Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây

Phương Thảo Ngày: 08-11-2022 Lớp 10

321

Với Giải SBT Toán 10 Tập 2 trong Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây

Bài 2 trang 75 SBT Toán 10: Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ các tiêu điểm của chúng

a) $(C_{1}) : 7 x^{2} + 13 y^{2} = 1$

b) $(C_{2}) : 25 x^{2} - 9 y^{2} = 225$

c) $(C_{3}) : x = 2 y^{2}$

Phương pháp giải:

Phương trình Elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với $a > b > 0$ có hai tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$ và có tiêu cự là $2 c$ với $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Phương trình Hypebol có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với $a > b > 0$ có hai tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$ và có tiêu cự là $2 c$ với $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Parabol $(P)$ có dạng $y^{2} = 2 p x$ với $p > 0$ có tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$ , phương trình đường chuẩn $Δ : x = - \frac{p}{2}$

Lời giải:

a) $(C_{1}) : 7 x^{2} + 13 y^{2} = 1 \Rightarrow \frac{x^{2}}{\frac{1}{7}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{13}} = 1 \Rightarrow a^{2} = \frac{1}{7}; b^{2} = \frac{1}{13}$

$\Rightarrow c^{2} = a^{2} - b^{2} = \frac{1}{7} - \frac{1}{13} = \frac{6}{91} \Rightarrow c = \sqrt{\frac{6}{91}}$

$(C_{1})$ là elip có hai tiêu điểm $F_{1} (- \sqrt{\frac{6}{91}}; 0), F_{2} (\sqrt{\frac{6}{91}}; 0)$

b) $\begin{array}{l} (C_{2}) : 25 x^{2} - 9 y^{2} = 225 \Rightarrow \frac{25 x^{2}}{225} - \frac{9 y^{2}}{225} = 1 \Rightarrow \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{25} = 1 \\ \Rightarrow a^{2} = 9; b^{2} = 25; c^{2} = a^{2} + b^{2} = 9 + 25 = 34 \Rightarrow c = \sqrt{34} \end{array}$