SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Nguyễn Thanh Huyền Ngày: 16-02-2023 Lớp 10

457

Toptailieu biên soạn và giới thiệu giải sách bài tập Toán 10 Bài 11 (Kết nối tri thức): Tích vô hướng của hai vectơ hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm các bài tập từ đó nâng cao kiến thức và biết cách vận dụng phương pháp giải vào các bài tập trong SBT Toán 10 Bài 11.

SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Câu hỏi trang 65 SBT Toán 10

Bài 4.29 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.

a) Gọi M là trung điểm của BC. Tính tích vô hướng của các cặp vectơ $\vec{M A}$ và $\vec{B A},$ $\vec{M A}$ và

b) Gọi N là điểm đối xứng với B qua C. Tính tích vô hướng $\vec{A M} . \vec{A N} .$

c) Lấy điểm P thuộc đoạn AN sao cho AP = 3PN. Hãy biểu thị các vectơ $\vec{A P}, \vec{M P}$ theo hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C} .$ Tính độ dài đoạn MP.

Lời giải:

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1

a) Tam giác ABC đều có M là trung điểm của BC nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác và đường cao.

$\Rightarrow \hat{B A M} = \hat{M A C} = \frac{1}{2} \hat{B A C} = \frac{1}{2} .60 ° = 30 °$

Gọi Ax là tia đối của tia AM, tia Ay là tia đối của tia AB.

Do đó $(\vec{M A}; \vec{B A}) = \hat{x A y} = \hat{B A M} = 30 °$

$(\vec{M A}; \vec{A C}) = \hat{x A C} = 180 ° - \hat{M A C}$

$\Rightarrow (\vec{M A}; \vec{A C}) = 180 ° - 30 ° = 150 °$

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1

Xét tam giác BAM vuông tại M, theo định lí Pythagoras ta có:

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1

b) • Vì M là trung điểm của BC nên $\vec{A B } + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B } + \vec{A C})$

• N đối xứng với B qua C nên C là trung điểm của BN

$\Rightarrow \vec{A B } + \vec{A N} = 2 \vec{A C}$ $\Rightarrow \vec{A N} = 2 \vec{A C} - \vec{A B }$

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1

Do đó $\vec{A M} . \vec{A N}$ $= \frac{1}{2} . (2 A C^{2} - A B^{2} + \vec{A B} . \vec{A C})$

$= \frac{1}{2} . ({2.1}^{2} - 1^{2} + \frac{1}{2})$

$= \frac{1}{2} . \frac{3}{2} = \frac{3}{4} .$

Vậy $\vec{A M} . \vec{A N} = \frac{3}{4}$

c) • Vì P thuộc đoạn thẳng AN thỏa mãn AP = 3PN $\Rightarrow A P = \frac{3}{4} A N$

$\Rightarrow \vec{A P} = \frac{3}{4} \vec{A N} = \frac{3}{4} . (2 \vec{A C} - \vec{A B })$

$\Rightarrow \vec{A P} = \frac{3}{2} \vec{A C} - \frac{3}{4} \vec{A B }$

• Ta có: $\vec{M P} = \vec{A P} - \vec{A M}$

$= (\frac{3}{2} \vec{A C} - \frac{3}{4} \vec{A B }) - \frac{1}{2} (\vec{A B } + \vec{A C})$

$= \frac{3}{2} \vec{A C} - \frac{3}{4} \vec{A B } - \frac{1}{2} \vec{A B } - \frac{1}{2} \vec{A C}$

$= (\frac{3}{2} \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A C}) - (\frac{3}{4} \vec{A B } + \frac{1}{2} \vec{A B })$

$= \vec{A C} - \frac{5}{4} \vec{A B }$

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1

$\Rightarrow M P^{2} = {(\vec{A C} - \frac{5}{4} \vec{A B })}^{2}$

$= {\vec{A C}}^{2} - 2. \frac{5}{4} \vec{A C} . \vec{A B} + \frac{25}{16} {\vec{A B}}^{2}$

$= A C^{2} + \frac{25}{16} A B^{2} - \frac{5}{2} \vec{A C} . \vec{A B}$

$= 1^{2} + \frac{25}{16} {.1}^{2} - \frac{5}{2} . \frac{1}{2}$

$= \frac{21}{16}$

$\Rightarrow M P = \sqrt{\frac{21}{16}} = \frac{\sqrt{21}}{4} .$

Vậy $\vec{A P} = \frac{3}{2} \vec{A C} - \frac{3}{4} \vec{A B };$ $\vec{M P} = \vec{A C} - \frac{5}{4} \vec{A B }$ và $M P = \frac{\sqrt{21}}{4} .$

Bài 4.29 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.

a) Gọi M là trung điểm của BC. Tính tích vô hướng của các cặp vectơ $\vec{M A}$ và $\vec{B A},$ $\vec{M A}$ và

b) Gọi N là điểm đối xứng với B qua C. Tính tích vô hướng $\vec{A M} . \vec{A N} .$

c) Lấy điểm P thuộc đoạn AN sao cho AP = 3PN. Hãy biểu thị các vectơ $\vec{A P}, \vec{M P}$ theo hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C} .$ Tính độ dài đoạn MP.

Lời giải:

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1

a) Tam giác ABC đều có M là trung điểm của BC nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác và đường cao.

$\Rightarrow \hat{B A M} = \hat{M A C} = \frac{1}{2} \hat{B A C} = \frac{1}{2} .60 ° = 30 °$

Gọi Ax là tia đối của tia AM, tia Ay là tia đối của tia AB.

Do đó $(\vec{M A}; \vec{B A}) = \hat{x A y} = \hat{B A M} = 30 °$

$(\vec{M A}; \vec{A C}) = \hat{x A C} = 180 ° - \hat{M A C}$

$\Rightarrow (\vec{M A}; \vec{A C}) = 180 ° - 30 ° = 150 °$

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1

Xét tam giác BAM vuông tại M, theo định lí Pythagoras ta có:

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1

b) • Vì M là trung điểm của BC nên $\vec{A B } + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B } + \vec{A C})$

• N đối xứng với B qua C nên C là trung điểm của BN

$\Rightarrow \vec{A B } + \vec{A N} = 2 \vec{A C}$ $\Rightarrow \vec{A N} = 2 \vec{A C} - \vec{A B }$

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1

Do đó $\vec{A M} . \vec{A N}$ $= \frac{1}{2} . (2 A C^{2} - A B^{2} + \vec{A B} . \vec{A C})$

$= \frac{1}{2} . ({2.1}^{2} - 1^{2} + \frac{1}{2})$

$= \frac{1}{2} . \frac{3}{2} = \frac{3}{4} .$

Vậy $\vec{A M} . \vec{A N} = \frac{3}{4}$

c) • Vì P thuộc đoạn thẳng AN thỏa mãn AP = 3PN $\Rightarrow A P = \frac{3}{4} A N$

$\Rightarrow \vec{A P} = \frac{3}{4} \vec{A N} = \frac{3}{4} . (2 \vec{A C} - \vec{A B })$

$\Rightarrow \vec{A P} = \frac{3}{2} \vec{A C} - \frac{3}{4} \vec{A B }$

• Ta có: $\vec{M P} = \vec{A P} - \vec{A M}$

$= (\frac{3}{2} \vec{A C} - \frac{3}{4} \vec{A B }) - \frac{1}{2} (\vec{A B } + \vec{A C})$

$= \frac{3}{2} \vec{A C} - \frac{3}{4} \vec{A B } - \frac{1}{2} \vec{A B } - \frac{1}{2} \vec{A C}$

$= (\frac{3}{2} \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A C}) - (\frac{3}{4} \vec{A B } + \frac{1}{2} \vec{A B })$

$= \vec{A C} - \frac{5}{4} \vec{A B }$

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1

$\Rightarrow M P^{2} = {(\vec{A C} - \frac{5}{4} \vec{A B })}^{2}$

$= {\vec{A C}}^{2} - 2. \frac{5}{4} \vec{A C} . \vec{A B} + \frac{25}{16} {\vec{A B}}^{2}$

$= A C^{2} + \frac{25}{16} A B^{2} - \frac{5}{2} \vec{A C} . \vec{A B}$

$= 1^{2} + \frac{25}{16} {.1}^{2} - \frac{5}{2} . \frac{1}{2}$

$= \frac{21}{16}$

$\Rightarrow M P = \sqrt{\frac{21}{16}} = \frac{\sqrt{21}}{4} .$

Vậy $\vec{A P} = \frac{3}{2} \vec{A C} - \frac{3}{4} \vec{A B };$ $\vec{M P} = \vec{A C} - \frac{5}{4} \vec{A B }$ và $M P = \frac{\sqrt{21}}{4} .$

Bài 4.30 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, $B C = \sqrt{2} .$ Gọi M là trung điểm của AD.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau.

b) Gọi H là giao điểm của AC, BM. Gọi N là trung điểm của AH và P là trung điểm của CD. Chứng minh rằng tam giác NBP là một tam giác vuông.

Lời giải:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

Vì AB ⊥ AD nên $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = \vec{0}$

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành nên ta có:

$\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{a} + \vec{b}$ (quy tắc hình bình hành)

M là trung điểm của AD nên $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{b}$

Suy ra $\vec{B M} = \vec{A M} - \vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a}$

Khi đó $\vec{A C} . \vec{B M} = (\vec{a} + \vec{b}) . (\frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a})$

$= \frac{1}{2} \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{b}$

$= \frac{1}{2} \vec{0} - {\vec{a}}^{2} + \frac{1}{2} {\vec{b}}^{2} - \vec{0}$ (do $\vec{a} . \vec{b} = \vec{0}$ )

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

Do đó $\vec{A C} . \vec{B M} = 0 \Leftrightarrow \vec{A C} ⊥ \vec{B M}$

$\Rightarrow$ AC ⊥ BM.

b) • Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:

AC² = AB² + BC² = 1 + ${(\sqrt{2})}^{2}$ = 3

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB² = AH.AC $\Rightarrow A H = \frac{A B^{2}}{A C} = \frac{1^{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow \frac{A H}{A C} = \frac{\sqrt{3}}{3} : \sqrt{3} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \vec{A H} = \frac{1}{3} \vec{A C}$

Khi đó $\vec{H C} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ và $\vec{H A} = - \frac{1}{3} \vec{A C}$

Ta có $\vec{N B} = \vec{N A} + \vec{A B}$ (quy tắc ba điiểm)

Vì N là trung điểm của AH nên $\vec{N A} = \frac{1}{2} \vec{H A}$

$\Rightarrow \vec{N B} = \frac{1}{2} . (- \frac{1}{3} \vec{A C}) + \vec{A B}$

$= - \frac{1}{6} . (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{a}$

$= \frac{5}{6} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b}$

• Có N là trung điểm của HA và P là trung điểm của CD, theo kết quả bài 4.12, trang 58, Sách giáo khoa Toán 10, tập một, ta có:

$\vec{A D} + \vec{H C} = 2 \vec{N P}$ $\Rightarrow \vec{N P} = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{H C})$

$\Rightarrow \vec{N P} = \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{H C}$

$= \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} . \frac{2}{3} \vec{A C}$

$= \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{3} . (\vec{a} + \vec{b})$

$= \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{5}{6} . \vec{b}$

Khi đó $\vec{N B} . \vec{N P} = (\frac{5}{6} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b}) . (\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{5}{6} . \vec{b})$

$= \frac{5}{18} {\vec{a}}^{2} + \frac{25}{36} \vec{a} . \vec{b} - \frac{1}{18} \vec{a} . \vec{b} - \frac{5}{36} {\vec{b}}^{2}$

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

$= \frac{5}{18} {.1}^{2} - \frac{5}{36} . {(\sqrt{2})}^{2}$

$= \frac{5}{18} - \frac{5}{36} .2 = 0$

Do đó $\vec{N B} . \vec{N P} = 0 \Rightarrow \vec{N B} ⊥ \vec{N P}$

$\Rightarrow N B ⊥ N P .$

Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:

a) AM vuông góc với DE;

b) BE vuông góc với CD;

c) Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.

Lời giải:

Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

a) +) Vì M là trung điểm của BC nên $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$

+) Theo quy tắc ba điểm ta có: $\vec{D E} = \vec{A E} - \vec{A D}$

$\Rightarrow \vec{A M} . \vec{D E} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) (\vec{A E} - \vec{A D})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A E} - \vec{A B} . \vec{A D} + \vec{A C} . \vec{A E} - \vec{A C} . \vec{A D})$

Mà AB ⊥ AD nên $\vec{A B} . \vec{A D} = 0$

Và AC ⊥ AE nên $\vec{A C} . \vec{A E} = 0$

Do đó $\vec{A M} . \vec{D E} = \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A E} - \vec{A C} . \vec{A D})$

Ta có:

• $\vec{A B} . \vec{A E} = A B . A E . c o s \hat{B A E}$

Và $\vec{A C} . \vec{A D} = A C . A D . c o s \hat{C A D}$

• AB = AD (do ∆ABD vuông cân tại A)

Và AC = AE (do ∆ACE vuông cân tại A)

• $\hat{B A E} = \hat{B A C} + \hat{C A E} = \hat{B A C} + 90 °$

Và $\hat{C A D} = \hat{B A C} + \hat{B A D} = \hat{B A C} + 90 °$

$\Rightarrow \hat{B A E} = \hat{C A D}$

Do đó $\vec{A B} . \vec{A E} = \vec{A C} . \vec{A D}$

$\Rightarrow \vec{A M} . \vec{D E} = \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A E} - \vec{A B} . \vec{A E}) = 0$

$\Rightarrow \vec{A M} ⊥ \vec{D E}$

b) Ta có: $\vec{B E} = \vec{A E} - \vec{A B}$ và $\vec{C D} = \vec{A D} - \vec{A C}$

$\Rightarrow \vec{B E} . \vec{C D} = (\vec{A E} - \vec{A B}) . (\vec{A D} - \vec{A C})$

$= \vec{A E} . \vec{A D} - \vec{A E} . \vec{A C} - \vec{A B} . \vec{A D} + \vec{A B} . \vec{A C}$

$= \vec{A E} . \vec{A D} + \vec{A B} . \vec{A C}$ (do $\vec{A B} . \vec{A D} = 0$ và $\vec{A C} . \vec{A E} = 0$ )

Ta có:

• $\vec{A E} . \vec{A D} = A E . A D . c o s \hat{D A E}$

Và $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c o s \hat{B A C}$

• AB = AD và AC = AE

• $\hat{D A E} = 360 ° - \hat{D A B} - \hat{B A C} - \hat{C A E}$

$\Rightarrow \hat{D A E} = 360 ° - 90 ° - \hat{B A C} - 90 °$

$\Rightarrow \hat{D A E} = 180 ° - \hat{B A C}$

$\Rightarrow c o s \hat{D A E} = c o s (180 ° - \hat{B A C}) = - c o s \hat{B A C}$

$\Rightarrow \vec{A E} . \vec{A D} = - \vec{A B} . \vec{A C}$

$\Rightarrow \vec{B E} . \vec{C D} = \vec{A E} . \vec{A D} - \vec{A B} . \vec{A C} = 0$

$\Rightarrow \vec{B E} ⊥ \vec{C D}$

$\Rightarrow$ BE ⊥ CD.

c) Ta có: $B E^{2} = {\vec{B E}}^{2} = {(\vec{A E} - \vec{A B})}^{2}$

$= {\vec{A E}}^{2} - 2. \vec{A E} . \vec{A B} + {\vec{A B}}^{2}$

$= A E^{2} + A B^{2} - 2. A E . A B . c o s \hat{E A B}$

$= A D^{2} + A C^{2} - 2. A D . A C . c o s \hat{C A D}$

$= {\vec{A D}}^{2} + {\vec{A C}}^{2} - 2 \vec{A D} . \vec{A C}$

$= {(\vec{A D} - \vec{A C})}^{2}$

$= {\vec{C D}}^{2} = C D^{2}$

$\Rightarrow$ BE = CD (1)

Xét tam giác BCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD

Nên MN là đường trung bình của ∆BCD

$\Rightarrow M N = \frac{1}{2} C D$ và MN // CD (2)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

MP là đường trung bình của ∆BCE

$\Rightarrow M P = \frac{1}{2} B E$ và MP // BE (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN = MP.

Vì BE ⊥ CD (câu b), MN // CD và MP // BE

Nên MN ⊥ MP

$\Rightarrow \hat{N M P} = 90 °$

Tam giác MNP có MN = MP và $\hat{N M P} = 90 °$

Suy ra tam giác MNP là tam giác vuông cân tại M.

Bài 4.32 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thoả mãn

Cho hai vectơ a và b

a) Tính tích vô hướng $\vec{a} . (\vec{a} + \vec{b}) .$

b) Tính số đo của góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{a} + \vec{b} .$

Lời giải:

Gọi ba điểm A, B, C sao cho $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}$

Khi đó $\vec{a} + \vec{b} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

Và AB = 6, BC = 8 và AC = 10.

Xét tam giác ABC có:

• AB² + BC² = 6² + 8² =100

AC² = 10² = 100

$\Rightarrow$ AB² + B $\vec{a} . (\vec{a} + \vec{b}) = 36.$ C² = AC²

Do đó tam giác ABC vuông tại B (định lí Pythagore đảo)

• $c o s \hat{B A C} = \frac{A B}{A C} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

a) Ta có $\vec{a} . (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{A B} . \vec{A C}$

$= A B . A C c o s \hat{B A C}$

$= 6.10. \frac{3}{5} = 36$

Vậy

b) $c o s (\vec{a}; \vec{a} + \vec{b}) = c o s \hat{B A C} = \frac{3}{5}$

$\Rightarrow \hat{B A C} \approx 53 ° 7^{'} 4 {8^{'}}^{'}$

Vậy $(\vec{a}; \vec{a} + \vec{b}) \approx 53 ° 7^{'} 4 {8^{'}}^{'} .$

Bài 4.33 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P tương ứng là trung điềm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng Chứng minh rằng $\vec{M D} . \vec{B C} + \vec{N E} . \vec{C A} + \vec{P F} . \vec{A B} = 0$

Lời giải:

Gọi H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

• Vì D, M lần lượt là hình chiếu của H và O lên BC, nên $\vec{M D}$ là hình chiếu của $\vec{O H}$ trên giá của

Theo định lí hình chiếu (được giới thiệu ở phần Nhận xét của Ví dụ 2, trang 62, Sách Bài tập Toán 10, tập một) ta có:

$\vec{O H} . \vec{B C} = \vec{M D} . \vec{B C}$

$\Rightarrow \vec{M D} . \vec{B C} = \vec{O H} . \vec{B C} = \vec{O H} . (\vec{O C} - \vec{O B})$

$\Rightarrow \vec{M D} . \vec{B C} = \vec{O H} . \vec{O C} - \vec{O H} . \vec{O B}$ (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

• $\vec{N E} . \vec{C A} = \vec{O H} . \vec{C A} = \vec{O H} . (\vec{O A} - \vec{O C})$

$\Rightarrow \vec{N E} . \vec{C A} = \vec{O H} . \vec{O A} - \vec{O H} . \vec{O C}$ (2)

• $\vec{P F} . \vec{A B} = \vec{O H} . \vec{A B} = \vec{O H} . (\vec{O B} - \vec{O A})$

$\Rightarrow \vec{P F} . \vec{A B} = \vec{O H} . \vec{O B} - \vec{O H} . \vec{O A}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$\vec{M D} . \vec{B C} + \vec{N E} . \vec{C A} + \vec{P F} . \vec{A B}$

$= \vec{O H} . \vec{O C} - \vec{O H} . \vec{O B} + \vec{O H} . \vec{O A} - \vec{O H} . \vec{O C} + \vec{O H} . \vec{O B} - \vec{O H} . \vec{O A}$

= 0

Vậy $\vec{M D} . \vec{B C} + \vec{N E} . \vec{C A} + \vec{P F} . \vec{A B} = 0.$

Bài 4.34 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3).

a) Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ của điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC hay $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$

Do đó $\vec{A B} . \vec{A C} = 0$

Giả sử C(x; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với A(2; 1), B(4; 3) và C(x; 0) ta có:

$\vec{A B} = (2; 2)$ và $\vec{A C} = (x - 2; - 1)$

Khi đó $\vec{A B} . \vec{A C} = 0$ $\Leftrightarrow$ 2(x – 2) + 2(–1) = 0

$\Leftrightarrow$ 2x – 4 – 2 = 0

$\Leftrightarrow$ 2x = 6

$\Leftrightarrow$ x = 3

Vậy C(3; 0).

$\Rightarrow \vec{A C} = (1; - 1)$

Ta có:

• $\vec{A B} = (2; 2) \Rightarrow A B = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2}$

• $\vec{A C} = (1; - 1) \Rightarrow A C = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}$

• $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{10}$ (theo định lí Pythagore)

Khi đó chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC = $2 \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{10} = 3 \sqrt{2} + \sqrt{10}$ (đơn vị độ dài)

Diện tích tam giác ABC là:

$\frac{1}{2} . A B . A C = \frac{1}{2} .2 \sqrt{2} . \sqrt{2} = 2$ (đơn vị diện tích)

b) Tam giác ABD vuông cân tại A nên AB ⊥ AD và AB = AD

• Với AB ⊥ AD ta có $\vec{A B} ⊥ \vec{A D}$

Mà $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ (theo câu a)

Nên $\vec{A D}$ cùng phương với $\vec{A C}$

Gọi D(a; b) là tọa độ điểm D cần tìm.

$\Rightarrow \vec{A D} = (a - 2; b - 1)$

Mà $\vec{A C} = (1; - 1)$

Do đó $\vec{A D}$ cùng phương với $\vec{A C}$ khi và chỉ khi:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3)

• Với AB = AD ta có AB² = AD²

$\Leftrightarrow {(2 \sqrt{2})}^{2} = {(a - 2)}^{2} + {(b - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow$ 8 = (a – 2)² + (2 – a)² (do b – 1 = 2 – a)

$\Leftrightarrow$ 8 = 2.(a – 2)²

$\Leftrightarrow$ (a – 2)² = 4

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3)

Với a = 4 thì b – 1 = 2 – 4 $\Rightarrow$ b = –1 ta có điểm D₁(4; –1).

Với a = 0 thì b – 1 = 2 – 0 $\Rightarrow$ b = 3 ta có điểm D₂(0; 3).

Vậy có hai điểm D thỏa mãn yêu cầu đề bài là D₁(4; –1) và D₂(0; 3).

Bài 4.35 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm toạ độ các đỉnh B, D, biết rằng tung độ của B là một số âm.

Lời giải:

Gọi I là giao điểm của AC và BD

Vì ABCD là hình vuông nên ta có: I là trung điểm của AC; AC = BD và AC ⊥ BD tại I.

• I là trung điểm của AC nên:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD

Giả sử B(x; y) (y < 0) và D(a; b)

Vì I là trung điểm của BD nên ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD

Với A(1; 4); C(9; 2); B(x; y) và D(10 – x; 6 – y) ta có:

$\vec{A C} = (8; - 2)$ và $\vec{B D} = (10 - 2 x; 6 - 2 y)$

• AC ⊥ BD $\Leftrightarrow \vec{A C} ⊥ \vec{B D} \Leftrightarrow \vec{A C} . \vec{B D} = 0$

$\Leftrightarrow$ 8.(10 – 2x) + (–2).(6 – 2y) = 0

$\Leftrightarrow$ 80 – 16x – 12 + 4y = 0

$\Leftrightarrow$ 4y = 16x – 68

$\Leftrightarrow$ y = 4x – 17 (với y < 0)

• AC = BD $\Leftrightarrow$ AC² = BD²

$\Leftrightarrow$ 8² + (–2)² = (10 – 2x)² + (6 – 2y)²

$\Leftrightarrow$ 64 + 4 = (10 – 2x)² + [6 – 2(4x – 17)]²

$\Leftrightarrow$ (10 – 2x)² + (6 – 8x + 34)²= 68

$\Leftrightarrow$ (10 – 2x)² + (40 – 8x)²= 68

$\Leftrightarrow$ 4.(x – 5)²+ 64.(x – 5)² = 68

$\Leftrightarrow$ (x – 5)²= 1

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD

Với x = 6 ta có y = 4.6 – 17 = 7 (không thỏa mãn y < 0)

Với x = 4 ta có y = 4.4 – 17 = –1 (thỏa mãn y < 0)

Khi đó ta có điểm B(4; –1)

Mà D(10 – x; 6 – y) nên D(6; 7).

Vậy B(4; –1) và D(6; 7).

Câu hỏi trang 66 SBT Toán 10

Bài 4.36 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).

a) Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều A và B.

b) Tìm toạ độ của điểm D thuộc trục tung sao cho vectơ $\vec{D A} + \vec{D B}$ có độ dài ngắn nhất.

Lời giải:

a) Vì C cách đều A và B nên CA = CB

$\Leftrightarrow$ AC² = BC²

Giả sử C(x; 0) là điểm thuộc trục hoành

Với A(1; 1); B(7; 5) và C(x; 0) ta có:

• $\vec{A C} = (x - 1; - 1)$ $\Rightarrow$ AC² = (x – 1)² + (–1)²

$\Rightarrow$ AC² = x² – 2x + 2

• $\vec{B C} = (x - 7; - 5)$ $\Rightarrow$ BC² = (x – 7)² + (–5)²

$\Rightarrow$ BC² = x² – 14x + 74

Do đó AC² = BC²

$\Leftrightarrow$ x² – 2x + 2 = x² – 14x + 74

$\Leftrightarrow$ 12x = 72

$\Leftrightarrow$ x = 6

Vậy C(6; 0).

b) Gọi M là trung điểm của AB.

Khi đó $\vec{D A} + \vec{D B} = 2 \vec{D M}$

Do đó để vectơ $\vec{D A} + \vec{D B}$ có độ dài ngắn nhất thì vectơ $2 \vec{D M}$ có độ dài ngắn nhất

$\Leftrightarrow$ DM có độ dài ngắn nhất

Hay DM² nhỏ nhất.

Giả sử D(0; y) là điểm thuộc trục tung

Với A(1; 1); B(7; 5) và D(0; y) ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1)

$\Rightarrow$ M(4; 3)

$\Rightarrow \vec{D M} = (4; 3 - y)$

$\Rightarrow$ DM² = 4² + (3 – y)²

Hay DM² = (y – 3)² + 16

Vì (y – 3)² ≥ 0 với mọi y

Nên (y – 3)² + 16 ≥ 16 với mọi y

Hay DM²≥ 16 với mọi y

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y – 3 = 0 Û y = 3.

Do đó DM đạt giá trị nhỏ nhất khi D(0; 3)

Vậy D(0; 3) thì vectơ $\vec{D A} + \vec{D B}$ có độ dài ngắn nhất.

Bài 4.37 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ấy.

b) Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm toạ độ của I.

Lời giải:

a) Với A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1) ta có:

$\vec{A B} = (4; 3)$ và $\vec{A C} = (6; - 3)$

Vì $\frac{4}{6} = \frac{2}{3} \neq \frac{3}{- 3} = - 1$ nên hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ không cùng phương

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1)

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G (\frac{1}{3}; 2)$ .

b) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC

Hay $\vec{A H} . \vec{B C} = 0$ và $\vec{B H} . \vec{A C} = 0$

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC

Với A(–3; 2), B(1; 5), C(3; −1) và H(x; y) ta có:

• $\vec{A H} = (x + 3; y - 2)$ và $\vec{B C} = (2; - 6)$

$\Rightarrow \vec{A H} . \vec{B C} = (x + 3) .2 + (y - 2) . (- 6) = 0$

$\Rightarrow$ 2x – 6y = –18

$\Rightarrow$ x – 3y = –9 (1)

• $\vec{B H} = (x - 1; y - 5)$ và $\vec{A C} = (6; - 3)$

$\Rightarrow \vec{B H} . \vec{A C} = (x - 1) .6 + (y - 5) . (- 3) = 0$

$\Rightarrow$ 6x – 3y = –9 (2)

Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có:

5x = 0 $\Rightarrow$ x = 0

$\Rightarrow$ y = 3

$\Rightarrow$ H(0; 3)

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là H(0; 3)

c) Theo kết quả phần a) của Bài 4.15, trang 54, Sách Bài tập, Toán 10, tập một ta có:

$\vec{A H} = 2 \vec{I M}$ với M là trung điểm của BC.

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Với A(–3; 2), B(1; 5), C(3; −1), H(0; 3) và I(a; b) ta có:

• $\vec{A H} = (3; 1)$

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1)

$\Rightarrow$ M(2; 2)

$\Rightarrow \vec{I M} = (2 - a; 2 - b)$

$\Rightarrow 2 \vec{I M} = (4 - 2 a; 4 - 2 b)$

Ta có $\vec{A H} = 2 \vec{I M}$

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1)

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $I (\frac{1}{2}; \frac{3}{2}) .$

Bài 4.38 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm M, N, P. Nếu một lực $\vec{F}$ không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm, thì các công sinh bởi lực $\vec{F}$ trong hai trường hợp sau có mối quan hệ gì với nhau?

a) Chất điểm chuyển động theo đường gấp khúc từ M đến N rồi tiếp tục từ N đến P.

b) Chất điểm chuyển động thẳng từ M đến P.

Lời giải:

a) Do lực $\vec{F}$ không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm nên công sinh bởi lực $\vec{F}$ khi chất điểm chuyển động theo đường gấp khúc từ M đến N rồi tiếp tục từ N đến P là:

A₁ = $\vec{F} . \vec{M N} + \vec{F} . \vec{N P}$

A₁ $= \vec{F} . (\vec{M N} + \vec{N P})$

A₁ $= \vec{F} . \vec{M P}$ (1)

b) Do lực $\vec{F}$ không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm nên công sinh bởi lực $\vec{F}$ khi chất điểm chuyển động thẳng từ M đến P là:

Cho ba điểm M, N, P trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1