Cho tam giác ABC. a) Tìm điểm M sao cho

Nguyễn Thanh Huyền Ngày: 23-10-2022 Lớp 10

419

Với Giải SBT Toán 10 trang 54 Tập 1 trong Bài 9: Tích của một vectơ với một số bài tập Toán lớp 10 Tập 1 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 trang 54.

Cho tam giác ABC. a) Tìm điểm M sao cho

Bài 4.19 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm M sao cho $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0} .$

b) Xác định điểm N thoả mãn $4 \vec{N A} - 2 \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0} .$

Lời giải:

Bài 4.19 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Gọi I là trung điểm của AB.

Khi đó: $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$

$\Rightarrow \vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = 2 \vec{M I} + 2 \vec{M C} = 2 (\vec{M I} + \vec{M C})$

Gọi K là trung điểm của IC, khi đó: $\vec{M I} + \vec{M C} = 2 \vec{M K}$

$\Rightarrow \vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = 2.2 \vec{M K} = 4 \vec{M K} .$

Mà $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0} .$

Do đó $4 \vec{M K} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{M K} = \vec{0}$

Suy ra M ≡ K.

Vậy M là trung điểm của IC (với I là trung điểm của AB).

Bài 4.19 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Ta có: $4 \vec{N A} - 2 \vec{N B} + \vec{N C} = 4 \vec{N A} - 2 (\vec{N A} + \vec{A B}) + \vec{N C}$

$= 4 \vec{N A} - 2 \vec{N A} - 2 \vec{A B} + \vec{N C}$

$= 2 \vec{N A} - 2 \vec{A B} + \vec{N C}$

$= \vec{N A} - 2 \vec{A B} + (\vec{N A} + \vec{N C})$

Gọi H là trung điểm của AC, khi đó $\vec{N A} + \vec{N C} = 2 \vec{N H}$

$\Rightarrow 4 \vec{N A} - 2 \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{N A} - 2 \vec{A B} + 2. \vec{N H}$

$= (\vec{N A} + 2. \vec{N H}) - 2 \vec{A B}$

Giả sử P là điểm thỏa mãn $\vec{P A} + 2. \vec{P H} = \vec{0}$

Khi đó $\vec{N A} + 2. \vec{N H} = (\vec{N P} + \vec{P A}) + 2 (\vec{N P} + \vec{P H})$

$= 3 \vec{N P} + \vec{P A} + 2 \vec{P H}$

$= 3 \vec{N P} + \vec{0}$

$= 3 \vec{N P}$

$\Rightarrow 4 \vec{N A} - 2 \vec{N B} + \vec{N C} = 3 \vec{N P} - 2 \vec{A B}$

Mà $4 \vec{N A} - 2 \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0} .$

Nên $3 \vec{N P} - 2 \vec{A B} = \vec{0}$

$\Rightarrow 3 \vec{N P} = 2 \vec{A B}$

$\Rightarrow \vec{N P} = \frac{2}{3} \vec{A B}$

Gọi Q là điểm nằm trên cạnh AB sao cho $\vec{A Q} = \frac{2}{3} \vec{A B}$

$\Rightarrow \vec{N P} = \vec{A Q}$

Do đó tứ giác AQPN là hình bình hành

Vậy điểm N cần tìm là đỉnh của hình bình hành AQPN (với Q thỏa mãn $\vec{A Q} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ và P thỏa mãn $\vec{P A} + 2. \vec{P H} = \vec{0}$ , H là trung điểm của AC).