SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Nguyễn Thanh Huyền Ngày: 16-02-2023 Lớp 10

589

Toptailieu biên soạn và giới thiệu giải sách bài tập Toán 10 Bài 9 (Kết nối tri thức): Tích của một vectơ với một số hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm các bài tập từ đó nâng cao kiến thức và biết cách vận dụng phương pháp giải vào các bài tập trong SBT Toán 10 Bài 9.

SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Câu hỏi trang 54 SBT Toán 10

Bài 4.13 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ $\vec{A B}, \vec{B C}, \vec{C A}$ theo hai vectơ $\vec{A D}$ và $\vec{B E} .$

Lời giải:

Ta có:

+) D là trung điểm của BC nên $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A D}$

+) E là trung điểm của AC nên $\vec{A C} = 2 \vec{A E}$

Do đó $\vec{A C} = 2 \vec{A E} = 2 (\vec{A B} + \vec{B E})$

$\Rightarrow \vec{A B} + 2 (\vec{A B} + \vec{B E}) = 2 \vec{A D}$

$\Rightarrow \vec{A B} + 2 \vec{A B} + 2 \vec{B E} = 2 \vec{A D}$

$\Rightarrow 3 \vec{A B} + 2 \vec{B E} = 2 \vec{A D}$

$\Rightarrow 3 \vec{A B} = 2 \vec{A D} - 2 \vec{B E}$

$\Rightarrow \vec{A B} = \frac{2}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E}$

+) Vì $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A D}$ nên $\vec{A C} = 2 \vec{A D} - \vec{A B}$

Mà $\vec{A B} = \frac{2}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E}$

$\Rightarrow \vec{A C} = 2 \vec{A D} - (\frac{2}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E})$

$\Rightarrow \vec{A C} = 2 \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{B E}$

$\Rightarrow \vec{A C} = \frac{4}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{B E}$

$\Rightarrow \vec{C A} = - \frac{4}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E}$

+) $\vec{B C} = \vec{A C} - \vec{A B}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \vec{B C} = (\frac{4}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{B E}) - (\frac{2}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E})$

$\Rightarrow \vec{B C} = \frac{4}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{B E} - \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{B E}$

$\Rightarrow \vec{B C} = \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{4}{3} \vec{B E}$

Vậy $\vec{A B} = \frac{2}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E};$ $\vec{B C} = \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{4}{3} \vec{B E}$ và $\vec{C A} = - \frac{4}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E} .$

Bài 4.14 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau $\vec{O A} - \vec{O B},$ $\vec{O A} - \vec{O B},$ $\vec{O A} + 2 \vec{O B},$ $2 \vec{O A} - 3 \vec{O B} .$

Lời giải:

Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành

Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông

$\Rightarrow$ OC = AB

Mà AB² = OA² + OB²(định lí Pythagoras)

$\Rightarrow$ AB² = a² + a² = 2a²

$\Rightarrow O C = A B = a \sqrt{2}$

+) Có: $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C}$ (quy tắc hình bình hành)

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a

+) Có: $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{B O} = \vec{B O} + \vec{O A} = \vec{B A}$

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a

+) Lấy điểm D sao cho $\vec{O D} = 2 \vec{O B}$ nên hai vectơ $\vec{O D}$ , $\vec{O B}$ cùng hướng và OD = 2OB.

Có: $\vec{O A} + 2 \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{O D}$

Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó $\vec{O A} + \vec{O D} = \vec{O E}$

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a

Mà OE² = OD² + DE² (định lí Pythagoras)

$\Rightarrow$ OE² = (2OB)² + OA²

$\Rightarrow$ OE² = (2a)² + a² = 5a²

$\Rightarrow O E = a \sqrt{5}$

+) Lấy điểm G sao cho $\vec{O G} = 2 \vec{O A}, \vec{O H} = 3 \vec{O B}$

Khi đó: hai vectơ $\vec{O G}$ , $\vec{O A}$ cùng hướng và OG = 2OA;

Và hai vectơ $\vec{O H}$ , $\vec{O B}$ cùng hướng và OH = 3OB.

Có: $2 \vec{O A} - 3 \vec{O B} = \vec{O G} - \vec{O H}$

$= \vec{O G} + \vec{H O}$ $= \vec{H O} + \vec{O G}$

$= \vec{H G}$

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a

Mà HG² = OG² + OH² (định lí Pythagoras)

$\Rightarrow$ HG² = (2OA)² + (3OB)²

$\Rightarrow$ HG² = (2a)² + (3a)²

$\Rightarrow$ HG² = 13a²

^{$\Rightarrow H G = a \sqrt{13}$}

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a

Bài 4.15 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng $\vec{A H} = 2 \vec{O M} .$

b) Chứng minh rằng $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O H} .$

c) Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.

Lời giải:

a) Kẻ đường kính AD.

Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên $\hat{A B D} = \hat{A C D} = 90 °$

Hay BD ⊥ AB, CD ⊥ AC

Lại có H là trực tâm ∆ABC nên BH ⊥ AC, CH ⊥ AB

$\Rightarrow$ BH /// CD và CH // BD

$\Rightarrow$ BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow$ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)

Mà M là trung điểm của BC

$\Rightarrow$ M là trung điểm của HD

Mà O là trung điểm của AD

Khi đó OM là đường trung bình của ∆AHD

$\Rightarrow$ OM // AH và (tính chất đường trung bình)

Do đó hai vectơ $\vec{A H}$ và $\vec{O M}$ có:

+ Cùng phương, cùng hướng

Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O

b) Vì M là trung điểm của BC nên $\vec{O B} + \vec{O C} = 2 \vec{O M}$

Mà $\vec{A H} = 2 \vec{O M}$ (câu a)

$\Rightarrow \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{A H}$

$\Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O A} + \vec{A H}$

$\Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O H} .$

Vậy $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O H} .$

c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 3 \vec{O G} .$

Mà $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O H}$ (câu b)

Suy ra $\vec{O H} = 3 \vec{O G}$

Khi đó $\vec{O H}$ và $\vec{O G}$ cùng phương, cùng hướng

$\Rightarrow$ O, H, G thẳng hàng.

Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.

Bài 4.16 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD và gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm O bất kì đều có

$\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 4 \vec{O I} .$

Lời giải:

Với điểm O bất kì ta có:

+) $\vec{O A} + \vec{O B} = 2 \vec{O M}$ (do M là trung điểm của AB)

+) $\vec{O C} + \vec{O D} = 2 \vec{O N}$ (do N là trung điểm của CD)

+) $\vec{O M} + \vec{O N} = 2 \vec{O I}$ (do I là trung điểm của MN)

$\Rightarrow$ $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 2 \vec{O M} + 2 \vec{O N}$

$= 2 (\vec{O M} + \vec{O N}) = 2.2 \vec{O I} = 4 \vec{O I}$

Vậy với điểm O bất kì đều có: $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 4 \vec{O I} .$

Bài 4.17 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Lời giải:

+) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow$ MN // AC và $M N = \frac{1}{2} A C$ (tính chất đường trung bình)

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R S} = \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{C E} + \frac{1}{2} \vec{E A}$

$= \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{C E} + \vec{E A})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A E} + \vec{E A})$ (quy tắc ba điểm)

$= \frac{1}{2} \vec{AA}$ (quy tắc ba điểm)

$= \frac{1}{2} . \vec{0} = \vec{0}$

Do đó $\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R S} = \vec{0}$

+) Giả sử G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR và tam giác NQS.

Khi đó ta có: $\vec{M G} + \vec{P G} + \vec{R G} = \vec{0}$ và $\vec{N G^{'}} + \vec{Q G^{'}} + \vec{S G^{'}} = \vec{0}$ hay $\vec{G^{'} N} + \vec{G^{'} Q} + \vec{G^{'} S} = \vec{0}$

Mặt khác: theo quy tắc ba điểm ta có:

+) $\vec{M N} = \vec{M G} + \vec{G G^{'}} + \vec{G^{'} N};$

+) $\vec{P Q} = \vec{P G} + \vec{G G^{'}} + \vec{G^{'} Q};$

+) $\vec{R S} = \vec{R G} + \vec{G G^{'}} + \vec{G^{'} S};$

$\Rightarrow \vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R S} = \vec{M G} + \vec{P G} + \vec{R G} + 3. \vec{G G^{'}} + \vec{G^{'} N} + \vec{G^{'} Q} + \vec{G^{'} S}$

$= (\vec{M G} + \vec{P G} + \vec{R G}) + 3. \vec{G G^{'}} + (\vec{G^{'} N} + \vec{G^{'} Q} + \vec{G^{'} S})$

$= \vec{0} + 3. \vec{G G^{'}} + \vec{0}$

$= 3. \vec{G G^{'}}$

+) Lại có $\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R S} = \vec{0}$ (chứng minh trên)

Nên $3 \vec{G G^{'}} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{G G^{'}} = \vec{0}$

Suy ra G và G' trùng nhau.

Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Bài 4.18 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.

Chứng minh rằng $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O} .$

Lời giải:

Qua M, kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.

Tam giác ABC đều nên $\hat{A B C} = \hat{A C B} = 60 °$

Mà PQ // AB nên $\hat{M Q K} = \hat{A B C} = 60 °,$

HK // AC nên $\hat{M K Q} = \hat{A C B} = 60 °$

Tam giác MQK có: $\hat{M Q K} = \hat{M K Q} = 60 °$ nên là tam giác đều.

Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của QK

$\Rightarrow \vec{M Q} + \vec{M K} = 2 \vec{M D}$ (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

+) $\vec{M H} + \vec{M I} = 2 \vec{M F}$ (2)

+) $\vec{M P} + \vec{M J} = 2 \vec{M E}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$\vec{M Q} + \vec{M K} + \vec{M H} + \vec{M I} + \vec{M P} + \vec{M J} = 2 \vec{M D} + 2 \vec{M F} + 2 \vec{M E}$

$\Rightarrow 2 (\vec{M D} + \vec{M F} + \vec{M E}) = (\vec{M Q} + \vec{M I}) + (\vec{M K} + \vec{M J}) + (\vec{M H} + \vec{M P})$

Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành

$\Rightarrow \vec{M I} + \vec{M Q} = \vec{M B}$

Tương tự ta có $\vec{M K} + \vec{M J} = \vec{M C}; \vec{M H} + \vec{M P} = \vec{M A}$

Khi đó $2 (\vec{M D} + \vec{M F} + \vec{M E}) = \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M A}$

$\Rightarrow \vec{M D} + \vec{M F} + \vec{M E} = \frac{1}{2} (\vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M A})$

Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M A} = 3 \vec{M O}$

$\Rightarrow \vec{M D} + \vec{M F} + \vec{M E} = \frac{1}{2} .3 \vec{M O} = \frac{3}{2} \vec{M O} .$

Vậy $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O} .$

Bài 4.19 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm M sao cho $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0} .$

b) Xác định điểm N thoả mãn $4 \vec{N A} - 2 \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0} .$

Lời giải:

Bài 4.19 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Gọi I là trung điểm của AB.

Khi đó: $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$

$\Rightarrow \vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = 2 \vec{M I} + 2 \vec{M C} = 2 (\vec{M I} + \vec{M C})$

Gọi K là trung điểm của IC, khi đó: $\vec{M I} + \vec{M C} = 2 \vec{M K}$

$\Rightarrow \vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = 2.2 \vec{M K} = 4 \vec{M K} .$

Mà $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0} .$

Do đó $4 \vec{M K} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{M K} = \vec{0}$

Suy ra M ≡ K.

Vậy M là trung điểm của IC (với I là trung điểm của AB).

Bài 4.19 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Ta có: $4 \vec{N A} - 2 \vec{N B} + \vec{N C} = 4 \vec{N A} - 2 (\vec{N A} + \vec{A B}) + \vec{N C}$

$= 4 \vec{N A} - 2 \vec{N A} - 2 \vec{A B} + \vec{N C}$

$= 2 \vec{N A} - 2 \vec{A B} + \vec{N C}$

$= \vec{N A} - 2 \vec{A B} + (\vec{N A} + \vec{N C})$

Gọi H là trung điểm của AC, khi đó $\vec{N A} + \vec{N C} = 2 \vec{N H}$

$\Rightarrow 4 \vec{N A} - 2 \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{N A} - 2 \vec{A B} + 2. \vec{N H}$

$= (\vec{N A} + 2. \vec{N H}) - 2 \vec{A B}$

Giả sử P là điểm thỏa mãn $\vec{P A} + 2. \vec{P H} = \vec{0}$

Khi đó $\vec{N A} + 2. \vec{N H} = (\vec{N P} + \vec{P A}) + 2 (\vec{N P} + \vec{P H})$

$= 3 \vec{N P} + \vec{P A} + 2 \vec{P H}$

$= 3 \vec{N P} + \vec{0}$

$= 3 \vec{N P}$

$\Rightarrow 4 \vec{N A} - 2 \vec{N B} + \vec{N C} = 3 \vec{N P} - 2 \vec{A B}$

Mà $4 \vec{N A} - 2 \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0} .$

Nên $3 \vec{N P} - 2 \vec{A B} = \vec{0}$

$\Rightarrow 3 \vec{N P} = 2 \vec{A B}$

$\Rightarrow \vec{N P} = \frac{2}{3} \vec{A B}$

Gọi Q là điểm nằm trên cạnh AB sao cho $\vec{A Q} = \frac{2}{3} \vec{A B}$

$\Rightarrow \vec{N P} = \vec{A Q}$

Do đó tứ giác AQPN là hình bình hành

Vậy điểm N cần tìm là đỉnh của hình bình hành AQPN (với Q thỏa mãn $\vec{A Q} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ và P thỏa mãn $\vec{P A} + 2. \vec{P H} = \vec{0}$ , H là trung điểm của AC).

Câu hỏi trang 55 SBT Toán 10

Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm K thoả mãn $\vec{K A} + 2 \vec{K B} + 3 \vec{K C} = \vec{0} .$

b) Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Lời giải:

Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Gọi I là trung điểm của AC, H là trung điểm của BC.

Khi đó $\vec{K A} + \vec{K C} = 2 \vec{K I}$ và $\vec{K B} + \vec{K C} = 2 \vec{K H}$

$\Rightarrow \vec{K A} + 2 \vec{K B} + 3 \vec{K C} = (\vec{K A} + \vec{K C}) + 2 (\vec{K B} + \vec{K C})$

$= 2 \vec{K I} + 2.2 \vec{K H}$ $= 2 \vec{K I} + 4 \vec{K H}$

Mà $\vec{K A} + 2 \vec{K B} + 3 \vec{K C} = \vec{0} .$

Nên $2 \vec{K I} + 4 \vec{K H} = \vec{0}$

$\Rightarrow 2 \vec{K I} = - 4 \vec{K H}$

$\Rightarrow \vec{K I} = - 2 \vec{K H}$

Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Do đó điểm K nằm giữa hai điểm I và H sao cho KI = 2KH.

Vậy ta có điểm K thỏa mãn $\vec{K A} + 2 \vec{K B} + 3 \vec{K C} = \vec{0}$ như hình vẽ.

Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Chứng minh tương tự câu a ta có:

$\vec{M A} + \vec{2 M B} + 3 \vec{M C} = 2 \vec{M I} + 4 \vec{M H}$

$= 2 (\vec{M K} + \vec{K I}) + 4 (\vec{M K} + \vec{K H})$

$= 2 \vec{M K} + 2 \vec{K I} + 4 \vec{M K} + 4 \vec{K H}$

$= 6 \vec{M K} + (2 \vec{K I} + 4 \vec{K H})$

Mà $2 \vec{K I} + 4 \vec{K H} = \vec{0}$ (câu a)

Nên $\vec{M A} + \vec{2 M B} + 3 \vec{M C} = 6 \vec{M K}$

Lại có: $\vec{M B} - \vec{M C} = \vec{C B}$

Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

$\Leftrightarrow$ 6MK = CB

$\Leftrightarrow K M = \frac{B C}{6}$

Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm K, bán kính bằng $\frac{B C}{6}$ như hình vẽ.

Bài 4.21 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng. Tìm mối liên hệ giữa trọng lực $\vec{P}$ của vật và lực đẩy Archimedes $\vec{F}$ mà chất lỏng tác động lên vật. Tính tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng.

Lời giải:

Trọng lực $\vec{P}$ của vật và lực đẩy Archimedes $\vec{F}$ mà chất lỏng tác động lên vật được mô tả như hình vẽ trên.

Do vật ở trạng thái cân bằng nên hai lực $\vec{P}$ và $\vec{F}$ ngược hướng nhau và có cường độ bằng nhau.

Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng

Gọi d và d' là trọng lượng riêng của vật và chất lỏng;

V là thể tích của vật

Khi thả vật vào cốc chất lỏng thì ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng nên thể tích chất lỏng bị chiếm chỗ là $\frac{V}{2} .$

Khi đó trọng lượng của vật là: P = d.V

Và lực đẩy Archimedes mà chất lỏng tác động lên vật là: $F_{A} = d^{'} . \frac{V}{2} .$

Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng