Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

Phương Thảo Ngày: 12-02-2023 Lớp 10

846

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

1. GÓC GIỮA HAI VECTO

Câu hỏi trang 66 Toán 10

Hoạt động 1 trang 66 Toán 10: Trong hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ . Hãy tìm số đo các góc giữa $\vec{B C}$ và $\vec{B D}$ , $\vec{D A}$ và $\vec{D B}$ .

Hoạt động 1 trang 66 Toán 10 Tập 1 I Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lời giải:

Hoạt động 1 trang 66 Toán 10 Tập 1 I Kết nối tri thức (ảnh 2)

Góc giữa hai vectơ $\vec{B C}$ và $\vec{B D}$ là góc CBD và số đo $\hat{C B D} = 30^{o}$ .

Góc giữa hai vectơ $\vec{D A}$ và $\vec{D B}$ là góc ADB.

Ta có: $\hat{A C B} = \hat{C B D} + \hat{C D B}$ (tính chất góc ngoài)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \hat{C D B} = 80^{o} - 30^{o} = 50^{o} \\ \Leftrightarrow \hat{A D B} = 50^{o} \end{array}$

Vậy số đo góc giữa hai vectơ $\vec{B C}$ và $\vec{B D}$ , $\vec{D A}$ và $\vec{D B}$ lần lượt là $30^{o}, 50^{o}$

Câu hỏi trang 66 Toán 10: Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng $0^{o}$ , bằng $180^{o} ?$

Phương pháp giải:

Cách xác định góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$

Lấy điểm A bất kì vẽ $\vec{A B} = \vec{u}, \vec{A C} = \vec{v}$ , khi đó $(\vec{u}, \vec{v}) = (\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C}$

Lời giải:

Góc giữa hai vectơ bằng $0^{o}$ nếu chúng cùng hướng

Góc giữa hai vectơ bằng $180^{o}$ nếu chúng ngược hướng

Luyện tập 1 trang 66 Toán 10: Cho tam giác đều ABC. Tính $(\vec{A B}, \vec{B C})$ .

Phương pháp giải:

Lấy D sao cho: $\vec{A D} = \vec{B C}$ .

Khi đó: $(\vec{A B}, \vec{B C}) = (\vec{A B}, \vec{A D}) = \hat{B A D}$

Lời giải:

Luyện tập 1 trang 66 Toán 10 Tập 1 I Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lấy điểm D sao cho: $\vec{A D} = \vec{B C}$

Khi đó ta có: $(\vec{A B}, \vec{B C}) = (\vec{A B}, \vec{A D}) = \hat{B A D}$

Dễ thấy ABCD là hình bình hành (hơn nữa còn là hình thoi) nên $\hat{B A D} = 180^{o} - \hat{A B C} = 120^{o}$

Vậy số đo góc $(\vec{A B}, \vec{B C})$ là $120^{o}$ .

Câu hỏi trang 67 Toán 10

Câu hỏi 1 trang 67 Toán 10: Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương? Là một số âm?

Phương pháp giải:

+) Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ : $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Nhận xét: $\vec{u} . \vec{v}$ cùng dấu với $\cos (\vec{u}, \vec{v})$

Lời giải:

Dễ thấy: $\vec{u} . \vec{v}$ cùng dấu với $\cos (\vec{u}, \vec{v})$ (do $| \vec{u} | . | \vec{v} | > 0$ ). Do đó:

+) $\vec{u} . \vec{v} > 0$ $\Leftrightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) > 0$ hay $0^{o} \leq (\vec{u}, \vec{v}) < 90^{o}$

Câu hỏi 1 trang 67 Toán 10 Tập 1 I Kết nối tri thức (ảnh 1)

+) $\vec{u} . \vec{v} < 0$ $\Leftrightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) < 0$ hay $90^{o} < (\vec{u}, \vec{v}) \leq 180^{o}$

Vậy $\vec{u} . \vec{v} > 0$ nếu $0^{o} \leq (\vec{u}, \vec{v}) < 90^{o}$ và $\vec{u} . \vec{v} < 0$ nếu $90^{o} < (\vec{u}, \vec{v}) \leq 180^{o} .$

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO

Câu hỏi 2 trang 67 Toán 10: Khi nào thì ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {(\vec{u})}^{2} . {(\vec{v})}^{2}$ ?

Phương pháp giải:

+) $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

+) ${\vec{u}}^{2} = {| \vec{u} |}^{2}$ với mọi vectơ $\vec{u}$

Lời giải:

${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {(\vec{u})}^{2} . {(\vec{v})}^{2}$ $\Leftrightarrow {[| \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})]}^{2} = {| \vec{u} |}^{2} . {| \vec{v} |}^{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {[\cos (\vec{u}, \vec{v})]}^{2} = 1 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \\ \cos (\vec{u}, \vec{v}) = - 1 \end{array} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{o} \\ (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{o} \end{array}$

Hay hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ cùng phương.

Vậy hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ cùng phương thì ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {(\vec{u})}^{2} . {(\vec{v})}^{2}$

Luyện tập 2 trang 67 Toán 10: Cho tam giác AB C có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\vec{A B} . \vec{A C}$ theo a,b,c.

Phương pháp giải:

+) Tích vô hướng: $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Lời giải:

Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = | \vec{A B} | . | \vec{A C} | . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

Mà $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C}$ $\Rightarrow \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \cos \hat{B A C}$

Lại có: $\cos \hat{B A C} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ (suy ra từ định lí cosin)

3. BIỂU THỨC TOẠ ĐỌ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Câu hỏi trang 68 Toán 10

Hoạt động 2 trang 68 Toán 10: Cho hai vectơ cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (k x; k y)$ . Hãy kiểm tra công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ theo từng trường hợp sau:

a) $\vec{u} = \vec{0}$

b) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0$

c) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k < 0$

Phương pháp giải:

Tính tích vô hướng bằng công thức: $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Lời giải:

a) Vì $\vec{u} = \vec{0}$ nên $\vec{u}$ vuông góc với mọi $\vec{v}$ .

Như vậy $\vec{u} . \vec{v} = 0$

Mặt khác: $\vec{u} = \vec{0} \Leftrightarrow x = y = 0$

$\Rightarrow k (x^{2} + y^{2}) = 0 = \vec{u} . \vec{v}$

b) Vì $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0$ nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng hướng.

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) = 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{{(k x)}^{2} + {(k y)}^{2}} \\ = \sqrt{x^{2} + y^{2}} . | k | . \sqrt{x^{2} + y^{2}} = k (x^{2} + y^{2}) \end{array}$

(|k|= k do k > 0)

c) Vì $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k < 0$ nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ ngược hướng.

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) = - 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = - | \vec{u} | . | \vec{v} | = - \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{{(k x)}^{2} + {(k y)}^{2}} \\ = - \sqrt{x^{2} + y^{2}} . | k | . \sqrt{x^{2} + y^{2}} = k (x^{2} + y^{2}) . \end{array}$

Hoạt động 3 trang 68 Toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ .

a) Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho $\vec{O A} = \vec{u}, \vec{O B} = \vec{v} .$

b) Tính $A B^{2}, O A^{2}, O B^{2}$ theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\vec{O A} . \vec{O B}$ theo tọa độ của A, B.

Lời giải:

a) Vì $\vec{O A} = \vec{u} = (x; y)$ nên A(x; y).

Tương tự: do $\vec{O B} = \vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ nên B (x’; y’)

b) Ta có: $\vec{O A} = (x; y) \Rightarrow O A^{2} = {| \vec{O A} |}^{2} = x^{2} + y^{2} .$

Và $\vec{O B} = (x^{'}; y^{'}) \Rightarrow O B^{2} = {| \vec{O B} |}^{2} = x^{' 2} + y^{' 2} .$

Lại có: $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (x^{'}; y^{'}) - (x; y) = (x^{'} - x; y^{'} - y)$

$\Rightarrow A B^{2} = {| \vec{A B} |}^{2} = {(x^{'} - x)}^{2} + {(y^{'} - y)}^{2} .$

c) Theo định lí cosin trong tam giác OAB ta có:

$\cos \hat{O} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B}$

Mà $\vec{O A} . \vec{O B} = | \vec{O A} | . | \vec{O B} | . \cos (\vec{O A}, \vec{O B}) = O A . O B . \cos \hat{O}$

$\Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = O A . O B . \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = \frac{x^{2} + y^{2} + x^{' 2} + y^{' 2} - {(x^{'} - x)}^{2} - {(y^{'} - y)}^{2}}{2} \\ \Leftrightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = \frac{- (- 2 x^{'} . x) - (- 2 y^{'} . y)}{2} = x^{'} . x + y^{'} . y \end{array}$

Luyện tập 3 trang 68 Toán 10: Tích vô hướng và góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (0; - 5), \vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$

Phương pháp giải:

Cho $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ , khi đó: $\vec{u} . \vec{v} = x . x^{'} + y . y^{'}$

Lời giải:

Ta có: $\vec{u} = (0; - 5), \vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0. \sqrt{3} + (- 5) .1 = - 5.$

Hoạt động 4 trang 68 Toán 10: Cho ba vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}), \vec{v} = (x_{2}; y_{2}), \vec{w} = (x_{3}; y_{3}) .$

a) Tính $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}), \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ theo tọa độ của các vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} .$

b) So sánh $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w})$ và $\vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$

c) So sánh $\vec{u} . \vec{v}$ và $\vec{v} . \vec{u}$

Phương pháp giải:

Cho $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ , khi đó: $\vec{u} . \vec{v} = x . x^{'} + y . y^{'}$

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}), \vec{v} = (x_{2}; y_{2}), \vec{w} = (x_{3}; y_{3}) .$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{v} + \vec{w} = (x_{2}; y_{2}) + (x_{3}; y_{3}) = (x_{2} + x_{3}; y_{2} + y_{3}) \\ \Rightarrow \vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = x_{1} . (x_{2} + x_{3}) + y_{1} . (y_{2} + y_{3}) \end{array}$

Và: $\vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} = (x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}) + (x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3})$ $= x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3} .$

b) Vì $x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$ $= (x_{1} . x_{2} + x_{1} . x_{3}) + (y_{1} . y_{2} + y_{1} . y_{3})$ $= x_{1} . (x_{2} + x_{3}) + y_{1} . (y_{2} + y_{3})$

Nên $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$

c) Ta có: $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}), \vec{v} = (x_{2}; y_{2})$

$\Rightarrow {\begin{cases} \vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} \\ \vec{v} . \vec{u} = x_{2} . x_{1} + y_{2} . y_{1} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u}$

Câu hỏi trang 70 Toán 10

Luyện tập 4 trang 70 Toán 10: Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Luyện tập 4 trang 70 Toán 10 Tập 1 I Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

a) $\vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0$

b) Lập hệ PT biết $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ .

c) Nếu vectơ $\vec{A B} (x; y)$ thì $| \vec{A B} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Lời giải: Luyện tập 4 trang 70 Toán 10 Tập 1 I Kết nối tri thức (ảnh 2)

a) $A H ⊥ B C$ và $B H ⊥ C A$

$\Rightarrow (\vec{A H}, \vec{B C}) = 90^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{A H}, \vec{B C}) = 0$ . Do đó $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$

Tương tự suy ra $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ .

b) Gọi H có tọa độ (x; y)

$\Rightarrow {\begin{cases} \vec{A H} = (x - (- 1); y - 2) = (x + 1; y - 2) \\ \vec{B H} = (x - 8; y - (- 1)) = (x - 8; y + 1) \end{cases}$

Ta có: $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B C} = (8 - 8; 8 - (- 1)) = (0; 9)$

$(x + 1) .0 + (y - 2) .9 = 0 \Leftrightarrow 9. (y - 2) = 0 \Leftrightarrow y = 2.$

Lại có: $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ và $\vec{C A} = (- 1 - 8; 2 - 8) = (- 9; - 6)$

$\begin{array}{l} (x - 8) . (- 9) + (y + 1) . (- 6) = 0 \\ \Leftrightarrow - 9 x + 72 + 3. (- 6) = 0 \\ \Leftrightarrow - 9 x + 54 = 0 \\ \Leftrightarrow x = 6. \end{array}$

Vậy H có tọa độ (6; 2)

c) Ta có: $\vec{A B} = (8 - (- 1); - 1 - 2) = (9; - 3)$ $\Rightarrow A B = | \vec{A B} | = \sqrt{9^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{10}$

Và $\vec{B C} = (0; 9) \Rightarrow B C = | \vec{B C} | = \sqrt{0^{2} + 9^{2}} = 9$ ;

$\vec{C A} = (- 9; - 6)$ $\Rightarrow A C = | \vec{C A} | = \sqrt{{(- 9)}^{2} + {(- 6)}^{2}} = 3 \sqrt{13} .$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$\cos \hat{A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{{(3 \sqrt{13})}^{2} + {(3 \sqrt{10})}^{2} - {(9)}^{2}}{2.3 \sqrt{13} .3 \sqrt{10}} \approx 0, 614$ $\Rightarrow \hat{A} \approx 52, 125^{o}$

$\cos \hat{B} = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} = \frac{{(9)}^{2} + {(3 \sqrt{10})}^{2} - {(3 \sqrt{13})}^{2}}{2.9.3 \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ $\Rightarrow \hat{B} \approx 71, 565^{o}$

$\Rightarrow \hat{C} \approx 56, 31^{o}$

Vậy tam giác ABC có: $a = 9; b = 3 \sqrt{13}; c = 3 \sqrt{10}$ ; $\hat{A} \approx 52, 125^{o}; \hat{B} \approx 71, 565^{o}; \hat{C} \approx 56, 31^{o} .$

Vận dụng trang 70 Toán 10: Một lực $\vec{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực $\vec{F}$ được phân tích thành hai lực thành phần là $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ $(\vec{F} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}) .$

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực $\vec{F}$ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ .

b) Giả sử các lực thành phần $\vec{F_{1}}$ , $\vec{F_{2}}$ tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực $\vec{F}$ và lực $\vec{F_{1}}$ .

Vận dụng trang 70 Toán 10 Tập 1 I Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Khi lực $\vec{F}$ không đổi tác dụng lên một vật và điểm đặt chuyển dời một đoạn s theo hướng hợp với hướng của lực góc α thì công sinh bởi lực đó là: $A = F . s . \cos α$

Lời giải:

Vận dụng trang 70 Toán 10 Tập 1 I Kết nối tri thức (ảnh 2)

Gọi $A, A_{1}, A_{2}$ lần lượt là công sinh bởi lực $\vec{F}$ , $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ .

Ta cần chứng minh: $A = A_{1} + A_{2}$

Xét lực $\vec{F}$ , công sinh bởi lực $\vec{F}$ là: $A = | \vec{F} | . A B . \cos (\vec{F}, \vec{A B}) = \vec{F} . \vec{A B}$

Tương tự, ta có: $A_{1} = \vec{F_{1}} . \vec{A B}$ , $A_{2} = \vec{F_{2}} . \vec{A B}$

Áp dụng tính chất của tích vô hướng ta có:

$A_{1} + A_{2} = \vec{F_{1}} . \vec{A B} + \vec{F_{2}} . \vec{A B} = (\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}) . \vec{A B} = \vec{F} . \vec{A B} = A$

Vận dụng trang 70 Toán 10 Tập 1 I Kết nối tri thức (ảnh 3)

Vì $\vec{F_{2}}$ tương ứng vuông góc với phương chuyển động nên $\vec{F_{2}} ⊥ \vec{A B}$

Do đó: công sinh bởi lực $\vec{F_{2}}$ là: $A_{2} = \vec{F_{2}} . \vec{A B} = 0$

Mà $A = A_{1} + A_{2}$

$\Rightarrow A = A_{1}$

Vậy công sinh bởi lực $\vec{F}$ bằng công sinh bởi lực $\vec{F_{1}}$ .

BÀI TẬP

Bài 4.21 trang 70 Toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{a} = (- 3; 1), \vec{b} = (2; 6)$

b) $\vec{a} = (3; 1), \vec{b} = (2; 4)$

c) $\vec{a} = (- \sqrt{2}; 1), \vec{b} = (2; - \sqrt{2})$

Phương pháp giải:

Tính góc giữa hai vectơ dựa vào tích vô hướng: $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$

Lời giải:

a) $\vec{a} . \vec{b} = (- 3) .2 + 1.6 = 0$

$\Rightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$ hay $(\vec{a}, \vec{b}) = 90^{o}$ .

b) ${\begin{cases} \vec{a} . \vec{b} = 3.2 + 1.4 = 10 \\ | \vec{a} | = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}; | \vec{b} | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{10}{\sqrt{10} .2 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 45^{o} \end{array}$

c) Dễ thấy: $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương do $\frac{- \sqrt{2}}{2} = \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Hơn nữa: $\vec{b} = (2; - \sqrt{2}) = - \sqrt{2} . (- \sqrt{2}; 1) = - \sqrt{2} . \vec{a}$ ; $- \sqrt{2} < 0$

Do đó: $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 180^{o}$

Chú ý:

Khi tính góc, ta kiểm tra các trường hợp dưới đây trước:

+ $(\vec{a}, \vec{b}) = 90^{o}$ : nếu $\vec{a} . \vec{b} = 0$

+ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương:

$(\vec{a}, \vec{b}) = 0^{o}$ nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng

$(\vec{a}, \vec{b}) = 0^{o}$ nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng

Nếu không thuộc các trường hợp trên thì ta tính góc dựa vào công thức $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$ .

Bài 4.22 trang 70 Toán 10: Tìm điều kiện của $\vec{u}, \vec{v}$ để:

a) $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} |$

b) $\vec{u} . \vec{v} = - | \vec{u} | . | \vec{v} |$

Phương pháp giải:

Tích vô hướng $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v}) = | \vec{u} | . | \vec{v} |$

$\Rightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{o}$

Nói cách khác: $\vec{u}, \vec{v}$ cùng hướng.

b) Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v}) = - | \vec{u} | . | \vec{v} |$

$\Rightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) = - 1 \Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{o}$

Nói cách khác: $\vec{u}, \vec{v}$ ngược hướng.

Bài 4.23 trang 70 Toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2), B(-4; 3). Gọi M (t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $\vec{A M} . \vec{B M}$ theo t.

b) Tính t để $\hat{A M B} = 90^{o}$

Phương pháp giải:

+) Nếu vecto $\vec{A M} (x; y)$ và $\vec{B M} (a; b)$ thì $\vec{A M} . \vec{B M} = x a + y b$

+) $\hat{A M B} = 90^{o} \Leftrightarrow A M ⊥ B M$

Lời giải:

Bài 4.23 trang 70 Toán 10 Tập 1 I Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Ta có: A (1; 2), B(-4; 3) và M (t; 0)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{A M} = (t - 1; - 2), \vec{B M} = (t + 4; - 3) \\ \Rightarrow \vec{A M} . \vec{B M} = (t - 1) (t + 4) + (- 2) (- 3) \\ = t^{2} + 3 t + 2. \end{array}$

b) Để $\hat{A M B} = 90^{o}$ hay $A M ⊥ B M$ thì $\vec{A M} . \vec{B M} = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow t^{2} + 3 t + 2 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = - 2 \end{array} \end{array}$

Vậy t = -1 hoặc t = -2 thì $\hat{A M B} = 90^{o}$

Bài 4.24 trang 70 Toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A (-4; 1), B (2;4), C (2; -2)

a) Giải tam giác

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a) Độ dài vectơ $\vec{A B} (x; y)$ là $| \vec{A B} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

b) Chỉ ra $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ từ đó tìm tọa độ của H.

Lời giải:

a) Ta có:

${\begin{cases} \vec{A B} = (2 - (- 4); 4 - 1) = (6; 3) \\ \vec{B C} = (2 - 2; - 2 - 4) = (0; - 6) \\ \vec{A C} = (2 - (- 4); - 2 - 1) = (6; - 3) \end{cases}$ $\Rightarrow {\begin{cases} A B = | \vec{A B} | = \sqrt{6^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{5} \\ B C = | \vec{B C} | = \sqrt{0^{2} + {(- 6)}^{2}} = 6 \\ A C = | \vec{C A} | = \sqrt{6^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{5} . \end{cases}$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$\cos \hat{A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{{(3 \sqrt{5})}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2} - {(6)}^{2}}{2.3 \sqrt{5} .3 \sqrt{5}} = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \hat{A} \approx 53, 13^{o}$

$\cos \hat{B} = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} = \frac{{(6)}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2} - {(3 \sqrt{5})}^{2}}{2.6.3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ $\Rightarrow \hat{B} \approx 63, 435^{o}$

$\Rightarrow \hat{C} \approx 63, 435^{o}$

Vậy tam giác ABC có: $a = 6; b = 3 \sqrt{5}; c = 3 \sqrt{5}$ ; $\hat{A} \approx 53, 13^{o}; \hat{B} = \hat{C} \approx 63, 435^{o} .$

b) Gọi H có tọa độ (x; y)

$\Rightarrow {\begin{cases} \vec{A H} = (x - (- 4); y - 1) = (x + 4; y - 1) \\ \vec{B H} = (x - 2; y - 4) \end{cases}$

Lại có: H là trực tâm tam giác ABC

$\Rightarrow A H ⊥ B C$ và $B H ⊥ A C$

$\Rightarrow (\vec{A H}, \vec{B C}) = 90^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{A H}, \vec{B C}) = 0$ và $(\vec{B H}, \vec{A C}) = 90^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{B H}, \vec{A C}) = 0$

Do đó $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{A C} = \vec{0}$ .

Mà: $\vec{B C} = (0; - 6)$

$\Rightarrow (x + 4) .0 + (y - 1) . (- 6) = 0 \Leftrightarrow - 6. (y - 1) = 0 \Leftrightarrow y = 1.$

Và $\vec{A C} = (6; - 3)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 2) .6 + (y - 4) . (- 3) = 0 \\ \Leftrightarrow 6 x - 12 + (- 3) . (- 3) = 0 \\ \Leftrightarrow 6 x - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} . \end{array}$

Vậy H có tọa độ $(1; \frac{1}{2})$

Bài 4.25 trang 70 Toán 10: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}} .$

Phương pháp giải:

Biến đổi vế trái, đưa về công thức $S_{A B C} = \frac{1}{2} b c . \sin A$

+) $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

+) $\sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α$ với mọi $α$ .

Lời giải:

Đặt $A = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} . A C^{2} - {(A B . A C . \cos A)}^{2}} \\ \Leftrightarrow A = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} . A C^{2} (1 - \cos^{2} A)} \end{array}$

Mà $1 - \cos^{2} A = \sin^{2} A$

$\Rightarrow A = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} . A C^{2} . \sin^{2} A}$

$\Leftrightarrow A = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin A$ (Vì $0^{o} < \hat{A} < 180^{o}$ nên $\sin A > 0$ )

Do đó $A = S_{A B C}$ hay $S_{A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}} .$ (đpcm)

Bài 4.26 trang 70 Toán 10: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

$M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

Phương pháp giải:

+) $M A^{2} = {\vec{M A}}^{2}$

+) Với 3 điểm M, A, G bất kì ta có: $\vec{M G} + \vec{G A} = \vec{M A}$

+) G là trọng tâm tam giác ABC thì: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2} \\ = {(\vec{M G} + \vec{G A})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G B})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G C})}^{2} \\ = {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G A} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G B} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G C} + {\vec{G C}}^{2} \\ = 3 {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2} \\ = 3 {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{0} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2} \end{array}$

( do G là trọng tâm tam giác ABC)

$\begin{array}{l} = 3 {\vec{M G}}^{2} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2} \\ = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} \end{array}$ (đpcm).