SBT Toán 8 Bài 3, 4, 5: Những hàng đằng thức đáng nhớ | Giải SBT Toán lớp 8

461

Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 3, 4, 5: Những hàng đằng thức đáng nhớ chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 3, 4, 5: Những hàng đằng thức đáng nhớ

Bài 11 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính:

a) (x+2y)2

b) (x3y)(x+3y)

c) (5x)2

Phương pháp giải:

a) Sử dụng hằng đẳng thức: Cho A,B là các biểu thức tùy ý, ta có:

1) (A+B)2=A2+2AB+B2

b) Sử dụng hằng đẳng thức: Cho A,B là các biểu thức tùy ý, ta có:

3) A2B2=(AB)(A+B)

c) Sử dụng hằng đẳng thức: Cho A,B là các biểu thức tùy ý, ta có:

2) (AB)2=A22AB+B2

Lời giải:

a)  (x+2y)2=x2+2.x.2y+(2y)2=x2+4xy+4y2

b) (x3y)(x+3y) =x2(3y)2=x29y2

c) (5x)2 =522.5x+x2=2510x+x2

Bài 12 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính:

a) (x1)2

b) (3y)2

c) (x12)2

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức: Cho A,B là các biểu thức tùy ý, ta có:

(AB)2=A22AB+B2

Lời giải:

a) (x1)2=x22x+1

b) (3y)2=322.3.y+y2=96y+y2

c) (x12)2=x22.x.12+(12)2=x2x+14 

Bài 13 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:

a) x2+6x+9

b) x2+x+14

c) 2xy2+x2y4+1

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức: Cho A,B là các biểu thức tùy ý, ta có:

(A+B)2=A2+2AB+B2

Lời giải:

a) x2+6x+9=x2+2.x.3+32=(x+3)2

b)x2+x+14 =x2+2.x.12+(12)2=(x+12)2

c)  2xy2+x2y4+1=(xy2)2+2.xy2.1+12=(xy2+1)2

Bài 14 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

a) (x+y)2+(xy)2

b)2(xy)(x+y)+(x+y)2+(xy)2

c) (xy+z)2+(zy)2+2(xy+z)(yz)  

Phương pháp giải:

Sử dụng các hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để biến đổi.

+) Sử dụng hằng đẳng thức: (A+B)2=A2+2AB+B2

(AB)2=A22AB+B2

Lời giải:

a) (x+y)2+(xy)2 =x2+2xy+y2+x22xy+y2=2x2+2y2

b) 2(xy)(x+y)+(x+y)2+(xy)2

=(x+y)2+2(xy)(x+y)+(xy)2

=[(x+y)+(xy)]2=(2x)2=4x2

(Sử dụng hằng đẳng thức A2+2AB+B2=(A+B)2 với A=x+y và B=xy)

c)  (xy+z)2+(zy)2+2(xy+z)(yz)

=(xy+z)2+2(xy+z)(yz)+(yz)2=[(xy+z)+(yz)]2=x2

(Sử dụng hằng đẳng thức A2+2AB+B2=(A+B)2 với A=xy+z và B=yz)

Chú ý:

(zy)2=z22zy+y2(1)(yz)2=y22yz+z2(2)Từ (1) và (2)(zy)2=(yz)2

Bài 15 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng hằng đẳng thức: (A+B)2=A2+2AB+B2

Áp dụng tính chất: Nếu trong một tích các số tự nhiên có một thừa số chia hết cho một số nào đó thì tích cũng chia hết cho số đó. 

Lời giải:

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4a=5k+4(kN)

Ta có: a2=(5k+4)2=25k2+40k+16=25k2+40k+15+1

=5(5k2+8k+3)+1

Mà 5(5k2+8k+3)5 nên 5(5k2+8k+3)+1 chia cho 5 dư 1. 

Vậy a2=(5k+4)2 chia cho 5 dư 1

Bài 16 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) x2y2  tại x=87  và  y=13

b)x33x2+3x1 tại x=101

c)x3+9x2+27x+27  tại x=97

Phương pháp giải:

a) Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức:

A2B2=(AB)(A+B)

b) Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức:

(AB)3=A33A2.B+3A.B2B3

c) Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức:

(A+B)3=A3+3A2.B+3A.B2+B3

Lời giải:

a) x2y2=(x+y)(xy) .

Thay x=87;y=13

Ta có: x2y2=(x+y)(xy)

=(87+13)(8713)=100.74=7400

b) x33x2+3x1 =x33x2.1+3x.1213=(x1)3

Thay x=101, ta có: (x1)3=(1011)3=1003=1000000

c) x3+9x2+27x+27 =x3+3.x2.3+3.x.32+33=(x+3)3

Thay x=97,  ta có:

(x+3)3=(97+3)3=1003=1000000

Bài 17 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng: 

a) (a+b)(a2ab+b2)+(ab)(a2+ab+b2)=2a3

b) a3+b3=(a+b)[(ab)2+ab];

c) (a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(adbc)2

Phương pháp giải: 

+) Sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi vế trái bằng vế phải hoặc ngược lại biến đổi vế phải bằng vế trái:

A3+B3=(A+B)(A2AB+B2)

A3B3=(AB)(A2+AB+B2)

(A+B)2=A2+2AB+B2

(AB)2=A22AB+B2

Lời giải:

a) Biến đổi vế trái: 

(a+b)(a2ab+b2)+(ab)(a2+ab+b2)=a3+b3+a3b3=2a3

Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.

b) Biến đổi vế phải:

(a+b)[(ab)2+ab]=(a+b)[a22ab+b2+ab]=(a+b)(a2ab+b2)=a3+b3

Vế phải bằng vế trái, vậy đẳng thức được chứng minh.

c) Biến đổi vế phải:

(ac+bd)2+(adbc)2=a2c2+2abcd+b2d2+a2d22abcd+b2c2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=a2c2+b2c2+a2d2+b2d2=c2(a2+b2)+d2(a2+b2)=(a2+b2)(c2+d2)

Vế phải bằng vế trái, đẳng thức được chứng minh.

Cách khác: 

Biến đổi vế trái:

(a2+b2)(c2+d2)

=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2

=(a2c2+2abcd+b2d2)+(a2d22abcd+b2c2)

=[(ac)2+2abcd+(bd)2]+[(ad)22abcd+(bc)2]

=(ac+bd)2+(adbc)2 

Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.

Bài 18 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng tỏ rằng:

a) x26x+10>0  với mọi x

b) 4xx25<0  với mọi x

Phương pháp giải:

a) Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.

 (AB)2+mm với mọi A,B.

b) Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.

 m(AB)2m với mọi A,B.

Lời giải:

a) x26x+10=x22.x.3+9+1=(x3)2+1

Ta có: (x3)20 với mọi x  nên (x3)2+1>0  với mọi x

Vậy x26x+10>0 với mọi x

b) 4xx25=(x24x+4)1=(x2)21

Ta có: (x2)20 với mọi x

(x2)20  với mọi x

(x2)21<0  với mọi x

Vậy 4xx25<0 với mọi x

Bài 19 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất  của các đa thức:

a) P=x22x+5

b) Q=2x26x

c) M=x2+y2x+6y+10

Phương pháp giải:

a) Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.

 (AB)2+mm với mọi A,B. Dấu "=" xảy ra khi A=B.

b) Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.

 (A+B)2+mm với mọi A,B. Dấu "=" xảy ra khi A=B.

c) Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.

 A2+B2+mm với mọi A,B. Dấu "=" xảy ra khi A=0 và B=0.

Lời giải:

a) P=x22x+5=x22x+1+4=(x1)2+4

Ta có: (x1)20(x1)2+44

P=x22x+5=(x1)2+44

P=4  là giá trị bé nhất khi (x1)2=0x=1

Vậy P=4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x=1

b) Q=2x26x=2(x23x)=2(x22.32x+9494)

 =2[(x32)294]=2(x32)292

Ta có: (x32)202(x32)202(x32)29292

Do đó: Q=2(x32)29292

Q=92 là giá trị nhỏ nhất khi (x32)2=0x=32

Vậy Q=92  là giá trị bé nhất của đa thức x=32

c) M=x2+y2x+6y+10=(y2+6y+9)+(x2x+1)=(y+3)2+(x22.12x+14+34)=(y+3)2+(x12)2+34

Ta có: (y+3)20;(x12)20(y+3)2+(x12)20(y+3)2+(x12)2+3434

M=(y+3)2+(x12)2+3434

M=34  là giá trị nhỏ nhất khi (y+3)2=0y=3  và (x12)2=0x=12

Vậy M=34 là giá trị bé nhất tại y=3 và x=12

Bài 20 Trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức:

a) A=4xx2+3

b)B=xx2

c) N=2x2x25

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho: m(AB)2m với mọi A,B. Dấu "=" xảy ra khi A=B

Lời giải:

a) A=4xx2+3=7x2+4x4=7(x24x+4)=7(x2)2

Ta có: (x2)20  với mọi x

Suy ra: A=7(x2)27

Do đó A=7x2=0x=2

Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại x=2

b) B=xx2=14x2+x14=14(x22.x.12+14)=14(x12)2 

Vì (x12)20 với mọi x

Suy ra: B=14(x12)214

Do đó: B=14x12=0x=12

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là 14 tại x=12

c)  N=2x2x25 =2(x2x+52)=2(x22.x.12+14+94)

   =2[(x12)2+94]=2(x12)292

(x12)20 với mọi x nên 2(x12)20 với mọi x.

Suy ra: N=2(x12)29292

Do đó N=92x12=0x=12

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là 92  tại x=12

Bài 3.1 Trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Cho x2+y2=26  và xy=5, giá trị của (xy)2  là:

A.4

B.16

C.21

D.36

Phương pháp giải: 

Sử dụng hằng đẳng thức: (AB)2=A22AB+B2

Lời giải:

Ta có: (xy)2=x22xy+y2=(x2+y2)2xy=262.5=16

Vậy chọn B.16

Bài 3.2 Trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Kết quả của tích (a2+2a+4)(a2)  là:

A. (a+2)3

B. (a2)3

C. a3+8

D. a38

Phương pháp giải:

 Sử dụng hằng đẳng thức: A3B3=(AB)(A2+AB+B2)

Lời giải:

Ta có: (a2+2a+4)(a2)=(a2)(a2+2a+22)=a323=a38

Vậy chọn D. a38

Cách khác: 

(a2+2a+4)(a2)=a32a2+2a24a+4a8=a38.

Bài 3.3 Trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn các biểu thức:

a) P=(5x1)+2(15x)(4+5x)+(5x+4)2

b) Q=(xy)3+(y+x)3+(yx)33xy(x+y) 

Phương pháp giải:

a)

+) Sử dụng nhân đa thức với đa thức: (A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BD

+) Sử dụng hằng đẳng thức:

(A+B)2=A2+2AB+B2 

b)

+) Sử dụng nhân đơn thức với đa thức: C.(A+B)=AC+BC

+) Sử dụng hằng đẳng thức:

(A+B)3=A3+3A2.B+3A.B2+B3

(AB)3=A33A2.B+3A.B2B3

Lời giải:

a) P=(5x1)+2(15x)(4+5x)+(5x+4)2

=5x1+(210x).(4+5x)+(5x+4)2

=5x1+8+10x40x50x2+25x2+40x+16 
=(50x2+25x2)+(5x+10x40x+40x)+(1+8+16)
=25x2+15x+23

b) Q=(xy)3+(y+x)3+(yx)33xy(x+y)

=x33x2y+3xy2y3+y3+3xy2+3x2y+x3+y33xy2+3x2yx33x2y3xy2

=(x3+x3x3)+(3x2y+3x2y+3x2y3x2y)+(3xy2+3xy23xy23xy2)+(y3+y3+y3)

=x3+y3

Bài 3.4 Trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức: P=12(52+1)(54+1)(58+1)(516+1)

Phương pháp giải:

Nhận thấy (521).52+1)=541

(541).54+1)=581;

(581).58+1)=5161;

(5161).516+1)=5321. Ta làm xuất hiện (521) bằng cách tách 12=12.(521)

Sử dụng hằng đẳng thức: A2B2=(AB)(A+B)

Lời giải:

P=12(52+1)(54+1)(58+1)(516+1)

=12.24.(52+1)(54+1)(58+1)(516+1).

Thay 24=521 ta được: 

P=12(521)(52+1)(54+1)(58+1)(516+1)

=12(541)(54+1)(58+1)(516+1)

=12(581)(58+1)(516+1)

=12(5161)(516+1)=12(5321)  

Bài 3.5 Trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh hằng đẳng thức: (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức: 

(A+B)3=A3+3A2.B+3A.B2+B3

(A+B)2=A2+2AB+B2 

Lời giải: 

Biến đổi vế trái:(a+b+c)3=[(a+b)+c]3

=(a+b)3+3(a+b)2c+3(a+b)c2+c3

=a3+3a2b+3ab2+b3+3(a2+2ab+b2)c+3ac2+3bc2+c3

=a3+3a2b+3ab2+b3+3a2c+6abc+3b2c+3ac2+3bc2+c3

=a3+b3+c3+3a2b+3ab2+3a2c+6abc+3b2c+3ac2+3bc2

=a3+b3+c3+(3a2b+3ab2)+(3a2c+3abc)+(3abc+3b2c)+(3ac2+3bc2)

=a3+b3+c3+3ab(a+b)+3ac(a+b)+3bc(a+b)+3c2(a+b)

=a3+b3+c3+3(a+b)(ab+ac+bc+c2)

=a3+b3+c3+3(a+b)[a(b+c)+c(b+c)]

=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(a+c)

Vế trái bằng vế phải đẳng thức được chứng minh.

Đánh giá

0

0 đánh giá