SBT Toán 10 Kết nối tri thức: Bài tập cuối chương 4

Nguyễn Thanh Huyền Ngày: 16-02-2023 Lớp 10

654

Toptailieu biên soạn và giới thiệu giải sách bài tập Toán 10 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 4 hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm các bài tập từ đó nâng cao kiến thức và biết cách vận dụng phương pháp giải vào các bài tập trong SBT Toán 10 Bài 1 .

SBT Toán 10 Kết nối tri thức: Bài tập cuối chương 4

Bài 4.39 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các điểm A, B, C, D và O. Số các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với $\vec{A C}$ là:

A. 6;

B. 3;

C. 4;

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với $\vec{A C}$ là: $\vec{A C}, \vec{C A}, \vec{A O}, \vec{O A}, \vec{O C}, \vec{C O} .$

Vậy có 6 vectơ khác vectơ - không và cùng phương với $\vec{A C} .$

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4.40 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AC và B là một điểm nằm giữa A, C. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng?

A. Hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C B}$ cùng hướng;

B. Hai vectơ $\vec{C A}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng;

C. Hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ cùng hướng;

D. Hai vectơ $\vec{A C}$ và $\vec{B A}$ cùng hướng.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vì B nằm giữa A và C nên ta có:

• $\vec{A B}$ và $\vec{C B}$ ngược hướng. Do đó phương án A sai.

• $\vec{C A}$ và $\vec{B C}$ ngược hướng. Do đó phương án B sai.

• $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ cùng hướng. Do đó phương án C đúng.

• $\vec{A C}$ và $\vec{B A}$ ngược hướng. Do đó phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.41 trang 67 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi K, L, M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Trong các vectơ có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, K, L, M, O, có bao nhiêu vectơ bằng vectơ $\vec{A K} ?$

A. 2;

B. 6;

C. 4;

D. 8.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD.

Lại có K, L, M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA

Nên AK = KB = DM = MC và NL // AB // CD

Do đó ABLN là hình bình hành (do AB // NL và AN // BL)

Suy ra AB = NL = CD

Mà O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD

Do đó đường trung bình NL đi qua O

Và NO = OL = $\frac{1}{2} N L = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} C D$

Suy ra AK = KB = NO = OL = DM = MC.

Khi đó các vectơ bằng vectơ $\vec{A K}$ là: $\vec{K B}, \vec{O L}, \vec{D M}, \vec{M C} .$

Vậy có 4 vectơ bằng vectơ $\vec{A K} .$

Ta chọn phương án C.

Bài 4.42 trang 67 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 và $\hat{D A B} = 120 ° .$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

• Xét phương án A:

Vì ABCD là hình thoi nên AB // CD suy ra $\vec{A B} = \vec{D C} .$

Do đó phương án A là sai.

• Xét phương án B:

Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Khi đó $\vec{B D} ⊥ \vec{A C}$ nên $\vec{B D} \neq \vec{A C} .$

Do đó phương án B là sai.

• Xét phương án C:

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 nên AD = AB = 1.

Xét $∆$ ABD có AB = AD = 1 và $\hat{D A B} = 120 °,$ áp dụng định lí cosin ta có:

BD² = AD² + AB² – 2.AD.AB.cos $\hat{D A B}$

$\Rightarrow$ BD² = 1² + 1² – 2.1.1.cos120°

$\Rightarrow$ BD² = 3

$\Rightarrow$ BD = $\sqrt{3}$

Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1

Do đó phương án C là sai.

• Xét phương án D:

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 nên AD = CD = 1 .

Mặt khác $\hat{D A B} = 120 °$ nên $\hat{A D C} = 180 ° - \hat{D A B} = 180 ° - 120 ° = 60 °$

Tam giác ADC có AD = DC nên là tam giác cân lại có $\hat{A D C} = 60 °$

Suy ra DADC là tam giác đều

$\Rightarrow$ AC = AD = CD = 1.

Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1

Do đó phương án D là đúng.

Bài 4.43 trang 67 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài của vectơ $\vec{A G}$ bằng

A. $\sqrt{3};$

B. $\frac{3 \sqrt{3}}{2};$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2};$

D. $2 \sqrt{3} .$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Tam giác ABC đều có cạnh bằng 3 nên AB = AC = 3 và $\hat{B A C} = 60 ° .$

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

$\Rightarrow {(\vec{A B} + \vec{A C})}^{2} = {(2 \vec{A M})}^{2}$

$\Rightarrow A B^{2} + 2. \vec{A B} . \vec{A C} + A C^{2} = 4 A M^{2}$

$\Rightarrow A B^{2} + 2. A B . A C . c os \hat{B A C} + A C^{2} = 4 A M^{2}$

$\Rightarrow$ 3² + 2.3.3.cos60° + 3² = 4.AM²

$\Rightarrow$ 4.AM² = 27

$\Rightarrow$ AM² = $\frac{27}{4}$

$\Rightarrow$ AM = $\sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên AG = $\frac{2}{3}$ AM

$\Rightarrow$ AG = $\frac{2}{3} . \frac{3 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} .$

Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4.44 trang 67 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Độ dài của vectơ $\vec{C B} + \vec{A B}$ bằng

A. $\sqrt{13};$

B. $2 \sqrt{13};$

C. 4;

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi D là điểm thỏa mãn $\vec{A B} = \vec{C D}$

Khi đó CD // AB và CD = AB (1)

Ta có: $\vec{C B} + \vec{A B} = \vec{C B} + \vec{C D}$

Gọi E là điểm thỏa mãn BCDE là hình bình hành.

Khi đó CD // BE và CD = BE (2)

Từ (1) và (2) ta có: AB ≡ BE và AB = BE

Do đó B là trung điểm của AE

$\Rightarrow$ AE = 2AB = 2.3 = 6.

Xét tam giác ACE vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

CE² = AC² + AE² = 4² + 6² = 52

$\Rightarrow$ CE = $\sqrt{52} = 2 \sqrt{13} .$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{C B} + \vec{C D} = \vec{C E}$ (quy tắc hình bình hành)

Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.45 trang 67 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và $\hat{A B C} = 60 ° .$ Độ dài của vectơ $\vec{A C} - \vec{B A}$ bằng

A. 2;

B. 4;

C. $\sqrt{19};$

D. $\frac{\sqrt{19}}{2} .$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét DABC có AB = 2, BC = 4 và $\hat{A B C} = 60 ° .$

Khi đó tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

$\Rightarrow \hat{B A C} = 90 ° .$

Ta có: $\vec{A C} - \vec{B A} = \vec{A C} + \vec{A B}$

Gọi D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành

Khi đó $\vec{A C} - \vec{B A} = \vec{A C} + \vec{A B} = \vec{A D}$

Hình bình hành ABDC có $\hat{B A C} = 90 °$ nên là hình chữ nhật.

Do đó AD = BC (hai đường chéo bằng nhau)

Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.46 trang 67 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC và điểm I sao cho $\vec{I B} + 2 \vec{I C} = \vec{0} .$ Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?

A. $\vec{A I} = 2 \vec{A C} - \vec{A B};$

B. $\vec{A I} = \vec{A B} - 2 \vec{A C};$

C. $\vec{A I} = \frac{\vec{A B} - 2 \vec{A C}}{- 3};$

D. $\vec{A I} = \frac{\vec{A B} + 2 \vec{A C}}{3} .$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\vec{I B} + 2 \vec{I C} = \vec{0} \Rightarrow \vec{I B} = - 2 \vec{I C}$

Khi đó $\vec{I B}$ và $\vec{I C}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng và IB = 2IC.

Khi đó điểm I nằm giữa hai điểm B và C sao cho IB = 2IC.

Cho tam giác ABC và điểm I

Gọi M là trung điểm của BI.

Khi đó M là trung điểm của BI, I là trung điểm của MC.

Vì I là trung điểm của MC nên ta có:

$2 \vec{A I} = \vec{A M} + \vec{A C}$ (1)

Vì M là trung điểm của BI nên ta có:

$2 \vec{A M} = \vec{A B} + \vec{A I}$

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A I}$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

$2 \vec{A I} = \vec{A M} + \vec{A C}$

$\Rightarrow 2 \vec{A I} = (\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A I}) + \vec{A C}$

$\Rightarrow 2 \vec{A I} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A I} + \vec{A C}$

$\Rightarrow 2 \vec{A I} - \frac{1}{2} \vec{A I} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A C}$

$\Rightarrow \frac{3}{2} \vec{A I} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A C}$

$\Rightarrow \vec{A I} = \frac{2}{3} . (\frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A C})$

$\Rightarrow \vec{A I} = \frac{\vec{A B} + 2 \vec{A C}}{3}$

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 4.47 trang 68 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC. Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?

A. $\vec{G A} = 2 \vec{G M};$

B. $\vec{A B} + \vec{A C} = 3 \vec{A G};$

C. $\vec{A M} = 3 \vec{M G};$

D. $3 \vec{G A} = 2 \vec{A M} .$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

• Xét phương án A:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2GM và G nằm giữa A, M.

Khi đó $\vec{G A},$ $\vec{G M}$ là hai vectơ ngược hướng

Nên $\vec{G A} = - 2 \vec{G M}$

Do đó phương án A là sai.

• Xét phương án B:

Vì M là trung điểm của BC nên $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = $\frac{2}{3}$ AM

Hai vectơ $\vec{A G}$ và $\vec{A M}$ cùng hướng nên $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A M}$

$\Rightarrow 2 \vec{A M} = 3 \vec{A G}$

Khi đó $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M} = 3 \vec{A G} .$

Do đó phương án B là đúng.

• Xét phương án C:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AM = 3MG và G nằm giữa A, M.

Khi đó $\vec{A M},$ $\vec{M G}$ là hai vectơ ngược hướng

Nên $\vec{A M} = - 3 \vec{M G}$

Do đó phương án C là sai.

• Xét phương án D:

Ta có $2 \vec{A M} = 3 \vec{A G}$ (chứng minh khi xét phương án B)

Do đó phương án D là sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.48 trang 68 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 1), B(2; −1), C(4; 6). Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là

A. (1; 2);

B. (2; 1);

C. (1; –2);

D. (–2; 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 1), B(2; −1), C(4; 6)

$\Rightarrow$ G(1; 2)

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4.49 trang 68 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 3), B(5; −2) và G(2; 2). Toạ độ của điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC là

A. (5; 4);

B. (4; 5);

C. (4; 3);

D. (3; 5).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 3), B(5; −2) và G(2; 2)

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.50 trang 68 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a. Tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A C}$ bằng:

A. a² $\sqrt{2};$

B. $\frac{a^{2}}{\sqrt{2}};$

C. a²;

D. $\frac{a^{2}}{2} .$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD là hình vuông nên $∆$ ABC vuông cân tại B

Do đó:

• $\hat{B A C} = 45 °$

• AC = $\sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ (theo định lí Pythagore)

Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C}$ = AB.AC.cos $\hat{B A C}$

= a.a. $\sqrt{2}$ .cos45°

= a.a $\sqrt{2}$ . $\frac{\sqrt{2}}{2}$

= a².

Do đó $\vec{A B} . \vec{A C}$ = a².

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.51 trang 68 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ cùng khác $\vec{0} .$

Cho hai vectơ a và b cùng khác vecto 0

A. $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương;

B. $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng;

C. $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng;

D. $\vec{a} ⊥ \vec{b .}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Cho hai vectơ a và b cùng khác vecto 0

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.52 trang 68 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ cùng khác $\vec{0} .$

Bài 4.52 trang 68 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

A. $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương;

B. $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng;

C. $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng;

D. $\vec{a} ⊥ \vec{b .}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

$\Leftrightarrow c o s (\vec{a}, \vec{b}) = - 1$

$\Leftrightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 180 °$

$\Leftrightarrow \vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.53 trang 68 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và $\hat{A B C} = 60 ° .$ Tích vô hướng $\vec{B C} . \vec{C A}$ bằng

A. $\sqrt{3};$

B. $- \sqrt{3};$

C. 3;

D. –3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\vec{B C} . \vec{C A}$ = BC.CA.cos $(\vec{B C}, \vec{C A})$

Kéo dài tia BC ta được tia Cx

Khi đó: $(\vec{B C}, \vec{C A}) = \hat{A C x}$

Tam giác ABC có AB = 1, BC = 2

Nên AB = $\frac{1}{2}$ BC

Lại có $\hat{A B C} = 60 ° .$

Do đó $∆$ ABC vuông tại A.

Suy ra:

• AC = $\sqrt{B C^{2} - A B^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$

• $\hat{A C B} = 90 ° - \hat{A B C} = 90 ° - 60 ° = 30 °$

Mà $\hat{A C x} = 180 ° - \hat{A C B}$ (do hai góc $\hat{A C x}$ và $\hat{A C B}$ kề bù)

$\Rightarrow \hat{A C x} = 180 ° - 30 ° = 150 °$

Do đó $\vec{B C} . \vec{C A}$ = BC.CA.cos $\hat{A C x}$

= 2. $\sqrt{3}$ .cos150°

= 2. $\sqrt{3} . \frac{- \sqrt{3}}{2}$

= –3.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 4.54 trang 69 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1). Tất cả các giá trị của tham số m sao cho AB ⊥ OC là

A. m = –2;

B. m = 2;

C. m = ±2;

D. m = 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Với A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1) ta có:

và

Để AB ⊥ OC thì $\vec{A B} ⊥ \vec{O C}$

$\Leftrightarrow$ −3.3m + 6.(2m – 1) = 0

$\Leftrightarrow$ −9m + 12m – 6 = 0

$\Leftrightarrow$ 3m = 6

$\Leftrightarrow$ m = 2.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.55 trang 69 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 1, AC = 2. Lấy M, N, P tương ứng thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho 2BM = MC, CN = 2NA, AP = 2PB. Giá trị của tích vô hướng $\vec{A M} . \vec{N P}$ bằng

A. $\frac{2}{3};$

B. $- \frac{1}{2};$

C. 0;

D. 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có:

• 2BM = MC $\Rightarrow$ $\frac{M C}{M B} = \frac{2}{1}$

• CN = 2NA $\Rightarrow$ $\frac{C N}{N A} = \frac{2}{1}$

• AP = 2PB $\Rightarrow$ $\frac{A P}{P B} = \frac{2}{1}$

$\Rightarrow \frac{M C}{M B} = \frac{C N}{N A} = \frac{A P}{P B} (= \frac{2}{1})$

$\Rightarrow$ MN // AB và PM // AC (định lí Talet đảo)

$\Rightarrow$ ANMP là hình bình hành

Mặt khác:

• $\frac{C N}{N A} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{C N}{N A + C N} = \frac{2}{1 + 2}$

$\Rightarrow$ $\frac{C N}{C A} = \frac{2}{3}$

• MN // AB $\Rightarrow$ $\frac{M N}{A B} = \frac{C N}{C A} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow$ MN = $\frac{2}{3}$ .AB = $\frac{2}{3}$ .1 = $\frac{2}{3} .$

• $\frac{C N}{C A} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow$ CN = $\frac{2}{3} .$ CA = $\frac{2}{3}$ .2 = $\frac{4}{3} .$

$\Rightarrow$ AN = CA – CN = 2 – $\frac{4}{3}$

$\Rightarrow$ AN = $\frac{2}{3} .$

Do đó MN = AN = $\frac{2}{3} .$

Hình bình hành ANMP có MN = AN nên là hình thoi

Khi đó hai đường chéo AM và PN vuông góc với nhau

$\Rightarrow \vec{A M} ⊥ \vec{N P}$ $\Rightarrow \vec{A M} . \vec{N P} = 0.$

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.56 trang 69 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = 2MC, CN = 2NA và AM ⊥ NP. Tỉ số của $\frac{A P}{A B}$ bằng

A. $\frac{5}{12};$

B. $\frac{7}{12};$

C. $\frac{5}{7};$

D. $\frac{7}{5} .$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Giả sử $\frac{A P}{A B} = x$ (x > 0)

Ta có:

• Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C

$\Rightarrow \frac{B M}{M C} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{B M}{B M + M C} = \frac{2}{2 + 1}$

Hay $\frac{B M}{B C} = \frac{2}{3} \Rightarrow B M = \frac{2}{3} B C$

Do đó $\vec{B M} = \frac{2}{3} \vec{B C}$

Tương tự ta cũng có $\vec{A P} = x \vec{A B}$ và $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{A C .}$

• $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M}$

$= \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{B C}$

$= \vec{A B} + \frac{2}{3} (\vec{A C} - \vec{A B})$

$= \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C} - \frac{2}{3} \vec{A B}$

$= \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

• $\vec{N P} = \vec{A P} - \vec{A N} = \vec{A P} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

$= x . \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

Mặt khác ta có: AM ⊥ NP

$\Leftrightarrow \vec{A M} ⊥ \vec{N P}$

$\Leftrightarrow \vec{A M} . \vec{N P} = 0$

$\Leftrightarrow (\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}) (x . \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3} x . A B^{2} - \frac{1}{9} . \vec{A B} . \vec{A C} + \frac{2}{3} x \vec{A B} . \vec{A C} - \frac{2}{9} . A C^{2} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3} x . A B^{2} - \frac{1}{9} . \vec{A B} . \vec{A C} + \frac{2}{3} x \vec{A B} . \vec{A C} - \frac{2}{9} . A C^{2} = 0$ (1)

Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 1 nên AB = AC = BC = 1 và $\hat{B A C} = 60 ° .$

Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c o s \hat{B A C}$

= 1.1.cos60° = $\frac{1}{2} .$

Khi đó:

(1) $\Leftrightarrow \frac{1}{3} . x {.1}^{2} - \frac{1}{9} . \frac{1}{2} + \frac{2}{3} . x . \frac{1}{2} - \frac{2}{9} {.1}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3} x = \frac{5}{18}$

$\Leftrightarrow x = \frac{5}{18} : \frac{2}{3} = \frac{5}{12}$ (thỏa mãn)

Vậy $\frac{A P}{A B} = \frac{5}{12} .$

Ta chọn phương án A.

Bài 4.57 trang 69 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{M A}$ và $\vec{M C}$ bằng

A. $\frac{a^{2}}{2};$

B. $- \frac{a^{2}}{2};$

C. a²;

D. –a².

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C

$\Rightarrow \frac{B M}{M C} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{B M}{B M + M C} = \frac{2}{2 + 1}$

Hay $\frac{B M}{B C} = \frac{2}{3} \Rightarrow B M = \frac{2}{3} B C$

Do đó $\vec{B M} = \frac{2}{3} \vec{B C}$

Tương tự ta có $\vec{M C} = \frac{1}{3} \vec{B C} .$

• $\vec{M A} = \vec{B A} - \vec{B M} = - \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{B C}$

$= - \vec{A B} - \frac{2}{3} (\vec{A C} - \vec{A B})$

$= - \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C} + \frac{2}{3} \vec{A B}$

$= - \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$

• $\vec{M C} = \frac{1}{3} \vec{B C} = \frac{1}{3} (\vec{A C} - \vec{A B})$

$= \frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A B}$

• Khi đó:

$\vec{M A} . \vec{M C} = (- \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}) . (\frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A B})$

$= - \frac{1}{9} \vec{A B} . \vec{A C} + \frac{1}{9} A B^{2} - \frac{2}{9} A C^{2} + \frac{2}{9} \vec{A B} . \vec{A C}$

$= \frac{1}{9} \vec{A B} . \vec{A C} + \frac{1}{9} A B^{2} - \frac{2}{9} A C^{2}$

• Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3a nên AB = AC = BC = 3a và $\hat{B A C} = 60 ° .$

Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c o s \hat{B A C}$

= 3a.3a.cos60° = $\frac{9}{2} a^{2} .$

Do đó $\vec{M A} . \vec{M C} = \frac{1}{9} \vec{A B} . \vec{A C} + \frac{1}{9} A B^{2} - \frac{2}{9} A B^{2}$

$= \frac{1}{9} \vec{A B} . \vec{A C} - \frac{1}{9} A B^{2}$

$= \frac{1}{9} . \frac{9}{2} a^{2} - \frac{1}{9} . {(3 a)}^{2}$

= $\frac{1}{2}$ a² – a² = $- \frac{1}{2}$ a².

Vậy $\vec{M A} . \vec{M C} =$ $- \frac{1}{2}$ a².

Ta chọn phương án B.

Bài 4.58 trang 69 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC trang 69 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

A. đường tròn tâm A bán kính BC.

B. đường thẳng đi qua A và song song với BC.

C. đường tròn đường kính BC.

D. đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có:

• $\vec{M C} - \vec{M B} = \vec{B C}$

• $\vec{M C} - \vec{A C} = \vec{M C} + \vec{C A} = \vec{M A}$

Cho tam giác ABC trang 69 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Do đó tập hợp điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là đường tròn tâm A bán kính BC (như hình vẽ trên).

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4.59 trang 69 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác vecto 0 có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.

a) Hãy chỉ ra những vectơ bằng vectơ $\vec{A B};$ những vectơ cùng hướng với $\vec{A B} .$

b) Chứng minh rằng BI = IJ = JD.

Lời giải:

a) ABCD là hình bình hành có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD

Nên MN là đường trung bình của hình bình hành

$\Rightarrow$ MN // AB // DC và MN = AB = DC.

$\Rightarrow$ $\vec{A B} = \vec{D C} = \vec{M N}$

Vậy những vectơ bằng vectơ $\vec{A B}$ là: $\vec{A B}; \vec{D C}; \vec{M N} .$

Lại có O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD

Do đó NO là đường trung bình của DADC

$\Rightarrow$ NO // DC

Chứng minh tương tự ta cũng có OM // DC

Do đó ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Vậy những vectơ cùng hướng với $\vec{A B}$ là: $\vec{A B}, \vec{N O}, \vec{O M}, \vec{N M}, \vec{D C .}$

b) Xét tam giác ABC có: AM, BO là hai đường trung tuyến của tam giác

Mà AM cắt BO tại I

Do đó I là trọng tâm của DABC.

$\Rightarrow B I = \frac{2}{3} B O$ và $O I = \frac{1}{2} B I$ (tính chất trọng tâm) (1)

Tương tự ta cũng có J là trọng tâm của DADC.

$\Rightarrow D J = \frac{2}{3} D O$ và $O J = \frac{1}{2} D J$ (tính chất trọng tâm) (2)

Mặt khác BO = DO (do O là trung điểm của BD) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: BI = DJ và OI = OJ = $\frac{1}{2}$ BI = $\frac{1}{2}$ DJ

Mà IJ = IO + OJ = $\frac{1}{2}$ BI + $\frac{1}{2}$ BI = BI = DJ

Vậy BI = IJ = JD.

Bài 4.60 trang 70 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm M, N không trùng với B và C sao cho BM = MN =NC.

a) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và AMN có cùng trọng tâm.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Đặt $\vec{G B} = \vec{u}$ và $\vec{G C} = \vec{v} .$ Hãy biểu thị các vectơ sau qua hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v} :$ $\vec{G A}, \vec{G M}, \vec{G N} .$

Lời giải:

a) Giả sử G, G' lần lượt là trọng tâm của DABC, DAMN.

Sử dụng kết quả của Ví dụ 3, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một) ta có: $\vec{AA} + \vec{B M} + \vec{C N} = 3 \vec{G G^{'}}$

$\Rightarrow \vec{B M} + \vec{C N} = 3 \vec{G G^{'}}$

Mặt khác: M, N lần lượt lấy theo thứ tự trên cạnh BC sao cho BM = MN = NC nên ta có: $\vec{B M} = \vec{M N} = \vec{N C}$

$\Rightarrow \vec{B M} = - \vec{C N} \Rightarrow \vec{B M} + \vec{C N} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{B M} + \vec{C N} = 3 \vec{G G^{'}} = \vec{0}$

Suy ra điểm G và G' trùng nhau.

Do đó hai tam giác ABC và AMN có cùng trọng tâm.

b) • Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{G A} = - \vec{G B} - \vec{G C}$

$\Rightarrow \vec{G A} = - \vec{u} - \vec{v}$

• Từ BM = MN = NC suy ra $\vec{M C} = - 2 \vec{M B}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm G ta có:

$\vec{G C} - (- 2) \vec{G B} = (1 - (- 2)) \vec{G M}$

$\Rightarrow 3 \vec{G M} = \vec{G C} + 2 \vec{G B}$

$\Rightarrow \vec{G M} = \frac{2}{3} \vec{G B} + \frac{1}{3} \vec{G C} = \frac{2}{3} \vec{u} + \frac{1}{3} \vec{v}$

Tương tự ta cũng có: $\vec{G N} = \frac{1}{3} \vec{u} + \frac{2}{3} \vec{v}$

Bài 4.61 trang 70 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và $\hat{C A B} = 60 ° .$

a) Tính tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A B} . \vec{B C} .$

b) Lấy các điểm M, N thoả mãn $2 \vec{A M} + 3 \vec{M C} = \vec{0}$ và $\vec{N B} + x \vec{N C} = \vec{0}$ (x ≠ –1). Xác định x sao cho AN vuông góc với BM.

Lời giải:

a) Ta có:

• $\vec{A B} . \vec{A C}$ = AB. AC.cos $\hat{B A C}$ = 4.5.cos60° = 10.

• $\vec{A B} . \vec{B C} = \vec{A B} . (\vec{A C} - \vec{A B})$

= $\vec{A B} . \vec{A C}$ – AB²

= 10 – 4²

= 10 – 16

= –6

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C} = 10,$ $\vec{A B} . \vec{B C} = - 6.$

b) Ta có

• $2 \vec{A M} + 3 \vec{M C} = \vec{0}$

$\Rightarrow 2 (\vec{B M} - \vec{B A}) + 3 (\vec{B C} - \vec{B M}) = \vec{0}$

$\Rightarrow 2 \vec{B M} - 2 \vec{B A} + 3 \vec{B C} - 3 \vec{B M} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{B M} = - 2 \vec{B A} + 3 \vec{B C}$

$= 2 \vec{A B} + 3 (\vec{A C} - \vec{A B})$

$= 2 \vec{A B} + 3 \vec{A C} - 3 \vec{A B}$

$= 3 \vec{A C} - \vec{A B}$

• $\vec{N B} + x \vec{N C} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{A B} - \vec{A N} + x (\vec{A C} - \vec{A N}) = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{A B} - \vec{A N} + x \vec{A C} - x \vec{A N} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{A B} + x \vec{A C} - (1 + x) \vec{A N} = \vec{0}$

$\Rightarrow (1 + x) \vec{A N} = \vec{A B} + x \vec{A C}$

Do đó:

$(1 + x) \vec{A N} . \vec{B M} = (\vec{A B} + x \vec{A C}) . (3 \vec{A C} - \vec{A B})$

$= 3 \vec{A B} . \vec{A C} - A B^{2} + 3 x A C^{2} - x \vec{A B} . \vec{A C}$

$= (3 - x) \vec{A B} . \vec{A C} - A B^{2} + 3 x A C^{2}$

= (3 – x).10 – 4² + 3x.5²

= 30 – 10x – 16 + 75x

= 65x + 14

Để AN ⊥ BM thì $\vec{A N} . \vec{B M} = 0$

$\Leftrightarrow (1 + x) \vec{A N} . \vec{B M} = 0$ (với x ≠ –1)

$\Leftrightarrow$ 65x + 14 = 0

$\Leftrightarrow$ x = $- \frac{14}{65}$

Vậy với x = $- \frac{14}{65}$ thì AN ⊥ BM.

Bài 4.62 trang 70 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD. Lấy P thuộc đoạn DM và Q thuộc đoạn BN sao cho DP = 2PM, BQ = xQN. Đặt $\vec{A B} = \vec{u}$ và $\vec{A D} = \vec{v} .$

a) Hãy biểu thị các vectơ $\vec{A P}, \vec{A Q}$ qua hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v} .$

b) Tìm x đề A, P, Q thằng hàng.

Lời giải:

• Vì P thuộc đoạn DM sao cho DP = 2PM

Nên $\vec{P D} = - 2 \vec{P M}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

$\vec{A D} - (- 2) \vec{A M} = (1 - (- 2)) \vec{A P}$

$\Rightarrow 3 \vec{A P} = \vec{A D} + 3 \vec{A M}$

$\Rightarrow \vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A D} + \vec{A M}$

$\Rightarrow \vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ (vì M là trung điểm của AB)

$\Rightarrow \vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{v} + \frac{1}{2} \vec{u}$

• Vì Q thuộc đoạn BN sao cho BQ = xQN

$\Rightarrow \vec{Q B} = - x \vec{Q N}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

$\vec{A B} - (- x) \vec{A N} = (1 - (- x)) \vec{A Q}$

$\Rightarrow (1 + x) \vec{A Q} = \vec{A B} + x \vec{A N}$

$= \vec{A B} + x (\vec{A D} + \vec{D N})$

$= \vec{A B} + x \vec{A D} + x \vec{D N}$

$= \vec{A B} + x \vec{A D} + x . \frac{1}{2} \vec{D C}$ (vì N là trung điểm của CD)

$= \vec{A B} + x \vec{A D} + \frac{1}{2} x \vec{A B}$ (vì $\vec{D C} = \vec{A B}$ )

$= (1 + \frac{1}{2} x) \vec{A B} + x \vec{A D}$

$\Rightarrow (1 + x) \vec{A Q} = \frac{x + 2}{2} \vec{u} + x \vec{v}$

$\Rightarrow \vec{A Q} = \frac{x + 2}{2 (x + 1)} \vec{u} + \frac{x}{x + 1} \vec{v}$ (do x ≠ −1)

b) Với $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{v} + \frac{1}{2} \vec{u}$ và $\vec{A Q} = \frac{x + 2}{2 (x + 1)} \vec{u} + \frac{x}{x + 1} \vec{v}$

Để A, P, Q thẳng hàng thì hai vectơ $\vec{A P}$ và $\vec{A Q}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{\frac{x + 2}{2 (x + 1)}}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{1}{3}}$ $\Leftrightarrow \frac{x + 2}{2 (x + 1)} = \frac{x}{x + 1}$

$\Leftrightarrow \frac{x + 2}{2 (x + 1)} = \frac{x}{x + 1}$

$\Rightarrow$ x + 2 = 2x

$\Rightarrow$ x = 2 (thỏa mãn x ≠ –1)

Vậy x = 2 thì ba điểm A, P, Q thẳng hàng.

Bài 4.63 trang 70 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Lấy điểm A', B' sao cho Gọi G' là trọng tâm của tam giác A'B'C. Chứng minh rằng GG' song song với AB.

Lời giải:

Theo kết quả của Ví dụ 3, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một) ta có:

$\vec{A A'} + \vec{B B^{'}} + \vec{C C} = 3 \vec{G G^{'}}$

$\Rightarrow \vec{A A'} + \vec{B B^{'}} = 3 \vec{G G^{'}}$

$\Rightarrow 2 \vec{B C} + 2 \vec{C A} = 3 \vec{G G^{'}}$

$\Rightarrow 2 (\vec{B C} + \vec{C A}) = 3 \vec{G G^{'}}$

$\Rightarrow 2 \vec{B A} = 3 \vec{G G^{'}}$

$\Rightarrow \vec{G G^{'}} = \frac{2}{3} \vec{B A}$

Do đó $\vec{G G^{'}}$ cùng phương với $\vec{B A}$

Suy ra GG' // AB (do G và G' không nằm trên đường thẳng AB)

Bài 4.64 trang 70 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, CD. Gọi K, L, M, N lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE.

a) Chứng minh rằng tứ giác KLMN là một hình bình hành.

b) Gọi I là giao điểm của KM, LN. Chứng minh rằng E, I, F thẳng hàng.

Lời giải:

• Vì E là trung điểm của AB nên $\vec{A E} = \vec{E B}$

F là trung điểm của CD nên $\vec{F C} = \vec{D F} .$

• Vì K là trung điểm của AF, L là trung điểm của CE, theo kết quả của Bài tập 4.12, trang 58, Toán 10, Tập một, ta có:

$2 \vec{K L} = \vec{A E} + \vec{F C} = \vec{E B} + \vec{D F}$

Tương tự:

M là trung điểm của BF, N là trung điểm của DE, nên ta có:

$\vec{E B} + \vec{D F} = 2 \vec{N M}$

Do đó $2 \vec{K L} = 2 \vec{N M}$

$\Rightarrow \vec{K L} = \vec{N M}$

$\Rightarrow$ KL = NM và KL // NM

$\Rightarrow$ KLMN là một hình bình hành.

b) Do KLMN là hình bình hành

Mà I là giao điểm của KM, LN nên I là trung điểm chung của KM, LN.

Khi đó ta có:

$2 \vec{E I} = \vec{E N} + \vec{E L} = \frac{1}{2} \vec{E D} + \frac{1}{2} \vec{E C}$

$= \frac{1}{2} (\vec{E D} + \vec{E C}) = \frac{1}{2} . \vec{E F}$ (do F là trung điểm của DC)

Do đó $2 \vec{E I} = \frac{1}{2} . \vec{E F}$

$\Rightarrow \vec{E I} = \frac{1}{4} . \vec{E F}$

Suy ra hai vectơ $\vec{E I}$ và $\vec{E F}$ cùng phương

Do đó E, I, F thẳng hàng.

Bài 4.65 trang 70 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thang vuông ABCD có $\hat{D A B} = \hat{A B C} = 90 °,$ BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.

a) Hãy biểu thị các vectơ $\vec{C M}, \vec{C M}$ theo hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A D} .$

b) Gọi N là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác MCD, và I là điểm thuộc cạnh CD sao cho 9IC = 5ID. Chứng minh rằng A, G, I thẳng hàng.

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AI và BI.

Lời giải:

a) Vì M là trung điểm của AB nên $\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{B A} = - \frac{1}{2} \vec{A B}$

Gọi E là hình chiếu của C trên AD. Khi đó $\hat{C E A} = 90 °$

Tứ giác ABCE có $\hat{D A B} = \hat{A B C} = \hat{C E A} = 90 °$ nên là hình chữ nhật

$\Rightarrow$ EA = CB = 1

Mà AD = 3 do đó AE = $\frac{1}{3}$ AD

$\Rightarrow \vec{E A} = \frac{1}{3} \vec{D A} = - \frac{1}{3} \vec{A D}$

Mà $\vec{C B} = \vec{E A}$ (do ABCE là hình chữ nhật)

$\Rightarrow \vec{C B} = - \frac{1}{3} \vec{A D}$

$\Rightarrow \vec{C M} = \vec{C B} + \vec{B M} = - \frac{1}{3} \vec{A D} - \frac{1}{2} \vec{A B}$

• Ta có: $\vec{C D} = \vec{C E} + \vec{E D}$

Mà $\vec{C E} = \vec{B A}$ (do ABCE là hình chữ nhật)

Và $\vec{E D} = \frac{2}{3} \vec{A D}$

$\Rightarrow \vec{C D} = \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{A D} = - \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$

Vậy $\vec{C M} = - \frac{1}{3} \vec{A D} - \frac{1}{2} \vec{A B}$ và $\vec{C D} = - \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D} .$

b) Vì G là trọng tâm của tam giác MCD nên ta có:

$\vec{A M} + \vec{A C} + \vec{A D} = 3 \vec{A G}$

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành

Do đó $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A E}$

$\Rightarrow 3 \vec{A G} = \vec{A M} + (\vec{A B} + \vec{A E}) + \vec{A D}$

$= \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D} + \vec{A D}$ (do $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A D}$ )

$= \frac{3}{2} \vec{A B} + \frac{4}{3} \vec{A D}$

Vì I thuộc cạnh CD nên hai vectơ $\vec{I C}$ và $\vec{I D}$ ngược hướng nhau

Lại có 9IC = 5ID nên $9 \vec{I C} = - 5 \vec{I D}$ hay $\vec{I C} = - \frac{5}{9} \vec{I D}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

$\vec{A C} - (- \frac{5}{9}) \vec{A D} = (1 - (- \frac{5}{9})) \vec{A I}$

$\Rightarrow \vec{A C} + \frac{5}{9} \vec{A D} = (1 + \frac{5}{9}) \vec{A I}$

$\Rightarrow \vec{A C} + \frac{5}{9} \vec{A D} = \frac{14}{9} \vec{A I}$

$\Rightarrow 14 \vec{A I} = 9 \vec{A C} + 5 \vec{A D}$

$\Rightarrow 14 \vec{A I} = 9 (\vec{A B} + \vec{A E}) + 5 \vec{A D}$

$\Rightarrow 14 \vec{A I} = 9 \vec{A B} + 9 \vec{A E} + 5 \vec{A D}$

$\Rightarrow 14 \vec{A I} = 9 \vec{A B} + 9. \frac{1}{3} \vec{A D} + 5 \vec{A D}$

$\Rightarrow 14 \vec{A I} = 9 \vec{A B} + 8 \vec{A D}$

$\Rightarrow 14 \vec{A I} = 6 (\frac{3}{2} \vec{A B} + \frac{4}{3} \vec{A D})$

$\Rightarrow 14 \vec{A I} = 6.3 \vec{A G}$ (do $3 \vec{A G} = \frac{3}{2} \vec{A B} + \frac{4}{3} \vec{A D}$ )

$\Rightarrow 14 \vec{A I} = 18 \vec{A G}$

$\Rightarrow \vec{A I} = \frac{9}{7} \vec{A G}$

Do đó hai vectơ $\vec{A I}$ và $\vec{A G}$ cùng phương

Suy ra ba điểm A, I, G thẳng hàng.

c) • Theo câu a ta có $14 \vec{A I} = 9 \vec{A B} + 8 \vec{A D}$

$\Rightarrow {(14 \vec{A I})}^{2} = {(9 \vec{A B} + 8 \vec{A D})}^{2}$

$\Rightarrow 196 A I^{2} = 81 A B^{2} + 2. (9 \vec{A B}) . (8 \vec{A D}) + 64 A D^{2}$

Mà AB ⊥ AD nên $\vec{A B} . \vec{A D} = 0$

Do đó ta có: 196AI² = 81AB² + 64AD²

$\Rightarrow$ 196AI² = 81.2² + 64.3² = 900

$\Rightarrow$ AI² = $\frac{225}{49}$

$\Rightarrow$ AI = $\frac{15}{7} .$

• Ta có: $14 \vec{A I} = 9 \vec{A B} + 8 \vec{A D} \Rightarrow \vec{A I} = \frac{9}{14} \vec{A B} + \frac{4}{7} \vec{A D}$

$\Rightarrow$ $\vec{B I} = \vec{A I} - \vec{A B} = \frac{9}{14} \vec{A B} + \frac{4}{7} \vec{A D} - \vec{A B}$

$\Rightarrow \vec{B I} = - \frac{5}{14} \vec{A B} + \frac{4}{7} \vec{A D}$

$\Rightarrow {(\vec{B I})}^{2} = {(- \frac{5}{14} \vec{A B} + \frac{4}{7} \vec{A D})}^{2}$

$\Rightarrow B I^{2} = \frac{25}{196} A B^{2} - 2. \frac{5}{14} \vec{A B} . \frac{4}{7} \vec{A D} + \frac{16}{49} A D^{2}$

$\Rightarrow B I^{2} = \frac{25}{196} A B^{2} + \frac{16}{49} A D^{2}$ (do $\vec{A B} . \vec{A D} = 0$ )

$\Rightarrow B I^{2} = \frac{25}{196} {.2}^{2} + \frac{16}{49} {.3}^{2} = \frac{169}{49}$

$\Rightarrow$ BI = $\frac{13}{7} .$

Vậy AI = $\frac{15}{7}$ và BI = $\frac{13}{7} .$

Bài 4.66 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng. Chứng minh rằng $\vec{A B} . \vec{C D} + \vec{B C} . \vec{A D} + \vec{C A} . \vec{B D} = 0.$

Lời giải:

Ta có:

• $\vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D}$

• $\vec{C A} = \vec{B A} - \vec{B C} = - \vec{A B} - \vec{B C}$

• $\vec{B D} = \vec{B C} + \vec{C D}$

Suy ra: $\vec{A B} . \vec{C D} + \vec{B C} . \vec{A D} + \vec{C A} . \vec{B D}$

$= \vec{A B} . \vec{C D} + \vec{B C} . (\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D}) + (- \vec{A B} - \vec{B C}) . (\vec{B C} + \vec{C D})$

$= \vec{A B} . \vec{C D} + \vec{B C} . \vec{A B} + {\vec{B C}}^{2} + \vec{B C} . \vec{C D} - \vec{A B} . \vec{B C} - \vec{A B} . \vec{C D} - {\vec{B C}}^{2} - \vec{B C} . \vec{C D}$

= 0.

Vậy $\vec{A B} . \vec{C D} + \vec{B C} . \vec{A D} + \vec{C A} . \vec{B D} = 0.$

Bài 4.67 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ $\vec{a}$ = (1; 2), $\vec{b}$ = (3; –4), $\vec{c}$ = (–5; 3).

a) Tính các tích vô hướng $\vec{a} . \vec{b}, \vec{b} . \vec{c}, \vec{c} . \vec{a} .$

b) Tìm góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b} + \vec{c} .$

Lời giải:

a) Với $\vec{a}$ = (1; 2), $\vec{b}$ = (3; –4) và $\vec{c}$ = (–5; 3) ta có:

• $\vec{a} . \vec{b}$ = 1.3 + 2.(–4) = 3 – 8 = –5;

• $\vec{b} . \vec{c}$ = 3.(–5) + (–4).3 = –15 – 12 = –27;

• $\vec{c} . \vec{a}$ = (–5).1 + 3.2 = –5 + 6 = 1.

b) Với $\vec{a}$ = (1; 2), $\vec{b}$ = (3; –4) và $\vec{c}$ = (–5; 3) ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ

• $\vec{b} + \vec{c}$ = (–2; –1)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ

• $\vec{a} . (\vec{b} + \vec{c})$ = 1.(–2) + 2.(–1) = –2 – 2 = –4.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b} + \vec{c}) \approx 143 ° 7^{'} 4 {8^{'}}^{'}$

Vậy góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b} + \vec{c}$ khoảng 143°7'48''.

Bài 4.68 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Với A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2) ta có:

$\vec{A B}$ = (3; 3) và $\vec{A C}$ = (7; –3)

Vì $\frac{3}{7} \neq \frac{3}{- 3} = - 1$ nên hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ không cùng phương

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G (\frac{4}{3}; 1)$ .

b) *Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC

Hay $\vec{A H} . \vec{B C} = 0$ và $\vec{B H} . \vec{A C} = 0$

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2) và H(x; y) ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm

Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: 5x = 2

$\Rightarrow$ x = $\frac{2}{5}$

Thay x = $\frac{2}{5}$ vào (1) ta được: 2. $\frac{2}{5}$ – 3y = –7

$\Rightarrow$ 3y = $\frac{39}{5}$

$\Rightarrow$ y = $\frac{13}{5}$

$\Rightarrow$ $H (\frac{2}{5}; \frac{13}{5}) .$

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là $H (\frac{2}{5}; \frac{13}{5}) .$

* Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

Theo kết quả phần a) của Bài 4.15, trang 54, Sách Bài tập, Toán 10, tập một ta có: $\vec{A H} = 2 \vec{I M}$

với M là trung điểm của BC.

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2), $H (\frac{2}{5}; \frac{13}{5})$ và I(a; b) ta có:

• $\vec{A H} = (\frac{12}{5}; \frac{8}{5})$

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm

$\Rightarrow$ M(3; 1)

$\Rightarrow \vec{I M}$ = (3 – a; 1 – b)

$\Rightarrow 2 \vec{I M}$ = (6 – 2a; 2 – 2b)

Ta có $\vec{A H} = 2 \vec{I M}$

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $I (\frac{9}{5}; \frac{1}{5}) .$

Bài 4.69 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9).

a) Tìm điểm D thuộc trục hoành sao cho B, C, D thẳng hàng.

b) Tìm điểm E thuộc trục hoành sao cho EA + EB nhỏ nhất.

c) Tìm điểm F thuộc trục tung sao cho vectơ $\vec{F A} + \vec{F B} + \vec{F C}$ có độ dài ngắn nhất.

Lời giải:

a) Giả sử D(a; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với B(5; 3), C(–2; 9) và D(a; 0) ta có:

• $\vec{B C}$ = (–7; 6)

• $\vec{B D}$ = (a – 5; –3)

Vì ba điểm B, C, D thẳng hàng nên ta có: $\vec{B C}$ và $\vec{B D}$ là hai vectơ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{a - 5}{- 7} = \frac{- 3}{6}$

$\Leftrightarrow \frac{a - 5}{- 7} = \frac{- 1}{2}$

$\Leftrightarrow$ 2(a – 5) = 7

$\Leftrightarrow$ a – 5 = $\frac{7}{2}$

$\Leftrightarrow$ a = $\frac{17}{2}$

Vậy $D (\frac{17}{2}; 0)$ là điểm cần tìm.

b) Ta có: A(2; −1), B(5; 3) là hai điểm nằm về hai phía của trục hoành

Do đó với mỗi điểm E nằm trên trục hoành ta luôn có EA + EB ≥ AB

Suy ra EA + EB ngắn nhất là bằng AB

Điều này xảy ra khi và chỉ khi E là giao điểm của AB và trục hoành Ox

$\Leftrightarrow$ 3 điểm A, E, B thẳng hàng

$\Leftrightarrow \vec{A B}$ và $\vec{A E}$ là hai vectơ cùng phương

Giả sử E(b; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với A(2; −1), B(5; 3) và E(b; 0) ta có:

• $\vec{A B}$ = (3; 4)

• $\vec{A E}$ = (b – 2; 1)

Khi đó $\vec{A B}$ và $\vec{A E}$ là hai vectơ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{b - 2}{3} = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow$ b – 2 = $\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow$ b = $\frac{11}{4}$

Vậy $E (\frac{11}{4}; 0)$ là điểm cần tìm.

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó với A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9) ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9)

Để vectơ $\vec{F A} + \vec{F B} + \vec{F C}$ có độ dài ngắn nhất thì FG có độ dài ngắn nhất

Mà F là điểm nằm trên trục tung

Do đó F là hình chiếu vuông góc của G lên Oy.

$\Rightarrow$ Hoành độ của F là x = 0 và tung độ của F bằng với tung độ của G là y = $\frac{11}{3}$

Vậy $F (0; \frac{11}{3}) .$

Bài 4.70 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng. Tính công của trọng lực tác động lên xe, biết dốc dài 50 m và nghiêng 15° so với phương nằm ngang (trong tính toán, lấy gia tốc trọng trường bằng 10 m/s²).

Lời giải:

Đổi 2,5 tấn = 2 500 kg.

Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng

Trọng lực $\vec{P}$ của ô tô hợp với hướng chuyển dời $\vec{M N}$ một góc là:

α = 90° + 15° = 105°.

Trọng lực $\vec{P}$ được phân tích thành hai thành phần $\vec{P_{1}}$ và $\vec{P_{2}}$ nên ta có:

$\vec{P} = \vec{P_{1}} + \vec{P_{2}}$

( $\vec{P_{1}}$ có phương vuông góc với mặt dốc, $\vec{P_{2}}$ có phương song song với mặt dốc)

Ta thấy $\vec{P_{1}}$ không có tác dụng với chuyển dời $\vec{M N}$ của xe và $\vec{P_{2}}$ ngược hướng với $\vec{M N}$ .

Do đó công của trọng lực tác động lên xe bằng:

Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng

Vậy công của trọng lực tác động lên xe bằng khoảng –323 524 J.

Từ khóa :

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 6

Toán 6 ( Kết nối tri thức): Luyện tập chung Mai Hương

295

Toán Lớp 6

Bài 5.16 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

316

Toán Lớp 6

Bài 5.15 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

344

Toán Lớp 6

Bài 5.14 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

292