Với Giải SBT Toán 10 trang 70 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 4 bài tập Toán lớp 10 Tập 1 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 trang 70.

Cho hình thang vuông ABCD có BC = 1, AB = 2 và AD = 3

Bài 4.65 trang 70 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thang vuông ABCD có $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=90°,$ BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.

a) Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}.$

b) Gọi N là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác MCD, và I là điểm thuộc cạnh CD sao cho 9IC = 5ID. Chứng minh rằng A, G, I thẳng hàng.

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AI và BI.

Lời giải:

a) Vì M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Gọi E là hình chiếu của C trên AD. Khi đó $\widehat{CEA}=90°$

Tứ giác ABCE có $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=\widehat{CEA}=90°$ nên là hình chữ nhật

$\Rightarrow$ EA = CB = 1

Mà AD = 3 do đó AE = $\frac{1}{3}$AD

$\Rightarrow \overrightarrow{EA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

Mà $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{EA}$ (do ABCE là hình chữ nhật)

$\Rightarrow \overrightarrow{CB}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

• Ta có: $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{ED}$

Mà $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BA}$ (do ABCE là hình chữ nhật)

Và $\overrightarrow{ED}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

Vậy $\overrightarrow{CM}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}.$

b) Vì G là trọng tâm của tam giác MCD nên ta có:

$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành

Do đó $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}$

$\Rightarrow 3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AM}+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}\right)+\overrightarrow{AD}$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}$ (do $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$)

$=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}$

Vì I thuộc cạnh CD nên hai vectơ $\overrightarrow{IC}$ và $\overrightarrow{ID}$ ngược hướng nhau

Lại có 9IC = 5ID nên $9\overrightarrow{IC}=-5\overrightarrow{ID}$ hay $\overrightarrow{IC}=-\frac{5}{9}\overrightarrow{ID}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

$\overrightarrow{AC}-\left(-\frac{5}{9}\right)\overrightarrow{AD}=\left(1-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\overrightarrow{AI}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}+\frac{5}{9}\overrightarrow{AD}=\left(1+\frac{5}{9}\right)\overrightarrow{AI}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}+\frac{5}{9}\overrightarrow{AD}=\frac{14}{9}\overrightarrow{AI}$

$\Rightarrow 14\overrightarrow{AI}=9\overrightarrow{AC}+5\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow 14\overrightarrow{AI}=9\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}\right)+5\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow 14\overrightarrow{AI}=9\overrightarrow{AB}+9\overrightarrow{AE}+5\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow 14\overrightarrow{AI}=9\overrightarrow{AB}+9.\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+5\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow 14\overrightarrow{AI}=9\overrightarrow{AB}+8\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow 14\overrightarrow{AI}=6\left(\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}\right)$

$\Rightarrow 14\overrightarrow{AI}=6.3\overrightarrow{AG}$ (do $3\overrightarrow{AG}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}$)

$\Rightarrow 14\overrightarrow{AI}=18\overrightarrow{AG}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{9}{7}\overrightarrow{AG}$

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AI}$ và $\overrightarrow{AG}$ cùng phương

Suy ra ba điểm A, I, G thẳng hàng.

c) • Theo câu a ta có $14\overrightarrow{AI}=9\overrightarrow{AB}+8\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow {\left(14\overrightarrow{AI}\right)}^2={\left(9\overrightarrow{AB}+8\overrightarrow{AD}\right)}^2$

$\Rightarrow 196A{I}^2=81A{B}^2+2.\left(9\overrightarrow{AB}\right).\left(8\overrightarrow{AD}\right)+64A{D}^2$

Mà AB ⊥ AD nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$

Do đó ta có: 196AI² = 81AB² + 64AD²

$\Rightarrow$ 196AI² = 81.2² + 64.3² = 900

$\Rightarrow$ AI² = $\frac{225}{49}$

$\Rightarrow$ AI = $\frac{15}{7}.$

• Ta có: $14\overrightarrow{AI}=9\overrightarrow{AB}+8\overrightarrow{AD}\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{9}{14}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{7}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB}=\frac{9}{14}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{7}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BI}=-\frac{5}{14}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{7}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow {\left(\overrightarrow{BI}\right)}^2={\left(-\frac{5}{14}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{7}\overrightarrow{AD}\right)}^2$

$\Rightarrow B{I}^2=\frac{25}{196}A{B}^2-2.\frac{5}{14}\overrightarrow{AB}.\frac{4}{7}\overrightarrow{AD}+\frac{16}{49}A{D}^2$

$\Rightarrow B{I}^2=\frac{25}{196}A{B}^2+\frac{16}{49}A{D}^2$ (do $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$)

$\Rightarrow B{I}^2=\frac{25}{196}{.2}^2+\frac{16}{49}{.3}^2=\frac{169}{49}$

$\Rightarrow$ BI = $\frac{13}{7}.$

Vậy AI = $\frac{15}{7}$ và BI = $\frac{13}{7}.$

Xem thêm lời giải vở bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 4.39 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các điểm A, B, C, D và O. Số các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với  là:...

Bài 4.40 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AC và B là một điểm nằm giữa A, C. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng?...

Bài 4.41 trang 67 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi K, L, M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Trong các vectơ có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, K, L, M, O, có bao nhiêu vectơ bằng vectơ ...

Bài 4.42 trang 67 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 và  Khẳng định nào sau đây là đúng?...

Bài 4.43 trang 67 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài của vectơ  bằng...

Bài 4.44 trang 67 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Độ dài của vectơ bằng...

Bài 4.45 trang 67 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và  Độ dài của vectơ  bằng...

Bài 4.46 trang 67 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC và điểm I sao cho  Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?...

Bài 4.47 trang 68 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC. Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?...

Bài 4.48 trang 68 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 1), B(2; −1), C(4; 6). Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là...

Bài 4.49 trang 68 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 3), B(5; −2) và G(2; 2). Toạ độ của điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC là...

Bài 4.50 trang 68 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a. Tích vô hướng  bằng:...

Bài 4.51 trang 68 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ a,b cùng khác vecto 0 ...

Bài 4.52 trang 68 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ a,b cùng khác vecto 0 ...

Bài 4.53 trang 68 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và  Tích vô hướng  bằng...

Bài 4.54 trang 69 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1). Tất cả các giá trị của tham số m sao cho AB ⊥ OC là...

Bài 4.55 trang 69 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 1, AC = 2. Lấy M, N, P tương ứng thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho 2BM = MC, CN = 2NA, AP = 2PB. Giá trị của tích vô hướng  bằng...

Bài 4.56 trang 69 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = 2MC, CN = 2NA và AM ⊥ NP. Tỉ số của  bằng...

Bài 4.57 trang 69 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. Tích vô hướng của hai vectơ  và  bằng...

Bài 4.58 trang 69 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1:...

Bài 4.59 trang 69 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác vecto 0 có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O...

Bài 4.60 trang 70 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm M, N không trùng với B và C sao cho BM = MN =NC...

Bài 4.61 trang 70 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và ...

Bài 4.62 trang 70 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD. Lấy P thuộc đoạn DM và Q thuộc đoạn BN sao cho DP = 2PM, BQ = xQN. Đặt  và ...

Bài 4.63 trang 70 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Lấy điểm A', B' sao cho   Gọi G' là trọng tâm của tam giác A'B'C. Chứng minh rằng GG' song song với AB...

Bài 4.64 trang 70 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, CD. Gọi K, L, M, N lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE...

Bài 4.66 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng. Chứng minh rằng ...

Bài 4.67 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ  = (1; 2), = (3; –4),  = (–5; 3)...

Bài 4.68 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2)...

Bài 4.69 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9)...

Bài 4.70 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng. Tính công của trọng lực tác động lên xe, biết dốc dài 50 m và nghiêng 15° so với phương nằm ngang (trong tính toán, lấy gia tốc trọng trường bằng 10 m/s²)...