Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, BC = căn 2. Gọi M là trung điểm của AD.

Nguyễn Thanh Huyền Ngày: 23-10-2022 Lớp 10

1.1 K

Với Giải SBT Toán 10 trang 65 Tập 1 trong Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ bài tập Toán lớp 10 Tập 1 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 trang 65.

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, BC = căn 2. Gọi M là trung điểm của AD.

Bài 4.30 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, $B C = \sqrt{2} .$ Gọi M là trung điểm của AD.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau.

b) Gọi H là giao điểm của AC, BM. Gọi N là trung điểm của AH và P là trung điểm của CD. Chứng minh rằng tam giác NBP là một tam giác vuông.

Lời giải:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

Vì AB ⊥ AD nên $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = \vec{0}$

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành nên ta có:

$\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{a} + \vec{b}$ (quy tắc hình bình hành)

M là trung điểm của AD nên $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{b}$

Suy ra $\vec{B M} = \vec{A M} - \vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a}$

Khi đó $\vec{A C} . \vec{B M} = (\vec{a} + \vec{b}) . (\frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a})$

$= \frac{1}{2} \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{b}$

$= \frac{1}{2} \vec{0} - {\vec{a}}^{2} + \frac{1}{2} {\vec{b}}^{2} - \vec{0}$ (do $\vec{a} . \vec{b} = \vec{0}$ )

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

Do đó $\vec{A C} . \vec{B M} = 0 \Leftrightarrow \vec{A C} ⊥ \vec{B M}$

$\Rightarrow$ AC ⊥ BM.

b) • Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:

AC² = AB² + BC² = 1 + ${(\sqrt{2})}^{2}$ = 3

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB² = AH.AC $\Rightarrow A H = \frac{A B^{2}}{A C} = \frac{1^{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow \frac{A H}{A C} = \frac{\sqrt{3}}{3} : \sqrt{3} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \vec{A H} = \frac{1}{3} \vec{A C}$

Khi đó $\vec{H C} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ và $\vec{H A} = - \frac{1}{3} \vec{A C}$

Ta có $\vec{N B} = \vec{N A} + \vec{A B}$ (quy tắc ba điiểm)

Vì N là trung điểm của AH nên $\vec{N A} = \frac{1}{2} \vec{H A}$

$\Rightarrow \vec{N B} = \frac{1}{2} . (- \frac{1}{3} \vec{A C}) + \vec{A B}$

$= - \frac{1}{6} . (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{a}$

$= \frac{5}{6} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b}$

• Có N là trung điểm của HA và P là trung điểm của CD, theo kết quả bài 4.12, trang 58, Sách giáo khoa Toán 10, tập một, ta có:

$\vec{A D} + \vec{H C} = 2 \vec{N P}$ $\Rightarrow \vec{N P} = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{H C})$

$\Rightarrow \vec{N P} = \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{H C}$

$= \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} . \frac{2}{3} \vec{A C}$

$= \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{3} . (\vec{a} + \vec{b})$

$= \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{5}{6} . \vec{b}$

Khi đó $\vec{N B} . \vec{N P} = (\frac{5}{6} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b}) . (\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{5}{6} . \vec{b})$

$= \frac{5}{18} {\vec{a}}^{2} + \frac{25}{36} \vec{a} . \vec{b} - \frac{1}{18} \vec{a} . \vec{b} - \frac{5}{36} {\vec{b}}^{2}$

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

$= \frac{5}{18} {.1}^{2} - \frac{5}{36} . {(\sqrt{2})}^{2}$

$= \frac{5}{18} - \frac{5}{36} .2 = 0$

Do đó $\vec{N B} . \vec{N P} = 0 \Rightarrow \vec{N B} ⊥ \vec{N P}$

$\Rightarrow N B ⊥ N P .$

Xem thêm lời giải vở bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 4.29 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1...

Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:..

Bài 4.32 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ a và b thoả mãn ...

Bài 4.33 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P tương ứng là trung điềm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng Chứng minh rằng ...

Bài 4.34 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3)...

Bài 4.35 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm toạ độ các đỉnh B, D, biết rằng tung độ của B là một số âm...

Bài 4.36 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1)...

Bài 4.37 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1)...

Bài 4.38 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm M, N, P. Nếu một lực không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm, thì các công sinh bởi lực trong hai trường hợp sau có mối quan hệ gì với nhau?...

Từ khóa :

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 6

Toán 6 ( Kết nối tri thức): Luyện tập chung Mai Hương

Toán Lớp 6

Bài 5.16 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

Toán Lớp 6

Bài 5.15 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

Toán Lớp 6

Bài 5.14 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương