Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương IX sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 2. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Chân trời sáng tạo: Bài tập cuối chương 9

Câu hỏi trang 73 Toán 10

Bài 1 trang 73 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm $A(2;1),B(1;4),C(4;5),D(5;2)$

a) Chứng minh ABCD là một hình vuông

b) Tìm tọa độ tâm I của hình vuông ABCD

Phương pháp giải

a)       Bước 1: Tính AB, BC, CD, DA (Chứng minh AB=BC=CD=DA)

          Bước 2: Chứng minh $AB\mathrm{\perp }BC$ thông qua tích vô hướng

b) Sử dụng tính chất trung điểm $M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$ với M là trung điểm của AB

Lời giải 

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-1;3),\overrightarrow{BC}=(3;1),\overrightarrow{CD}=(1;-3),\overrightarrow{DA}=(-3;-1)$

Suy ra $AB=BC=CD=DA=\sqrt{10}$

Mặt khác $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=(-1).3+3.1=0\Rightarrow AB\mathrm{\perp }BC$

Vậy ABCD là hình vuông

b) Ta có ABCD là hình vuông, nên tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AC

Vậy tọa độ điểm I là $I(3;3)$

Bài 2 trang 73 Toán 10 Tập 2: Cho AB và CD là hai dây cung vuông góc tại E của đường tròn (O) .Vẽ hình chữ nhật AECF. Dùng phương pháp tọa độ mặt phẳng để chứng minh EF vuông góc với DB

Phương pháp giải

Bước 1: Xét với đường tròn bất kì, cho tọa độ các điểm A, B, C, D

Bước 2: Xác định tọa độ điểm E, F

Bước 3: Tính $\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{DB}$, suy ra vuông góc

Lời giải 

Xét với đường tròn (O) có phương trình $(O):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=25$

Cho các điểm $A(0;0),B(0;8),C(8;4),D(-2;4)$ nằm trên đường tròn (O) và thỏa mãn AB vuông góc với CD

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B có dạng $x=0$

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm C, D có dạng $y=4$

Ta có AB vuông góc với CD tại điểm E nên tọa độ điểm E là nghiệm của hệ sau:

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=4\end{array}\iff E(0;4)$

Gọi tọa độ của điểm F là: $F(x;y)$

ACEF là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{EC}$, mặt khác ta có: $\overrightarrow{AF}=(x;y),\overrightarrow{EC}=\left(8;0\right)$

Suy ra tọa độ điểm F là: $F\left(8;0\right)$

$\overrightarrow{EF}=\left(8;-4\right),\overrightarrow{DB}=\left(2;4\right)\Rightarrow \overrightarrow{EF}.\overrightarrow{BD}=8.2+\left(-4\right).4=0\Rightarrow \overrightarrow{EF}\mathrm{\perp }\overrightarrow{BD}$

Vậy ta chứng minh được EF vuông góc với DB

Bài 3 trang 73 Toán 10 Tập 2: Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d_1:x-y+2=0$ và $d_2:x+y+4=0$

b) $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3+2t\end{array}$ và $d_2:x-3y+2=0$

c)  $d_1:\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=1+3t^{\prime }\\ y=3+t^{\prime }\end{array}$

Phương pháp giải 

+) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình tạo bởi hai phương trình đường thẳng

+) Góc giữa hai đường thẳng được tính bằng công thức $\cos \left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|a_1{a}_2+b_1{b}_2\right|}{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2}.\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2}}$ với $\overrightarrow{n_1}=\left(a_1;b_1\right),\overrightarrow{n_2}=\left(a_2;b_2\right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_1$ và $d_2$

Lời giải 

a) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:

$\{\begin{array}{l}x-y+2=0\\ x+y+4=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-1\end{array}$

$\cos \left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|1.1+(-1).1\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{1^2+1^2}}=0\Rightarrow d_1\mathrm{\perp }{d}_2$

Vậy hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ vuông góc với nhau tại điểm có tọa độ $(-3;-1)$

b) Đường thẳng $d_1$ có phương trình tổng quát là: $d_1:2x-y+1=0$

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:

$\{\begin{array}{l}2x-y+1=0\\ x-3y+2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{5}\\ y=\frac{3}{5}\end{array}$

$\cos \left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|2.\left(-1\right)+1.(-3)\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{1^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \left(d_1,d_2\right)={45}^{\circ }$

Vậy hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại điểm có tọa độ $\left(-\frac{1}{5};\frac{3}{5}\right)$ và góc giữa chúng là ${45}^{\circ }$

c) Đường thẳng $d_1$ và $d_2$ lần lượt có phương trình tổng quát là:

$d_1:3x+y-11=0,d_2:x-3y+8=0$

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:

$\{\begin{array}{l}3x+y-11=0\\ x-3y+8=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\ y=\frac{7}{2}\end{array}$

$\cos \left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|3.1+1.(-3)\right|}{\sqrt{3^2+1^2}.\sqrt{1^2+{\left(-3\right)}^2}}=0\Rightarrow \left(d_1,d_2\right)={90}^{\circ }$

Vậy hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ vuông góc tại điểm có tọa độ $\left(\frac{5}{2};\frac{7}{2}\right)$

Câu hỏi trang 74 Toán 10

Bài 4 trang 74 Toán 10 Tập 2: Tính bán kính của đường tròn tâm $M(-2;3)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:14x-5y+60=0$

Phương pháp giải

Đường tròn với tâm $M(x;y)$ và tiếp tuyến d: $ax+by+c=0$ có $R=d\left(M,d\right)=\frac{\left|ax+by+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 

Lời giải 

Bán kính của đường tròn là:

$R=d\left(M,d\right)=\frac{\left|14.(-2)-5.3+60\right|}{\sqrt{{14}^2+{\left(-5\right)}^2}}=\frac{\sqrt{221}}{13}$

Vậy bán kính cần tìm là $\frac{\sqrt{221}}{13}$

Bài 5 trang 74 Toán 10 Tập 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: $\mathrm{\Delta }:6x+8y-13=0$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }:3x+4y-27=0$

Phương pháp giải

Cho $\mathrm{\Delta }//{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$, khi đó: $d(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime })=d\left(M,\mathrm{\Delta }\right)=\frac{\left|ax+by+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ với $M(x;y)\in {\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ bất kì và $\mathrm{\Delta }:ax+by+c=0$

Lời giải 

Ta có $\frac{6}{3}=\frac{8}{4}\ne \frac{-13}{-27}$ nên hai đường thẳng này song song với nhau.

Chọn điểm $A(9;0)\in {\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ ta có:

$d\left(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)=d\left(A,\mathrm{\Delta }\right)=\frac{\left|6.9+8.0-13\right|}{\sqrt{6^2+8^2}}=\frac{41}{10}$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho là $\frac{41}{10}$

Bài 6 trang 74 Toán 10 Tập 2: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn có phương trình:

a) ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-7\right)}^2=64$

b) ${\left(x+3\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=8$

c) $x^2+y^2-4x-6y-12=0$

Phương pháp giải

+) Với phương trình có dạng ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$ thì đường tròn có tâm là $I(a;b)$ và bán kính R

+) Với phương trình có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ thì đường tròn có tâm là $I(a;b)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$

Lời giải 

a) Phương trình đường tròn ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-7\right)}^2=64$ có dạng ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$ nên đường tròn có tâm là $I(2;7)$ và bán kinh $R=\sqrt{64}=8$

b) Phương trình đường tròn ${\left(x+3\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=8$ có dạng ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$ nên đường tròn có tâm là $I(-3;-2)$ và bán kinh $R=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

c) Phương trình đường tròn $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ nên đường tròn có tâm là $I(2;3)$ và bán kinh $R=\sqrt{2^2+3^2+12}=5$

Bài 7 trang 74 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Có tâm $I(-2;4)$ và bán kính bằng 9

b) Có tâm $I(1;2)$ và đi qua điểm $A(4;5)$

c) Đi qua hai điểm $A(4;1),B(6;5)$ và có tâm nằm trên đường thẳng $4x+y-16=0$

d) Đi qua gốc tọa độ và cắt 2 trục tọa độ tại các điểm có hoành độ a và tung độ là b

Phương pháp giải

a) Với tâm là $I(a;b)$ và bán kính R, phương trình đường tròn có dạng ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$

b)       Bước 1: Xác định bán kính (khoảng cách IA)

          Bước 2: Viết phương trình như câu a)

c)       Bước 1: Từ phương trình mà tâm nằm trên đó, gọi tọa độ tâm qua một ẩn

          Bước 2; Giải phương trình IA=IB tìm tọa độ điểm I (với I là tâm đường tròn)

          Bước 3: Viết phương trình đường tròn như câu a)

d)       Bước 1: Giả sử phương trình đường tròn có dạng $x^2+y^2-2mx-2ny+p=0$ (với tâm $I(m;n),R=\sqrt{m^2+n^2-p}$

          Bước 2: Thay tọa độ các điểm theo giả thiết vào phương trình, xác định m, n, p)

          Bước 3: Xác định phương trình đường tròn

Lời giải 

a) Ta có phương trình đường tròn là $(C_1):{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=81$

b) Ta có: $\overrightarrow{IA}=(3;3)\Rightarrow IA=3\sqrt{2}=R$

Suy ra phương trình đường tròn là; $C_2:{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=18$

c) Vì tâm đường tròn nằm trên đường thẳng $4x+y-16=0$ nên có tọa độ $I\left(a;16-4a\right)$

Ta có: $IA=\sqrt{{\left(a-4\right)}^2+{\left(16-4a-1\right)}^2},IB=\sqrt{{\left(a-6\right)}^2+{\left(16-4a-5\right)}^2}$

A, B thuộc đường tròn nên $IA=IB\Rightarrow \sqrt{{\left(a-4\right)}^2+{\left(16-4a-1\right)}^2}=\sqrt{{\left(a-6\right)}^2+{\left(16-4a-5\right)}^2}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\left(a-4\right)}^2+{\left(16-4a-1\right)}^2={\left(a-6\right)}^2+{\left(16-4a-5\right)}^2\\ \Rightarrow {\left(a-4\right)}^2+{\left(15-4a\right)}^2={\left(a-6\right)}^2+{\left(11-4a\right)}^2\\ \Rightarrow -28a=-84\Rightarrow a=3\end{array}$

Suy ra tâm đường tròn là $I(3;4)$, bán kính $R=IA=\sqrt{10}$

Phương trình đường tròn trên là $(C_3):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=10$

d) Giả sử phương trình đường tròn có dạng $x^2+y^2-2mx-2ny+p=0$ (với tâm $I(m;n),R=\sqrt{m^2+n^2-p}$)

Đường tròn đi qua gốc tọa độ và cắt 2 trục tọa độ tại các điểm có hoành độ a và tung độ là b nên ta có hệ phương trình:

Ta có điều kiện $a,b\ne 0$, vì khi bằng 0 thì trùng với gốc tọa độ

$\{\begin{array}{l}{0}^2+0^2-2m.0-2n.0+p=0\\ a^2+0^2-2ma-2n.0+p=0\\ 0^2+b^2-2m.0-2nb+p=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}p=0\\ a^2-2ma=0\\ b^2-2nb=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}p=0\\ m=\frac{a}{2}\\ n=\frac{b}{2}\end{array}$

Vậy phương trình chính tắc của đường tròn trên là $x^2+y^2-ax-by=0$

Bài 8 trang 74 Toán 10 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C):{\left(x-5\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=100$ tại điểm $M(11;11)$

Phương pháp giải 

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng (là vectơ $\overrightarrow{IM}$ với I là tâm đường tròn)

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng đó $a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)=0$ với $\overrightarrow{n}=(a;b)$ là vectơ pháp tuyến và $M\left(x_0;y_0\right)$ thuộc đường thẳng

Lời giải 

Ta có tâm của đường tròn $I(5;3)$

Tiếp tuyến nhận vectơ $\overrightarrow{IM}$ làm vectơ pháp tuyến nên ta có: $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{IM}=\left(6;8\right)$

Điểm M nằm trên tiếp tuyến nên ta có phương trình:

$6\left(x-11\right)+8\left(y-11\right)=0\iff 3x+4y-77=0$

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C):{\left(x-5\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=100$ tại điểm $M(11;11)$ là $3x+4y-77=0$

Bài 9 trang 74 Toán 10 Tập 2: Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục lớn và trục nhỏ của các elip sau:

a) $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{16}=1$

b) $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

c) $x^2+16y^2=16$

Phương pháp giải

Bước 1: Đưa phương trình về dạng phương trình chính tắc của elip

Bước 2: Phương trình có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $c=\sqrt{a^2-b^2}$ta có:

         Tọa độ các tiêu điểm: $F_1\left(-c;0\right),F_2\left(c;0\right)$

          Tọa độ các đỉnh: $A(0;b),B(a;0),C(0;-b),D(-a;0)$

          Độ dài trục lớn 2a

          Độ dài trục nhỏ 2b

Lời giải 

a) Phương trình $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{16}=1$ đã có dạng phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ nên ta có: $a=10,b=4\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{{10}^2-4^2}=2\sqrt{21}$

Suy ra ta có:

Tọa độ các tiêu điểm: $F_1\left(-2\sqrt{21};0\right),F_2\left(2\sqrt{21};0\right)$

Tọa độ các đỉnh: $A(0;4),B(10;0),C(0;-4),D(-10;0)$

Độ dài trục lớn 20

Độ dài trục nhỏ 8

b) Phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ đã có dạng phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ nên ta có: $a=5,b=4\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$

Suy ra ta có:

Tọa độ các tiêu điểm: $F_1\left(-3;0\right),F_2\left(3;0\right)$

Tọa độ các đỉnh: $A(0;4),B(5;0),C(0;-4),D(-5;0)$

Độ dài trục lớn 10

Độ dài trục nhỏ 8

c) $x^2+16y^2=16\iff \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{1}=1$

Vậy ta có phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{1}=1$

Suy ra $a=4,b=1\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$

Từ đó ta có:

Tọa độ các tiêu điểm: $F_1\left(-\sqrt{15};0\right),F_2\left(\sqrt{15};0\right)$

Tọa độ các đỉnh: $A(0;1),B(4;0),C(0;-1),D(-4;0)$

Độ dài trục lớn 8

Độ dài trục nhỏ 2

Bài 10 trang 74 Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của elip thỏa mãn từng điều kiện:

a) Đỉnh $(5;0),(0;4)$

b) Đỉnh $(5;0)$, tiêu điểm $(3;0)$

c) Độ dài trục lớn 16, độ dài trục nhỏ 12

d) Độ dài trục lớn 20, tiêu cự 12

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định a, b, c

Bước 2: Viết phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $c=\sqrt{a^2-b^2}$

Lời giải

a) Từ giả thiết ta có $a=5,b=4$

Suy ra phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

b) Ta có: $a=5,c=3\Rightarrow b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$

Suy ra phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

c) Từ giả thiết ta có: $2a=16,2b=12\Rightarrow a=8,b=6$

Suy ra phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$

d) Từ giả thiết ta có: $2a=20,2c=12\Rightarrow a=10,c=6\Rightarrow b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8$

Suy ra phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$

Bài 11 trang 74 Toán 10 Tập 2: Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo của các hypebol sau:

a) $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

b)  $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$

c) $x^2-16y^2=16$

d) $9x^2-16y^2=144$

Phương pháp giải

Bước 1: Đưa phương trình về dạng phương trình chính tắc của hypebol

Bước 2: Phương trình có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, $c=\sqrt{a^2+b^2}$ta có:

          Tọa độ các tiêu điểm: $F_1\left(-c;0\right),F_2\left(c;0\right)$

          Tọa độ các đỉnh: $A(0;b),B(a;0),C(0;-b),D(-a;0)$

          Độ dài trục thực 2a

          Độ dài trục ảo 2b

Lời giải 

a) Phương trình $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ đã có dạng phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ nên ta có: $a=4,b=3\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$

Suy ra ta có:

Tọa độ các tiêu điểm: $F_1\left(-5;0\right),F_2\left(5;0\right)$

Tọa độ các đỉnh: $A(0;3),B(4;0),C(0;-3),D(-4;0)$

Độ dài trục thực 8

Độ dài trục ảo 6

b) Phương trình $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$ đã có dạng phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ nên ta có: $a=8,b=6\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$

Suy ra ta có:

Tọa độ các tiêu điểm: $F_1\left(-10;0\right),F_2\left(10;0\right)$

Tọa độ các đỉnh: $A(0;6),B(8;0),C(0;-6),D(-8;0)$

Độ dài trục thực 16

Độ dài trục ảo 12

c) $x^2-16y^2=16\iff \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{1}=1$

Vậy ta có phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{1}=1$

Suy ra $a=4,b=1\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$

Từ đó ta có:

Tọa độ các tiêu điểm: $F_1\left(-\sqrt{17};0\right),F_2\left(\sqrt{17};0\right)$

Tọa độ các đỉnh: $A(0;1),B(4;0),C(0;-1),D(-4;0)$

Độ dài trục thực 8

Độ dài trục ảo 2

d) $9x^2-16y^2=144\iff \frac{x^2}{\frac{144}{9}}-\frac{y^2}{\frac{144}{16}}=1$

Vậy ta có phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

Suy ra $a=4,b=3\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$

Từ đó ta có:

Tọa độ các tiêu điểm: $F_1\left(-5;0\right),F_2\left(5;0\right)$

Tọa độ các đỉnh: $A(0;3),B(4;0),C(0;-3),D(-4;0)$

Độ dài trục thực 8

Độ dài trục ảo 6

Bài 12 trang 74 Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) Đỉnh $(3;0)$, tiêu điểm $(5;0)$

b) Độ dài trục thực 8, độ dài trục ảo 6

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định a, b, c

Bước 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với $b=\sqrt{c^2-a^2}$

Lời giải 

a) Từ giả thiết ta có: $a=3,c=5\Rightarrow b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$

Ta có phương trình chính tắc của hypebol là: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$

b) Ta có: $2a=8,2b=6\Rightarrow a=4,b=3$

Suy ra phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

Bài 13 trang 74 Toán 10 Tập 2: Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

a) $y^2=12x$

b) $y^2=x$

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định tiêu cự của parabol (với phương trình chính tắc $y^2=2px$)

Bước 2: Xác định tọa độ tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)$

Bước 3: Viết phương trình đường chuẩn có dạng $\mathrm{\Delta }:x+\frac{p}{2}=0$

Lời giải

a) Từ phương trình chính tắc $y^2=12x$ ta có $p=6$

Suy ra

+) Tiêu điểm của parabol $F(3;0)$

+) Phương trình đường chuẩn của parabol $\mathrm{\Delta }:x+3=0$

b) Từ phương trình chính tắc $y^2=x$ ta có $p=\frac{1}{2}$

Suy ra

+) Tiêu điểm của parabol $F(\frac{1}{4};0)$

+) Phương trình đường chuẩn của parabol $\mathrm{\Delta }:x+\frac{1}{4}=0$

Bài 14 trang 74 Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) Tiêu điểm $(4;0)$

b) Đường chuẩn có phương trình $x=-\frac{1}{6}$

c) Đi qua điểm $(1;4)$

d) Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8

Phương pháp giải

a,b)    Bước 1: Xác định p

                   +) Tiêu điểm có tọa độ $F\left(\frac{p}{2};0\right)$

                   +) Đường chuẩn có phương trình $\mathrm{\Delta }:x+\frac{p}{2}=0$

          Bước 2: Viết phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$

c)       Bước 1: Gọi phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$

          Bước 2: Thay tọa độ điểm trên tìm p

          Bước 3: Xác định phương trình chính tắc

d)       Bước 1: Gọi tiêu điểm và phương trình đường chuẩn tổng quát

          Bước 2: Từ khoảng cách tìm p

          Bước 3: Xác định phương trình chính tắc $y^2=2px$

Lời giải 

a) Tiêu điểm có tọa độ $(4;0)$ nên ta có $p=8$

Suy ra phương trình chính tắc của parabol là: $y^2=16x$

b) Đường chuẩn có phương trình $x=-\frac{1}{6}$, nên ta có $p=-\frac{1}{3}$

Suy ra phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=-\frac{2}{3}x$

c) Gọi phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$

Thay tọa độ điểm $(1;4)$ vào phương trình $y^2=2px$ ta có:

$4^2=2p.1\Rightarrow p=8$

Vậy phương trình chính tắc của parabol là $y^2=16x$

d) Gọi $F\left(\frac{p}{2};0\right)$, $\mathrm{\Delta }:x+\frac{p}{2}=0$ lần lượt là tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol ta có:

$d\left(F,\mathrm{\Delta }\right)=\frac{\left|\frac{p}{2}+\frac{p}{2}\right|}{1}=8\Rightarrow p=8$

Vậy phương trình chính tắc của parabol là $y^2=16x$

Bài 15 trang 74 Toán 10 Tập 2: Một gương lõm có mặt cắt hình parabol như hình 1, có tiêu điểm cách đỉnh 5 cm. Cho biết bề sâu của gương là 45 cm. Tính khoảng cách AB

Phương pháp giải

Bước 1: Từ tiêu điểm $F(\frac{p}{2};0)$ viết phương trình chính tắc của parabol có dạng

Bước 2: Thay $x=45$ vào phương trình trên tìm $y_A$

Bước 3: Xác định khoảng cách $AB=2.y_A$$y^2=2px$

Lời giải 

Từ giả thiết ta có tiêu điểm $F(5;0)$, suy ra $\frac{p}{2}=5$ hay $p=10$.

Vậy phương trình chính tắc của parabol là: $y^2=20x$

Chiều sâu của gương là 45 cm tương ứng với $x_A=45$, thay $x_A=45$ vào phương trình $y^2=20x$ ta có: $y^2=20.45=900\Rightarrow y_A=30\Rightarrow AB=2y_A=60$

Vậy khoảng cách AB là $60cm$

Câu hỏi trang 75 Toán 10

Bài 16 trang 75 Toán 10 Tập 2: Một bộ thu năng lượng mặt trời để làm nóng nước được làm bằng một tấm thép không gỉ có mặt cắt hình parabol (hình 2). Nước sẽ chảy thông qua một đường ống nằm ở tiêu điểm của parabol

a) Viết phương trình chính tắc của parabol

b) Tính khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol

Phương pháp giải 

a)       Bước 1: Xác định điểm nằm trên đường parabol

Bước 2: Giả sử phương trình của parabol là $y^2=2px$, thay tọa độ điểm vừa tìm được tìm p

Bước 3: Xác định phương trình chính tắc của parabol

b) Xác định tọa độ của tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)$

Lời giải 

a) Vẽ lại parabol mô phỏng mặt cắt trên như hình dưới

Ta có: $OA=1,BC=2y_B=6\Rightarrow B\left(1;3\right)$

Giả sử phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$

Thay tọa độ điểm B vào phương trình $y^2=2px$ ta có: $3^2=2p.1\Rightarrow p=\frac{9}{2}$

Vậy phương trình chính tắc của parabol mô phỏng mặt cắt trên là $y^2=9x$

b) Khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol chính là độ dài từ đỉnh tới tiêu điểm của parabol

Từ phương trình chính tắc ta có tiêu điểm $F\left(\frac{9}{4};0\right)$

Vậy khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol là $\frac{9}{4}$ m

Bài 17 trang 75 Toán 10 Tập 2: Cổng trời của một thành phố dạng hình parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là 192 m (hình 3). Từ một điểm M trên thân cổng, người ta đo được khoảng cách đến mặt đất là 2 m và khoảng cách từ chân đường vuông góc kẻ từ M xuống mặt đất đến chân cổng gần nhất là 0,5 m. Tính chiều cao của cổng

Phương pháp giải

Bước 1: Gắn hệ trục tọa độ Oxy

Bước 2: Gọi phương trình chính tắc mô phỏng cổng là $y^2=2px$

Bước 3: Thay điểm M vào phương trình, xác định phương trình parabol

Bước 4: Xác định chiều cao của cổng

Lời giải 

Gắn hệ trục Oxy vào chiếc cổng, gọi chiều cao của cổng là h ta vẽ lại parabol như dưới đây:

Phương trình parabol mô phỏng cổng có dạng $y^2=2px$

Theo giả thiết $AB=2y_A=192\Rightarrow y_A=96,OC=h\Rightarrow M\left(h-2;95,5\right),A\left(h;96\right)$

Thay tọa độ các điểm $M\left(h-2;95,5\right),A\left(h;96\right)$ vào phương trình $y^2=2px$ ta có:

$\{\begin{array}{l}95,5^2=2p\left(h-2\right)\\ {96}^2=2ph\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}p=\frac{383}{16}\\ h\simeq 192,5\end{array}$

Vậy chiều cao của cổng gần bằng 192,5 m

Bài 18 trang 75 Toán 10 Tập 2: Một người đứng giữa một tấm ván gỗ đặt trên một giàn giáo để sơn tường nhà. Biết rằng dàn giáo dài 16m và độ võng tại tâm của ván gỗ (điểm ở giữa của ván gỗ) là 3 cm (hình 4). Cho biết đường cong của ván gỗ có hình parabol

a) Giả sử tâm ván gỗ trùng với đỉnh của parabol, tìm phương trình chính tắc của parabol

b) Điểm có độ võng 1 cm cách tâm ván gỗ bao xa? 

Phương pháp giải

a)       Bước 1: Giả sử phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$

          Bước 2: Từ giả thiết, xác định điểm thuộc parabol

          Bước 3: Thay tọa độ điểm đó vào phương trình $y^2=2px$, tìm p và xác định phương trình chính tắc của parabol

b) Thay $x=1$ vào phương trình chính tắc vừa tìm được tìm y

Lời giải 

a) Ta vẽ lại parabol và chọn hệ trục tọa độ như hình dưới

Giả sử phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$

Từ giả thiết ta có: $AB=2y_A=16\Rightarrow y_A=8\Rightarrow A\left(0,03;8\right)$

Thay tọa độ điểm A vào phương trình $y^2=2px$ta được $8^2=2p.0,03\Rightarrow p=\frac{3200}{3}$

Vậy Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=\frac{6400}{3}x$

b) Thay $x=1$vào phương trình $y^2=\frac{6400}{3}x$ ta có $y^2=\frac{6400}{3}.1\Rightarrow y=\frac{80\sqrt{3}}{3}\simeq 46,2$

Vậy điểm có độ võng 1 cm cách tâm ván gỗ gần bằng 46,2 m

Chú ý khi giải: đổi về cùng đơn vị đo