SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Phương Thảo Ngày: 16-02-2023 Lớp 10

554

Với Giải SBT Toán 10 Tập 2 trong Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Bài 1 trang 69 SBT Toán 10: Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) $x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 9 = 0$

b) $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 1 = 0$

c) $x^{2} + y^{2} + 8 x + 4 y + 2022 = 0$

d) $3 x^{2} + 2 y^{2} + 5 x + 7 y - 1 = 0$

Phương pháp giải:

Phương trình: $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình đường tròn khi: $a^{2} + b^{2} - c > 0$ khi đó $I (a; b), R = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$

Lời giải:

a) $x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 9 = 0$

+ Phương trình đã cho có các hệ số $a = - 1, b = - 1, c = - 9$

+ Tính $a^{2} + b^{2} - c = {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{2} - (- 9) = 11 > 0$ , nên phương trình của đường tròn có tâm $I (- 1; - 1)$ và bán kính $R = \sqrt{11}$

b) $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 1 = 0$

+ Phương trình đã cho có các hệ số $a = 3, b = 1, c = 1$

+ Tính $a^{2} + b^{2} - c = 3^{2} + 1^{2} - 1 = 9 > 0$ , nên phương trình của đường tròn có tâm $I (3; 1)$ và bán kính $R = \sqrt{9} = 3$

c) $x^{2} + y^{2} + 8 x + 4 y + 2022 = 0$

+ Phương trình đã cho có các hệ số $a = - 4, b = - 2, c = 2022$

+ Tính $a^{2} + b^{2} - c = {(- 4)}^{2} + {(- 2)}^{2} - 2022 < 0$

à Đây không phải là phương trình của đường tròn

d) $3 x^{2} + 2 y^{2} + 5 x + 7 y - 1 = 0$

Phương trình đã cho không là phương trình của đường tròn vì hệ số của $x^{2}$ và $y^{2}$ không bằng nhau

Câu hỏi trang 70 SBT Toán 10

Bài 2 trang 70 SBT Toán 10: Lập phương trình đường tròn $(C)$ trong các trường hợp sau:

a) $(C)$ có tâm $O (0; 0)$ và bán kính $R = 9$

b) $(C)$ có đường kính AB với $A (1; 1)$ và $B (3; 5)$

c) $(C)$ có tâm $M (2; 3)$ và tiếp xúc với đường thẳng $3 x - 4 y + 9 = 0$

d) $(C)$ có tâm $I (3; 2)$ và đi qua điểm $B (7; 4)$

Phương pháp giải:

Viết phương trình đường tròn tâm $I (a; b)$ và bán kính R là ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = R^{2}$

Lời giải:

a) $(C)$ có tâm $O (0; 0)$ và bán kính $R = 9$

Phương trình đường tròn: $x^{2} + y^{2} = 9^{2} = 81$

b) $(C)$ có đường kính AB với $A (1; 1)$ và $B (3; 5)$

+ I là trung điểm của AB nên $I (2; 3)$

+ $R = I A = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$

+ Phương trình đường tròn: ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$

c) $(C)$ có tâm $M (2; 3)$ và tiếp xúc với đường thẳng $3 x - 4 y + 9 = 0$

+ $d (M, d) = R = \frac{| 3.2 - 4.3 + 9 |}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{3}{5}$

+ Phương trình đường tròn: ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = \frac{9}{25}$

d) $(C)$ có tâm $I (3; 2)$ và đi qua điểm $B (7; 4)$

+ $R = I B = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{20}$

+ Phương trình đường tròn: ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 20$

Bài 3 trang 70 SBT Toán 10: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:

a) $A (1; 4), B (0; 1), C (4; 3)$

b) $O (0; 0), P (16; 0), R (0; 12)$

Phương pháp giải:
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác

Lời giải:

a) $\vec{A B} = (- 1; - 3), \vec{A C} = (3; - 1) \Rightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = 0 \Rightarrow A B ⊥ A C$ à Tam giác ABC vuông tại A à I là trung điểm của BC

$\Rightarrow I (2; 2), R = \frac{B C}{2} = \frac{\sqrt{4^{2} + 2^{2}}}{2} = \sqrt{5}$

$\Rightarrow$ Phương trình đường tròn: ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$

b) $\vec{O P} = (16; 0), \vec{O R} = (0; 12) \Rightarrow \vec{O P} . \vec{O R} = 0 \Rightarrow O P ⊥ O R$ à Tam giác OPR vuông tại O à I là trung điểm của PR

$\Rightarrow I (2; 2), R = \frac{P R}{2} = \frac{\sqrt{4^{2} + 2^{2}}}{2} = \sqrt{5}$

$\Rightarrow$ Phương trình đường tròn: ${(x - 8)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 100$

Bài 4 trang 70 SBT Toán 10: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ $O x, O y$ và đi qua điểm $A (2; 1)$

Phương pháp giải:

$d (I, O x) = d (I, O y) = R$

Lời giải:

Gọi đường tròn (C) cần lập có tâm $I (a; b)$ và bán kính R.

+ $(C)$ tiếp xúc với $O x, O y$

$d (I, O x) = d (I, O y) = R \Leftrightarrow | b | = | a | = R$

Mặt khác: (C) tiếp xúc với $O x, O y$ nên nó thuộc một trong bốn góc phần tư của mặt phẳng.

$A (2; 1) \in (C)$ =>(C) thuộc góc phần tư thứ nhất => $a, b > 0$ => $a = b = R$

+ $A \in (C) \Rightarrow I A = R \Rightarrow I A^{2} = R^{2} \Rightarrow {(2 - a)}^{2} + {(1 - a)}^{2} = a^{2} \Rightarrow a^{2} - 6 a + 5 = 0$ $\Rightarrow a = 1$ hoặc $a = 5$ .

+ Phương trình đường tròn là ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ hoặc ${(x - 5)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$

Bài 5 trang 70 SBT Toán 10: Cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y - 15 = 0$

a) Chứng tỏ rằng điểm $A (0; 5)$ thuộc đường tròn $(C)$

b) Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$ tại điểm $A (0; 5)$

c) Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$ song song với đường thẳng $8 x + 6 y + 99 = 0$

Phương pháp giải:

+ Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn tại A có vectơ pháp tuyến $\vec{I A}$

Lời giải:

$(C)$ có phương trình $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y - 15 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 2 y + 1 - 25 = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 25 \end{array}$

$\Rightarrow$ (C) có tâm I(3;2) và bán kính R=5.

a) $A (0; 5)$ thuộc (C) vì $0^{2} - 6.0 + 9 + 5^{2} - 2.5 + 1 - 25 = 0$

b) + VTPT của PT tiếp tuyến tại A là $\vec{n_{d}} = \vec{I A} = (3; - 4)$

PT tiếp tuyến tại A là $d : 3 (x - 0) - 4 (y - 5) = 0 \Rightarrow d : 3 x - 4 y + 20 = 0$

c) + $Δ / / 8 x + 6 y + 99 = 0 \Rightarrow Δ : 8 x + 6 y + c = 0 (c \neq 99)$

+ $d (I, Δ) = R \Rightarrow \frac{| 8.3 + 6.1 + c |}{\sqrt{8^{2} + 6^{2}}} = 5 \Rightarrow | c + 30 | = 50 \Rightarrow [\begin{array}{l} c = 20 \\ c = - 80 \end{array}$