SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ

Phương Thảo Ngày: 16-02-2023 Lớp 10

655

Với Giải SBT Toán 10 Tập 2 trong Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ

Câu hỏi trang 75 SBT Toán 10

Bài 1 trang 75 SBT Toán 10: Viết phương trình chính tắc của:

a) Elip có trục lớn bằng 12 và trục nhỏ bằng 8

b) Hypebol có tiêu cự $2 c = 18$ và độ dài trục thực $2 a = 14$

c) Parabol có tiêu điểm $F (5; 0)$

Phương pháp giải:

Phương trình Elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với $a > b > 0$ có hai tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$ và có tiêu cự là $2 c$ với $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Phương trình Hypebol có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với $a > b > 0$ có hai tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$ và có tiêu cự là $2 c$ với $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Parabol $(P)$ có dạng $y^{2} = 2 p x$ với $p > 0$ có tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$

Lời giải:

a) Trục lớn 2a=12, trục nhỏ 8=2b

$\Rightarrow {\begin{cases} a = 6 \\ b = 4 \end{cases} \Rightarrow P T C T : \frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

b) tiêu cự $2 c = 18 \Rightarrow c = 9$ , trục thực $2 a = 14 \Rightarrow a = 7$

null

c) Parabol có tiêu điểm $F (5; 0) = (\frac{p}{2}; 0) \Rightarrow p = 10 \Rightarrow y^{2} = 20 x$

Bài 2 trang 75 SBT Toán 10: Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ các tiêu điểm của chúng

a) $(C_{1}) : 7 x^{2} + 13 y^{2} = 1$

b) $(C_{2}) : 25 x^{2} - 9 y^{2} = 225$

c) $(C_{3}) : x = 2 y^{2}$

Phương pháp giải:

Parabol $(P)$ có dạng $y^{2} = 2 p x$ với $p > 0$ có tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$ , phương trình đường chuẩn $Δ : x = - \frac{p}{2}$

Lời giải:

a) $(C_{1}) : 7 x^{2} + 13 y^{2} = 1 \Rightarrow \frac{x^{2}}{\frac{1}{7}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{13}} = 1 \Rightarrow a^{2} = \frac{1}{7}; b^{2} = \frac{1}{13}$

$\Rightarrow c^{2} = a^{2} - b^{2} = \frac{1}{7} - \frac{1}{13} = \frac{6}{91} \Rightarrow c = \sqrt{\frac{6}{91}}$

$(C_{1})$ là elip có hai tiêu điểm $F_{1} (- \sqrt{\frac{6}{91}}; 0), F_{2} (\sqrt{\frac{6}{91}}; 0)$

b) $\begin{array}{l} (C_{2}) : 25 x^{2} - 9 y^{2} = 225 \Rightarrow \frac{25 x^{2}}{225} - \frac{9 y^{2}}{225} = 1 \Rightarrow \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{25} = 1 \\ \Rightarrow a^{2} = 9; b^{2} = 25; c^{2} = a^{2} + b^{2} = 9 + 25 = 34 \Rightarrow c = \sqrt{34} \end{array}$

$(C_{2})$ là hypebol có hai tiêu điểm $F_{1} (- \sqrt{34}; 0), F_{2} (\sqrt{34}; 0)$

c) $(C_{3}) : x = 2 y^{2} \Rightarrow y^{2} = \frac{1}{2} x \Rightarrow p = \frac{1}{4}$

$(C_{3})$ là parabol có tiêu điểm $F (\frac{1}{8}; 0)$

Bài 3 trang 75 SBT Toán 10: Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 1 m và trục nhỏ là 0,6 m từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 1m x 0,6 m, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hướng dẫn sau:

Chuẩn bị:

- Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì

Thực hiện:

- Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh lên hai điểm đó trên tấm ván

- Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một người mà người ta gọi là đường eip (Xem hình mình họa trong Hình 10)

Phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Lời giải:

Phương trình Elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Ta có: $2 a = 1 m = 100 c m; 2 b = 0, 6 m = 60 c m$

$\Rightarrow c^{2} = a^{2} - b^{2} = 50^{2} - 30^{2} = 1600 \Rightarrow c = 40$

+ Ta có $a - c = 10 (c m)$

=> cần ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép 10 cm.

vòng dây dài $M F_{1} + M F_{2} + F_{1} F_{2} = 2 a + 2 c = 180 (c m)$

Vậy phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép 10 cm và lấy vòng dây độ dài là 180 cm hay 1,8 m

Câu hỏi trang 76 SBT Toán 10

Bài 4 trang 76 SBT Toán 10: Thang leo gợn song cho trẻ em trong công viên có hai khung thép cong hình nửa elip cao 100 m và khoảng cách giữa hai chân là 240 cm

a) Hãy chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình chính tắc của elip nói trên

b) Tính khoảng cách thẳng đứng từ một điểm cách chân khủng 20 cm lên đến khung thép

Phương pháp giải:

Lời giải:

a) Gọi phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

nửa hình elip cao 100 cm $\Rightarrow b = 100$

Khoảng cách giữa hai chân là 240 cm $\Rightarrow 2 a = 240 \Leftrightarrow a = 120$

Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^{2}}{120^{2}} + \frac{y^{2}}{100^{2}} = 1$

Điểm cách chân 20 cm có hoành độ là $| x | = 120 - 20 = 100$

Thay vào phương trình ta có:

$\frac{100^{2}}{120^{2}} + \frac{y^{2}}{100^{2}} = 1 \Rightarrow y^{2} = 100^{2} (1 - \frac{100^{2}}{120^{2}}) \Rightarrow y \approx 55 (c m)$

Vậy khoảng cách thẳng đứng từ điểm đó đến khung thép xấp xỉ 55cm.

Bài 5 trang 76 SBT Toán 10: Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cát là hình hypebol có phương trình $\frac{x^{2}}{30} - \frac{y^{2}}{50} = 1$ . Biết chiều cao của tháp là 120 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng $\frac{1}{2}$ khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Phương pháp giải:

Lời giải:

Ta có: O(0;0) là tâm đối xứng của hypebol

=> khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng là OA, khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy là OB và $O A = \frac{1}{2} O B$

Mà chiều cao tháp là 120m hay $O A + O B = 120$ $\Rightarrow O A = 40 (m); O B = 80 (m)$

Gọi r và R lần lượt là bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Lấy N là điểm trên nóc tháp, thuộc vào hypebol $\Rightarrow N (r; 40)$

Tương tự, M là điểm ở đáy tháp, thuộc vào hypebol $\Rightarrow M (R; - 80)$

Thay tọa độ điểm $M (R; - 80), N (r; 40)$ vào phương trình hypebol ta tính được:

$R = 30 \sqrt{1 + \frac{{(- 80)}^{2}}{50^{2}}} \approx 57 (m), r = 30 \sqrt{1 + \frac{40^{2}}{50^{2}}} \approx 38 (m)$

Vậy bán kính nóc là 38m, bán kính đáy là 57m.

Bài 6 trang 76 SBT Toán 10: Một cái cầu có dây cáp treo hình parabol, cầu dài 120 m và được nâng đỡ bởi những thanh thẳng đứng treo từ cáp xuống, thanh dài nhất là 48 m, thanh ngắn nhất là 8 m (Hình 12). Tính chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 20 m.