SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

Phương Thảo Ngày: 16-02-2023 Lớp 10

650

Với Giải SBT Toán 10 Tập 2 trong Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

Câu hỏi trang 65 SBT Toán 10

Bài 1 trang 65 SBT Toán 10: Tìm các giá trị của tham số a, b, c để phương trình $a x + b y + c = 0$ có thể biểu diễn được các đường thẳng trong hình dưới đây

Phương pháp giải:

Đường thẳng $d : a x + b y + c = 0$ , điểm $A (a_{0}, b_{0})$ thuộc đường thẳng d khi $a a_{0} + b b_{0} + c = 0$

Lời giải:

a) ${\begin{cases} (0; 3) \in d \\ (- 1, 5; 0) \in d \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} a .0 + b .3 + c = 0 \\ a (- 1, 5) + b .0 + c = 0 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} 3 b + c = 0 \\ (- 1, 5) a + c = 0 \end{cases}$

Chọn $c = 3 \Rightarrow a = 2, b = - 1$

Phương trình đường thẳng là $2 x - y + 3 = 0$

b) ${\begin{cases} (0; 1) \in d \\ (1; 0) \in d \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} a .0 + b .1 + c = 0 \\ a .1 + b .0 + c = 0 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} b + c = 0 \\ a + c = 0 \end{cases}$

Cho $c = - 1 \Rightarrow a = 1, b = 1$

Phương trình đường thẳng là $x + y - 1 = 0$

c) ${\begin{cases} (0; 3) \in d \\ (1; 3) \in d \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} a .0 + b .3 + c = 0 \\ a .1 + b .3 + c = 0 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} 3 b + c = 0 \\ a + 3 b + c = 0 \end{cases}$

Cho $c = - 3 \Rightarrow a = 0, b = 1$

Phương trình đường thẳng là $y - 3 = 0$

d) ${\begin{cases} (- 2; 1) \in d \\ (- 2; 0) \in d \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} a . (- 2) + b .1 + c = 0 \\ a (- 2) + b .0 + c = 0 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} - 2 a + b + c = 0 \\ - 2 a + c = 0 \end{cases}$

Cho $c = 2 \Rightarrow a = 1, b = 0$

Phương trình đường thẳng là $x + 2 = 0$

Bài 2 trang 65 SBT Toán 10: Lập phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm $M (2; 2)$ và vectơ chỉ phương $\vec{u} = (4; 7)$

b) d đi qua điểm $N (0; 1)$ và có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (- 5; 3)$

c) d đi qua $A (- 2; - 3)$ và có hệ số góc $k = 3$

d) d đi qua hai điểm $P (1; 1), Q (3; 4)$

Phương pháp giải:

+ Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua $M (x_{1}, y_{1})$ nhận $\vec{a_{1}} = (a; b)$ là vectơ pháp tuyến là: $a (x - x_{1}) + b (y - y_{1}) = 0$

+ Phương trình nhận $\vec{a_{2}} = (c; d)$ là vectơ chỉ phương → $\vec{a_{3}} = (d; - c)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó

Lời giải:

a) + Phương trình tham số: $d : {\begin{cases} x = 2 + 4 t \\ y = 2 + 7 t \end{cases}$

+ $\vec{u} = (4; 7) \Rightarrow \vec{n} = (7; - 4) \Rightarrow d : 7 (x - 2) - 4 (y - 2) = 0 \Rightarrow 7 x - 4 y - 6 = 0$

b) + Phương trình tổng quát: $d : - 5 (x - 0) + 3 (y - 1) = 0 \Rightarrow d : - 5 x + 3 y - 3 = 0$

+ $\vec{n} = (- 5; 3) \Rightarrow \vec{v} = (3; 5) \Rightarrow d : {\begin{cases} x = 3 t \\ y = 1 + 5 t \end{cases}$

c) + Phương trình tổng quát: $y = 3 (x + 2) - 3 \Rightarrow d : y = 3 x + 3$

+ $\vec{n} = (3; - 1) \Rightarrow \vec{v} = (1; 3) \Rightarrow d : {\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = - 3 + 3 t \end{cases}$

d) + $\vec{P Q} = (2; 3) \Rightarrow d : {\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 1 + 3 t \end{cases}$

+ $\vec{P Q} = (2; 3) \Rightarrow \vec{n} = (3; - 2) \Rightarrow d : 3 (x - 1) - 2 (y - 1) = 0 \Rightarrow 3 x - 2 y - 1 = 0$

Câu hỏi trang 66 SBT Toán 10

Bài 3 trang 66 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC, biết $A (1; 4), B (0; 1), C (4; 3)$

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC

b) Lập phương trình tham số của đường trung tuyến AM

c) Lập phương trình tổng quát của đường cao AH

Phương pháp giải:

Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua $M (x_{1}, y_{1})$ nhận $\vec{a_{1}} = (a; b)$ là vectơ pháp tuyến là: $a (x - x_{1}) + b (y - y_{1}) = 0$

Lời giải:

Ta có $A (1; 4), B (0; 1), C (4; 3)$

a) $\vec{B C} = (4; 2) \Rightarrow \vec{n} = (1; - 2) \Rightarrow B C : 1 (x - 0) - 2 (y - 1) = 0 \Rightarrow x - 2 y + 2 = 0$

b) M là trung điểm của BC → $\begin{array}{l} M (2; 2) \Rightarrow \vec{A M} = (1; - 2) \\ \Rightarrow A M : {\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 4 - 2 t \end{cases} \end{array}$

c) $\vec{A H} ⊥ \vec{B C} \Rightarrow \vec{n_{A H}} = \vec{B C} = (2; 1)$

$\Rightarrow A H : 2 (x - 1) + 1 (y - 4) = 0 \Rightarrow A H : 2 x + y - 6 = 0$

Bài 4 trang 66 SBT Toán 10: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $Δ$ đi qua $M (3; 3)$ và song song với đường thẳng $x + 2 y - 2022 = 0$

b) $Δ$ đi qua $N (2; - 1)$ và vuông góc với đường thẳng $3 x + 2 y + 99 = 0$

Lời giải:

a) + $Δ$ song song với đường thẳng $x + 2 y - 2022 = 0$ → $Δ : x + 2 y + c = 0 (c \neq - 2022)$

+ $Δ$ đi qua $M (3; 3)$ → $3 + 2.3 + c = 0 \Rightarrow c = - 9 \Rightarrow Δ : x + 2 y - 9 = 0$

b) + $Δ$ vuông góc với đường thẳng $3 x + 2 y + 99 = 0 \Rightarrow Δ : 2 x - 3 y + c = 0$

+ $Δ$ đi qua $N (2; - 1)$ → $2.2 - 3 (- 1) + c = 0 \Rightarrow c = - 7 \Rightarrow Δ : 2 x - 3 y - 7 = 0$

Bài 5 trang 66 SBT Toán 10: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ sau đây:

a) $d_{1} : 2 x + y + 9 = 0$ và $d_{2} : 2 x + 3 y - 9 = 0$

b) $d_{1} : {\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2 t \end{cases}$ và $d_{2} : 2 x + y + 10 = 0$

c) $d_{1} : {\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 8 - 5 t \end{cases}$ và $d_{2} : 5 x - y + 3 = 0$

Lời giải:

a) Vectơ pháp tuyến của $d_{1}$ và $d_{2}$ lần lượt là $\vec{n_{1}} = (2; 1), \vec{n_{2}} = (2; 3)$ → Hai đường thẳng cắt nhau

b) Vectơ pháp tuyến của $d_{1}$ và $d_{2}$ lần lượt là: $\vec{n_{1}} = (2; 1), \vec{n_{2}} = (2; 1)$

Ta thấy $\vec{n_{2}} = \vec{n_{1}}$ → Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Xét $A (2; 1)$ thuộc $d_{1}$ , ta thấy A không thuộc $d_{2}$ → Hai đường thẳng này song song với nhau

c) Vectơ pháp tuyến của $d_{1}$ và $d_{2}$ lần lượt là: $\vec{n_{1}} = (5; - 1), \vec{n_{2}} = (5; - 1)$

Ta thấy $\vec{n_{2}} = \vec{n_{1}}$ → Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Xét $A (1; 8)$ thuộc $d_{1}$ , ta thấy A cũng thuộc $d_{2}$ → Hai đường thẳng này trùng nhau

Bài 6 trang 66 SBT Toán 10: Cho đường thẳng d có phương trình tham số ${\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2 t \end{cases}$

Tìm giao điểm của d với đường thẳng $Δ : x + y - 2 = 0$

Lời giải:

Gọi $A (x_{A}; y_{A})$ là giao điểm của 2 đường thẳng.

$\Rightarrow A \in d$ và $A \in Δ$

$\Rightarrow {\begin{array}{l} x_{A} = 1 + t \\ y_{A} = 2 + 2 t \end{array}$ và $x_{A} + y_{A} - 2 = 0$

$\Rightarrow (1 + t) + (2 + 2 t) - 2 = 0 \Rightarrow 3 t + 1 = 0 \Rightarrow t = \frac{- 1}{3}$

$\Rightarrow x_{A} = \frac{2}{3}; y_{A} = \frac{4}{3}$

Vậy giao của hai đường thẳng là $A (\frac{2}{3}; \frac{4}{3})$

Bài 7 trang 66 SBT Toán 10: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ trong các trường hợp sau:

a) $d_{1} : 5 x - 3 y + 1 = 0$ và $d_{2} : 10 x - 6 y - 7 = 0$

b) $d_{1} : 7 x - 3 y + 7 = 0$ và $d_{2} : 3 x + 7 y - 10 = 0$

c) $d_{1} : 2 x - 4 y + 9 = 0$ và $d_{2} : 6 x - 2 y - 2023 = 0$

Phương pháp giải:

$(a; b)$ và $(c; d)$ cùng là vectơ pháp tuyến hoặc chỉ phương của hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ .

Góc giữa hai đường thẳng là $φ$ , thì $c o s φ = \frac{| a c + b d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sqrt{c^{2} + d^{2}}}$

Lời giải:

a) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là $(5; - 3)$ và $(10; - 6) = 2 (5; - 3)$

=> Hai vecto pháp tuyến cùng phương.

→ Hai đường thẳng song song với nhau $\Rightarrow φ = 0^{\circ}$

b) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là $(7; - 3)$ và $(3; 7)$ .

Ta có: $(7; - 3) . (3; 7) = 0$

$\Rightarrow$ Hai đường thẳng vuông góc với nhau $\Rightarrow φ = 90^{\circ}$

c) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là $(2; - 4)$ và $(6; - 2)$ .

$c o s φ = \frac{| 2.6 + (- 4) . (- 2) |}{\sqrt{2^{2} + {(- 4)}^{2}} \sqrt{6^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow φ = 45^{\circ}$

Bài 8 trang 66 SBT Toán 10: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $Δ$ trong các trường hợp sau:

a) $M (2; 3)$ và $Δ : 8 x - 6 y + 7 = 0$

b) $M (0; 1)$ và $Δ : 4 x + 9 y - 20 = 0$

c) $M (1; 1)$ và $Δ : 3 y - 5 = 0$

d) $M (4; 9)$ và $Δ : x - 25 = 0$

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ 1 điểm $A (x_{0}; y_{0})$ đến đường thẳng $d : a x + b y + c = 0$ là:

$d (A, d) = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Lời giải:

a) $d (M, Δ) = \frac{| 8.2 - 6.3 + 7 |}{\sqrt{8^{2} + {(- 6)}^{2}}} = \frac{1}{2}$

b) $d (M, Δ) = \frac{| 4.0 + 9.1 - 20 |}{\sqrt{4^{2} + 9^{2}}} = \frac{11}{\sqrt{97}}$

c) $d (M, Δ) = \frac{| 3.1 - 5 |}{\sqrt{0^{2} + 3^{2}}} = \frac{2}{3}$

d) $d (M, Δ) = \frac{| 4 - 25 |}{\sqrt{1^{2} + 0^{2}}} = 21$

Bài 9 trang 66 SBT Toán 10: Tìm c để đường thẳng $Δ : 4 x - 3 y + c = 0$ tiếp xúc với đường tròn $(C)$ có $J (1; 2)$ và bán kính $R = 3$

Lời giải:

$Δ$ tiếp xúc với đường tròn $(C)$ tâm J $\Leftrightarrow d (J, Δ) = R$

$\Leftrightarrow \frac{| 4.1 - 3.2 + c |}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 3 \Leftrightarrow \frac{| c - 2 |}{5} = 3 \Leftrightarrow | c - 2 | = 15 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} c = 17 \\ c = - 13 \end{array}$

Vậy $c = 17$ hoặc $c = - 13$ thì $Δ$ tiếp xúc với $(C)$ .

Bài 10 trang 66 SBT Toán 10: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: $Δ : 6 x + 8 y - 11 = 0$ và $Δ^{'} : 6 x + 8 y - 1 = 0$

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $d : a x + b y + c = 0$ và $d^{'} : a x + b y + c^{'} = 0$ là $d (d, d^{'}) = \frac{| c - c^{'} |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Lời giải:

Ta thấy $Δ$ và $Δ^{'}$ song song với nhau do có cùng VTPT $\vec{n} = (6; 8)$

$\Rightarrow$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng là:

$d (Δ, Δ^{'}) = \frac{| - 11 - (- 1) |}{\sqrt{6^{2} + 8^{2}}} = 1$

Bài 11 trang 66 SBT Toán 10: Một trạm viễn thông $S$ có tọa độ $(5; 1)$ . Một người đang ngồi trên chiếc xe khách chạy trên đoạn cao tốc có dạng một đường thẳng $Δ$ có phương trình $12 x + 5 y - 20 = 0$ . Tính khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông $S$ . Biết rằng mỗi đơn vị độ dài tương ứng với 1 km.