \frac{1}{4}$

Bài 13 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:

a) $x^{2} + 6 x + 9$

b) $x^{2} + x + \frac{1}{4}$

c) $2 x y^{2} + x^{2} y^{4} + 1$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức: Cho $A, B$ là các biểu thức tùy ý, ta có:

$(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

Lời giải:

a) $x^{2} + 6 x + 9$ $= x^{2} + 2. x .3 + 3^{2} = {(x + 3)}^{2}$

b) $x^{2} + x + \frac{1}{4}$ $= x^{2} + 2. x . \frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$

c) $2 x y^{2} + x^{2} y^{4} + 1$ $= {(x y^{2})}^{2} + 2. x y^{2} .1 + 1^{2} = {(x y^{2} + 1)}^{2}$

Bài 14 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

a) ${(x + y)}^{2} + {(x - y)}^{2}$

b) $2 (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2}$ $+ {(x - y)}^{2}$

c) ${(x - y + z)}^{2} + {(z - y)}^{2}$ $+ 2 (x - y + z) (y - z)$

Phương pháp giải:

Sử dụng các hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để biến đổi.

+) Sử dụng hằng đẳng thức: $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

$(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

Lời giải:

a) ${(x + y)}^{2} + {(x - y)}^{2}$ $= x^{2} + 2 x y + y^{2} + x^{2} - 2 x y + y^{2}$ $= 2 x^{2} + 2 y^{2}$

b) $2 (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2} + {(x - y)}^{2}$

$= {(x + y)}^{2} + 2 (x - y) (x + y) + {(x - y)}^{2}$

$= {[(x + y) + (x - y)]}^{2} = {(2 x)}^{2} = 4 x^{2}$

(Sử dụng hằng đẳng thức $A^{2} + 2 A B + B^{2} = (A + B)^{2}$ với $A = x + y$ và $B = x - y$ )

c) ${(x - y + z)}^{2} + {(z - y)}^{2}$ $+ 2 (x - y + z) (y - z)$

$= {(x - y + z)}^{2} + 2 (x - y + z) (y - z)$ $+ {(y - z)}^{2}$ $= {[(x - y + z) + (y - z)]}^{2} = x^{2}$

(Sử dụng hằng đẳng thức $A^{2} + 2 A B + B^{2} = (A + B)^{2}$ với $A = x - y + z$ và $B = y - z$ )

Chú ý:

$\begin{aligned} {(z - y)}^{2} = z^{2} - 2 z y + y^{2} (1) \\ {(y - z)}^{2} = y^{2} - 2 y z + z^{2} (2) \\ Từ (1) và (2) \Rightarrow {(z - y)}^{2} = {(y - z)}^{2} \end{aligned}$

Bài 15 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Biết số tự nhiên $a$ chia cho $5$ dư $4.$ Chứng minh rằng $a^{2}$ chia cho $5$ dư $1.$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng hằng đẳng thức: $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

Áp dụng tính chất: Nếu trong một tích các số tự nhiên có một thừa số chia hết cho một số nào đó thì tích cũng chia hết cho số đó.

Lời giải:

Số tự nhiên $a$ chia cho $5$ dư $4$ $\Rightarrow a = 5 k + 4 (k \in N)$

Ta có: $a^{2} = {(5 k + 4)}^{2}$ $= 25 k^{2} + 40 k + 16$ $= 25 k^{2} + 40 k + 15 + 1$

$= 5 (5 k^{2} + 8 k + 3) + 1$

Mà $5 (5 k^{2} + 8 k + 3) ⋮ 5$ nên $5 (5 k^{2} + 8 k + 3) + 1$ chia cho 5 dư 1.

Vậy $a^{2} = {(5 k + 4)}^{2}$ chia cho $5$ dư $1$

Bài 16 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $x^{2} - y^{2}$ tại $x = 87$ và $y = 13$

b) $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ tại $x = 101$

c) $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ tại $x = 97$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức:

$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$

b) Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức:

$(A - B)^{3} = A^{3} - 3 A^{2} . B + 3 A . B^{2} - B^{3}$

c) Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức:

$(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} . B + 3 A . B^{2} + B^{3}$

Lời giải:

a) $x^{2} - y^{2}$ $= (x + y) (x - y)$ .

Thay $x = 87; y = 13$

Ta có: $x^{2} - y^{2}$ $= (x + y) (x - y)$

$= (87 + 13) (87 - 13)$ $= 100.74 = 7400$

b) $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ $= x^{3} - 3 x^{2} .1 + 3 x {.1}^{2} - 1^{3}$ $= {(x - 1)}^{3}$

Thay $x = 101$ , ta có: ${(x - 1)}^{3} = {(101 - 1)}^{3}$ $= 100^{3} = 1000000$

c) $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ $= x^{3} + 3. x^{2} .3 + 3. x {.3}^{2} + 3^{3} = {(x + 3)}^{3}$

Thay $x = 97$ , ta có:

${(x + 3)}^{3} = {(97 + 3)}^{3}$ $= 100^{3} = 1000000$

Bài 17 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng:

$a)$ $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ $+ (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = 2 a^{3}$

$b)$ $a^{3} + b^{3} = (a + b) [{(a - b)}^{2} + a b]$ ;

$c)$ $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})$ $= {(a c + b d)}^{2} + {(a d - b c)}^{2}$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi vế trái bằng vế phải hoặc ngược lại biến đổi vế phải bằng vế trái:

$A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$

$A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$

$(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

$(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

Lời giải:

$a)$ Biến đổi vế trái:

$(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ $+ (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ $= a^{3} + b^{3} + a^{3} - b^{3} = 2 a^{3}$

Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.

$b)$ Biến đổi vế phải:

$(a + b) [{(a - b)}^{2} + a b]$ $= (a + b) [a^{2} - 2 a b + b^{2} + a b]$ $= (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$

Vế phải bằng vế trái, vậy đẳng thức được chứng minh.

$c)$ Biến đổi vế phải:

${(a c + b d)}^{2} + {(a d - b c)}^{2}$ $= a^{2} c^{2} + 2 a b c d + b^{2} d^{2} + a^{2} d^{2}$ $- 2 a b c d + b^{2} c^{2}$ $= a^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2}$ $= a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} d^{2}$ $= c^{2} (a^{2} + b^{2}) + d^{2} (a^{2} + b^{2})$ $= (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})$

Vế phải bằng vế trái, đẳng thức được chứng minh.

Cách khác:

Biến đổi vế trái:

$(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})$

$= a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2}$

$= (a^{2} c^{2} + 2 a b c d + b^{2} d^{2}) + (a^{2} d^{2} - 2 a b c d + b^{2} c^{2})$

$= [(a c)^{2} + 2 a b c d + (b d)^{2}] + [(a d)^{2} - 2 a b c d + (b c)^{2}]$

$= (a c + b d)^{2} + (a d - b c)^{2}$

Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.

Bài 18 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng tỏ rằng:

a) $x^{2} - 6 x + 10 > 0$ với mọi $x$

b) $4 x - x^{2} - 5 < 0$ với mọi $x$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.

$(A - B)^{2} + m \geq m$ với mọi $A, B .$

b) Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.

$m - (A - B)^{2} \leq m$ với mọi $A, B .$

Lời giải:

a) $x^{2} - 6 x + 10 = x^{2} - 2. x .3 + 9 + 1$ $= {(x - 3)}^{2} + 1$

Ta có: ${(x - 3)}^{2} \geq 0$ với mọi $x$ nên ${(x - 3)}^{2} + 1 > 0$ với mọi $x$

Vậy $x^{2} - 6 x + 10 > 0$ với mọi $x$

b) $4 x - x^{2} - 5 = - (x^{2} - 4 x + 4) - 1$ $= - {(x - 2)}^{2} - 1$

Ta có: ${(x - 2)}^{2} \geq 0$ với mọi $x$

⇒ $- {(x - 2)}^{2} \leq 0$ với mọi $x$

⇒ $- {(x - 2)}^{2} - 1 < 0$ với mọi $x$

Vậy $4 x - x^{2} - 5 < 0$ với mọi $x$

Bài 19 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:

a) $P = x^{2} - 2 x + 5$

b) $Q = 2 x^{2} - 6 x$

c) $M = x^{2} + y^{2} - x + 6 y + 10$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.

$(A - B)^{2} + m \geq m$ với mọi $A, B .$ Dấu $"="$ xảy ra khi $A = B$ .

b) Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.

$(A + B)^{2} + m \geq m$ với mọi $A, B .$ Dấu $"="$ xảy ra khi $A = - B$ .

c) Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.

$A^{2} + B^{2} + m \geq m$ với mọi $A, B .$ Dấu $"="$ xảy ra khi $A = 0$ và $B = 0$ .

Lời giải:

a) $P = x^{2} - 2 x + 5$ $= x^{2} - 2 x + 1 + 4 = {(x - 1)}^{2} + 4$

Ta có: ${(x - 1)}^{2} \geq 0 \Rightarrow {(x - 1)}^{2} + 4 \geq 4$

$\Rightarrow P = x^{2} - 2 x + 5$ $= {(x - 1)}^{2} + 4 \geq 4$

$\Rightarrow P = 4$ là giá trị bé nhất khi ${(x - 1)}^{2} = 0$ $\Rightarrow x = 1$

Vậy $P = 4$ là giá trị bé nhất của đa thức khi $x = 1$ .

b) $Q = 2 x^{2} - 6 x$ $= 2 (x^{2} - 3 x)$ $= 2 (x^{2} - 2. \frac{3}{2} x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4})$

$= 2 [{(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}]$ $= 2 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{2}$

Ta có: ${(x - \frac{3}{2})}^{2} \geq 0 \Rightarrow 2 {(x - \frac{3}{2})}^{2} \geq 0$ $\Rightarrow 2 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{2} \geq - \frac{9}{2}$

Do đó: $\Rightarrow Q = 2 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{2} \geq - \frac{9}{2}$

$\Rightarrow Q = - \frac{9}{2}$ là giá trị nhỏ nhất khi ${(x - \frac{3}{2})}^{2} = 0$ $\Rightarrow x = \frac{3}{2}$

Vậy $Q = - \frac{9}{2}$ là giá trị bé nhất của đa thức $x = \frac{3}{2}$

c) $M = x^{2} + y^{2} - x + 6 y + 10$ $= (y^{2} + 6 y + 9) + (x^{2} - x + 1)$ $= {(y + 3)}^{2} + (x^{2} - 2. \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4})$ $= {(y + 3)}^{2} + {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$

Ta có: ${(y + 3)}^{2} \geq 0;$ ${(x - \frac{1}{2})}^{2} \geq 0$ $\Rightarrow {(y + 3)}^{2} + {(x - \frac{1}{2})}^{2} \geq 0$ $\Rightarrow {(y + 3)}^{2} + {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$

$\Rightarrow M = {(y + 3)}^{2} + {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$

$\Rightarrow M = \frac{3}{4}$ là giá trị nhỏ nhất khi ${(y + 3)}^{2} = 0$ $\Rightarrow y = - 3$ và ${(x - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ $\Rightarrow x = \frac{1}{2}$

Vậy $M = \frac{3}{4}$ là giá trị bé nhất tại $y = - 3$ và $x = \frac{1}{2}$

Bài 20 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức:

a) $A = 4 x - x^{2} + 3$

b) $B = x - x^{2}$

c) $N = 2 x - 2 x^{2} - 5$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho: $m - (A - B)^{2} \leq m$ với mọi $A, B .$ Dấu $"="$ xảy ra khi $A = B$

Lời giải:

a) $A = 4 x - x^{2} + 3 = 7 - x^{2} + 4 x - 4$ $= 7 - (x^{2} - 4 x + 4) = 7 - {(x - 2)}^{2}$

Ta có: ${(x - 2)}^{2} \geq 0$ với mọi $x$

Suy ra: $A = 7 - {(x - 2)}^{2} \leq 7$

Do đó $A = 7 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Vậy giá trị của $A$ lớn nhất là $7$ tại $x = 2$

b) $B = x - x^{2}$ $= \frac{1}{4} - x^{2} + x - \frac{1}{4}$ $= \frac{1}{4} - (x^{2} - 2. x . \frac{1}{2} + \frac{1}{4})$ $= \frac{1}{4} - {(x - \frac{1}{2})}^{2}$

Vì ${(x - \frac{1}{2})}^{2} \geq 0$ với mọi $x$

Suy ra: $B = \frac{1}{4} - {(x - \frac{1}{2})}^{2} \leq \frac{1}{4}$

Do đó: $B = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $B$ là $\frac{1}{4}$ tại $x = \frac{1}{2}$

c) $N = 2 x - 2 x^{2} - 5$ $= - 2 (x^{2} - x + \frac{5}{2})$ $= - 2 (x^{2} - 2. x . \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4})$

$= - 2 [{(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{9}{4}]$ $= - 2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{2}$

Vì ${(x - \frac{1}{2})}^{2} \geq 0$ với mọi $x$ nên $- 2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} \leq 0$ với mọi $x$ .

Suy ra: $N = - 2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{2} \leq - \frac{9}{2}$

Do đó $N = - \frac{9}{2} \Leftrightarrow x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $N$ là $- \frac{9}{2}$ tại $x = \frac{1}{2}$

Bài 3.1 Trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Cho $x^{2} + y^{2} = 26$ và $x y = 5,$ giá trị của ${(x - y)}^{2}$ là:

$A . 4$

$B . 16$

$C . 21$

$D . 36$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức: $(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

Lời giải:

Ta có: $(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ $= (x^{2} + y^{2}) - 2 x y = 26 - 2.5 = 16$

Vậy chọn $B . 16$

Bài 3.2 Trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Kết quả của tích $(a^{2} + 2 a + 4) (a - 2)$ là:

$A .$ ${(a + 2)}^{3}$

$B .$ ${(a - 2)}^{3}$

$C .$ $a^{3} + 8$

$D .$ $a^{3} - 8$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức: $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$

Lời giải:

Ta có: $(a^{2} + 2 a + 4) (a - 2)$ $= (a - 2) (a^{2} + 2 a + 2^{2})$ $= a^{3} - 2^{3}$ $= a^{3} - 8$

Vậy chọn $D .$ $a^{3} - 8$

Cách khác:

$(a^{2} + 2 a + 4) (a - 2)$ $= a^{3} - 2 a^{2} + 2 a^{2} - 4 a + 4 a - 8$ $= a^{3} - 8$ .

Bài 3.3 Trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn các biểu thức:

a) $P = (5 x - 1) + 2 (1 - 5 x) (4 + 5 x)$ $+ {(5 x + 4)}^{2}$

b) $Q = {(x - y)}^{3} + {(y + x)}^{3}$ $+ {(y - x)}^{3} - 3 x y (x + y)$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng nhân đa thức với đa thức: $(A + B) (C + D) = A C + A D + B C + B D$

+) Sử dụng hằng đẳng thức:

$(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

+) Sử dụng nhân đơn thức với đa thức: $C . (A + B) = A C + B C$

+) Sử dụng hằng đẳng thức:

$(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} . B + 3 A . B^{2} + B^{3}$

$(A - B)^{3} = A^{3} - 3 A^{2} . B + 3 A . B^{2} - B^{3}$

Lời giải:

a) $P = (5 x - 1) + 2 (1 - 5 x) (4 + 5 x)$ $+ {(5 x + 4)}^{2}$

$= 5 x - 1 + (2 - 10 x) . (4 + 5 x) + (5 x + 4)^{2}$

$= 5 x - 1 + 8 + 10 x - 40 x - 50 x^{2}$ $+ 25 x^{2} + 40 x + 16$
$= (- 50 x^{2} + 25 x^{2})$ $+ (5 x + 10 x - 40 x + 40 x)$ $+ (- 1 + 8 + 16)$
$= - 25 x^{2} + 15 x + 23$

b) $Q = {(x - y)}^{3} + {(y + x)}^{3} + {(y - x)}^{3}$ $- 3 x y (x + y)$

$= x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} + y^{3} + 3 x y^{2}$ $+ 3 x^{2} y + x^{3} + y^{3} - 3 x y^{2} + 3 x^{2} y - x^{3}$ $- 3 x^{2} y - 3 x y^{2}$

$= (x^{3} + x^{3} - x^{3})$ $+ (- 3 x^{2} y + 3 x^{2} y + 3 x^{2} y - 3 x^{2} y)$ $+ (3 x y^{2} + 3 x y^{2} - 3 x y^{2} - 3 x y^{2})$ $+ (- y^{3} + y^{3} + y^{3})$

$= x^{3} + y^{3}$

Bài 3.4 Trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức: $P = 12 (5^{2} + 1) (5^{4} + 1) (5^{8} + 1)$ $(5^{16} + 1)$

Phương pháp giải:

Nhận thấy $(5^{2} - 1) . 5^{2} + 1) = 5^{4} - 1$ ;

$(5^{4} - 1) . 5^{4} + 1) = 5^{8} - 1$ ;

$(5^{8} - 1) . 5^{8} + 1) = 5^{16} - 1$ ;

$(5^{16} - 1) {.5}^{16} + 1) = 5^{32} - 1$ . Ta làm xuất hiện $(5^{2} - 1)$ bằng cách tách $12 = \frac{1}{2} . (5^{2} - 1)$

Sử dụng hằng đẳng thức: $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$

Lời giải:

$P = 12 (5^{2} + 1) (5^{4} + 1) (5^{8} + 1)$ $(5^{16} + 1)$

$= \frac{1}{2} .24 . (5^{2} + 1) (5^{4} + 1) (5^{8} + 1)$ $(5^{16} + 1) .$

Thay $24 = 5^{2} - 1$ ta được:

$P = \frac{1}{2} (5^{2} - 1) (5^{2} + 1) (5^{4} + 1) (5^{8} + 1)$ $(5^{16} + 1)$

$= \frac{1}{2} (5^{4} - 1) (5^{4} + 1) (5^{8} + 1)$ $(5^{16} + 1)$

$= \frac{1}{2} (5^{8} - 1) (5^{8} + 1) (5^{16} + 1)$

$= \frac{1}{2} (5^{16} - 1) (5^{16} + 1)$ $= \frac{1}{2} (5^{32} - 1)$

Bài 3.5 Trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh hằng đẳng thức: ${(a + b + c)}^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3}$ $+ 3 (a + b) (b + c) (c + a)$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức:

$(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} . B + 3 A . B^{2} + B^{3}$

$(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

Lời giải:

Biến đổi vế trái: ${(a + b + c)}^{3} = {[(a + b) + c]}^{3}$

$= {(a + b)}^{3} + 3 {(a + b)}^{2} c$ $+ 3 (a + b) c^{2} + c^{3}$

$= a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ $+ 3 (a^{2} + 2 a b + b^{2}) c + 3 a c^{2} + 3 b c^{2} + c^{3}$

$= a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ $+ 3 a^{2} c + 6 a b c + 3 b^{2} c + 3 a c^{2} + 3 b c^{2} + c^{3}$

$= a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2}$ $+ 3 a^{2} c + 6 a b c + 3 b^{2} c + 3 a c^{2} + 3 b c^{2}$

$= a^{3} + b^{3} + c^{3} + (3 a^{2} b + 3 a b^{2})$ $+ (3 a^{2} c + 3 a b c) + (3 a b c + 3 b^{2} c)$ $+ (3 a c^{2} + 3 b c^{2})$

$= a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 a b (a + b)$ $+ 3 a c (a + b) + 3 b c (a + b)$ $+ 3 c^{2} (a + b)$

$= a^{3} + b^{3} + c^{3}$ $+ 3 (a + b) (a b + a c + b c + c^{2})$

$= a^{3} + b^{3} + c^{3}$ $+ 3 (a + b) [a (b + c) + c (b + c)]$

$= a^{3} + b^{3} + c^{3}$ $+ 3 (a + b) (b + c) (a + c)$

Vế trái bằng vế phải đẳng thức được chứng minh.

Từ khóa :

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 6

Toán 6 ( Kết nối tri thức): Luyện tập chung Mai Hương

298

Toán Lớp 6

Bài 5.16 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

319

Toán Lớp 6

Bài 5.15 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

347

Toán Lớp 6

Bài 5.14 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

295