Với Giải SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

SBT Toán 10 Cánh diều Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Câu hỏi trang 29 SBT Toán 10

Bài 10 trang 29 SBT Toán 10: Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y<0\\ x+3y>-2\\ -x+y<3\end{array}\right.$

A. (1; 0);

B. (– 1; 0);

C. (– 2; 3);

D. (0; – 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Ta xét hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y<\mathrm{0\; (1)}\\ x+3y>\mathrm{-2\; (2)}\\ -x+y<\mathrm{3\; (3)}\end{array}\right.$

+) Thay x = 1 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ 1 – 2.0 < 0 ⇔ 1 < 0 (vô lí);

(2) ⇔ 1 + 3.0 > – 2 ⇔ 1 > – 2 (luôn đúng);

(3) ⇔ – 1 + 0 < 3 ⇔ – 1 < 3 (luôn đúng).

Do đó cặp số (1; 0) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay x = – 1 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ – 1 – 2.0 < 0 ⇔ – 1 < 0 (luôn đúng);

(2) ⇔ – 1 + 3.0 > – 2 ⇔ – 1 > – 2 (luôn đúng);

(3) ⇔ 1 + 0 < 3 ⇔ 1 < 3 (luôn đúng).

Do đó cặp số (– 1; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay x = – 2 và y = 3 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ – 2 – 2.3 < 0 ⇔ – 8 < 0 (luôn đúng);

(2) ⇔ – 2 + 3.3 > – 2 ⇔ 7 > – 2 (luôn đúng);

(3) ⇔ 2 + 3 < 3 ⇔ 5 < 3 (vô lí).

Do đó cặp số (– 2; 3) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay x = 0 và y = – 1 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ 0 – 2.(– 1) < 0 ⇔ 2 < 0 (vô lí);

(2) ⇔ 0 + 3.(– 1)  > – 2 ⇔ – 3 > – 2 (vô lí);

(3) ⇔ 0 + (– 1) < 3 ⇔ – 1 < 3 (luôn đúng).

Do đó cặp số (0; – 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Vậy (– 1; 0) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Bài 11 trang 29 SBT Toán 10: Cặp số nào sau đây không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 2\\ 2x-3y>-2·\end{array}\right.$

A. (0; 0);

B. (1; 1);

C. (– 1; 1);

D. (– 1; – 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 2 \left(1\right)\\ 2x-3y>-2 \left(2\right)\end{array}\right.$

+) Thay x = 0 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ 0 + 0 ≤ 2 ⇔ 0 ≤ 2 (luôn đúng);

(2) ⇔ 2.0 – 3.0 > – 2 ⇔ 0 > – 2 (luôn đúng).

Do đó cặp số (0; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay x = 1 và y = 1 lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ 1 + 1 ≤ 2 ⇔ 2 ≤ 2 (luôn đúng);

(2) ⇔ 2.1 – 3.1 > – 2 ⇔ – 1 > – 2 (luôn đúng).

Do đó cặp số (1; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay x = – 1 và y = 1 lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ – 1 + 1 ≤ 2 ⇔ 0 ≤ 2 (luôn đúng);

(2) ⇔ 2.(– 1) – 3.1 > – 2 ⇔ – 5 > – 2 (vô lí).

Do đó cặp số (– 1; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay x = – 1 và y = – 1 lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ – 1 + (– 1) ≤ 2 ⇔ – 2 ≤ 2 (luôn đúng);

(2) ⇔ 2.(– 1) – 3.(– 1) > – 2 ⇔ 1 > – 2 (luôn đúng).

Do đó cặp số (– 1; – 1) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Vậy cặp số (– 1; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Bài 12 trang 29 SBT Toán 10: Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-5y>1\\ 2x+y>-5\\ x+y<-1\end{array}\right.$ là phần mặt phẳng chứa điểm có tọa độ:

A. (0; 0);

B. (1; 0);

C. (0; 2);

D. (0; – 2).

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Ta xét hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-5y>1 \left(1\right)\\ 2x+y>-5 \left(2\right)\\ x+y<-1 \left(3\right)\end{array}\right.$

+) Thay x = 0 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ 2.0 – 5.0 > 1 ⇔ 0 > 1 (vô lí);

(2) ⇔ 2.0 + 0 > – 5 ⇔ 0 > – 5 (luôn đúng);

(3) ⇔ 0 + 0 < – 1 ⇔ 0 < – 1 (vô lí).

Do đó cặp số (0; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay x = 1 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ 2.1 – 5.0 > 1 ⇔ 2 > 1 (luôn đúng);

(2) ⇔ 2.1 + 0 > – 5 ⇔ 2 > – 5 (luôn đúng);

(3) ⇔ 1 + 0 < – 1 ⇔ 1 < – 1 (vô lí).

Do đó cặp số (1; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay x = 0 và y = 2 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ 2.0 – 5.2 > 1 ⇔ – 10 > 1 (vô lí);

(2) ⇔ 2.0 + 2 > – 5 ⇔ 2 > – 5 (luôn đúng);

(3) ⇔ 0 + 2 < – 1 ⇔ 2 < – 1 (vô lí).

Do đó cặp số (0; 2) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay x = 0 và y = – 2 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ 2.0 – 5.(– 2) > 1 ⇔ 10 > 1 (luôn đúng);

(2) ⇔ 2.0 + (– 2) > – 5 ⇔ – 2 > – 5 (luôn đúng);

(3) ⇔ 0 + (– 2)  < – 1 ⇔ – 2  < – 1 (luôn đúng).

Do đó cặp số (0; – 2 ) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Câu hỏi trang 30 SBT Toán 10

Bài 13 trang 30 SBT Toán 10: Miền đa giác ABCD ở Hình 9 là miền nghiệm của hệ bất phương trình:

A. $\left\{\begin{array}{l}x + y \le 4\\ x + y \ge -1\\ x - y \le 2\\ x - y \ge -2\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}x - y \le 4\\ x - y \ge -1\\ x + y \le 2\\ x + y \ge -2\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}x + y \le 1\\ x + y \ge -4\\ x - y \le 2\\ x - y \ge -2\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}x - y \le 1\\ x - y \ge -4\\ x + y \le 2\\ x + y \ge -2\end{array}\right.$

Lời giải:

Đáp án đúng là A

+) Gọi d₁ là đường thẳng đi qua hai điểm A và D. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm (– 2; 0) và (0; 2) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x}{2} + \frac{y}{2}$ = x - y = -2.

Lấy điểm O(0; 0) ta có 0 – 0 = 0 > – 2.

Mà điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x – y ≥  – 2.

+) Gọi d₂ là đường thẳng đi qua hai điểm A và D. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm (4; 0) và (0; 4) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x}{4}+\frac{y}{4}$ = 1 $\iff$ x+y = 4.

Lấy điểm O(0; 0) ta có 0 + 0 = 0 < 4.

Mà điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x + y ≤ 4.

+) Gọi d₃ là đường thẳng đi qua hai điểm B và C. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm (2; 0) và (0; – 2) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x}{2}+\frac{y}{-2}$ = 1 $\iff$x - y = 2.

Lấy điểm O(0; 0) ta có 0 – 0 = 0 < 2.

Mà điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x – y ≤ 2.

+) Gọi d₄ là đường thẳng đi qua hai điểm D và C. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm (– 1; 0) và (0; – 1) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x}{-1}+\frac{y}{-1}$ = 1 $\iff$ x + y = -1.

Lấy điểm O(0; 0) ta có 0 + 0 = 0 > – 1.

Mà điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x +  y ≥ – 1.

Từ đó ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}x-y \ge -2\\ x+y \le 4\\ x - y \le 2\\ x + y \ge -1\end{array}\right.$.

Bài 14 trang 30 SBT Toán 10: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = – x + y trên miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-2x + y \le 2\\ -x + 2y \ge 4\\ x + y \le 5\end{array}\right.$.

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Bài toán đã cho trở thành tìm nghiệm (x; y) của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-2x + y \le 2\\ -x + 2y \ge 4\\ x + y \le 5\end{array}\right.$ sao cho biểu thức F = – x + y đạt giá trị nhỏ nhất.

Trước hết ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho:

Ta có ba đường thẳng: d₁: – 2x + y = 2; d₂: – x + 2y = 4 và d₃: x + y = 5.

+) Lấy O(0; 0) có – 2.0 + 0 = 0 < 2. Do đó miền nghiệm của bất phương trình – 2x + y ≤ 2 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) có bờ là đường thẳng d₁.

+) Lấy O(0; 0) có – 0 + 2.0 = 0 < 4. Do đó miền nghiệm của bất phương trình – x + 2y ≥ 4 là nửa mặt phẳng không chứa điểm O(0; 0) có bờ là đường thẳng d₂.

+) Lấy O(0; 0) có 0 + 0 = 0 < 5. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) và có bờ là đường thẳng d₃.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC với A(0; 2), B(1; 4) và C(2; 3) như trong hình vẽ sau:

Ta đã chứng minh được biểu thức F = – x + y có giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của tam giác ABC.

Tại điểm A, với x = 0, y = 2 thì F = – 0 + 2 = 2.

Tại điểm B, với x = 1, y = 4 thì F = – 1 + 4 = 3.

Tại điểm C, với x = 2, y = 3 thì F = – 2 + 3 = 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức F là 1 khi x = 2 và y = 3.

Bài 15 trang 30 SBT Toán 10: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau:

a) $\left\{\begin{array}{l}x-2y\le 3\\ x+y\ge -3,\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}x + y \le 5\\ x - 2y \le 2\\ x \ge -1\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}-3x + 2y < 6\\ x - 2y \ge -2\\ 2x + y < 4\end{array}\right.$

Lời giải:

a) Ta có hai đường thẳng: d₁: x – 2y = 3; d₂: x + y = – 3.

+) Lấy O(0; 0) không thuộc vào đường thẳng d₁ có 0 – 2.0 = 0 < 3. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x – 2y ≤ 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) có bờ là đường thẳng d₁.

+) Lấy O(0; 0) không thuộc đường thẳng d₂ có 0 + 0 = 0 > – 3. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x + y ≥ – 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) có bờ là đường thẳng d₂.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không tô màu như trong hình vẽ sau:

b) Ta có ba đường thẳng: d₁: x + y = 5; d₂: x – 2y = 2 và d₃: x = – 1.

+) Lấy O(0; 0) không thuộc đường thẳng d₁ có 0 + 0 = 0 < 5. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) có bờ là đường thẳng d₁.

+) Lấy O(0; 0) không thuộc đường thẳng d₂ có 0 – 2.0 = 0 < 2. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x – 2y ≤ 2 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) có bờ là đường thẳng d₂.

+) Lấy O(0; 0) không thuộc đường thẳng d₃ có 0 ≥ – 1. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x ≥ – 1 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) và có bờ là đường thẳng d₃.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình được biểu diễn là phần không tô màu như trong hình vẽ sau:

c) Ta có ba đường thẳng: d₁: – 3x + 2y = 6; d₂: x – 2y = – 2 và d₃: 2x + y = 4.

+) Lấy O(0; 0) không thuộc đường thẳng d₁ có – 3.0 + 2.0 = 0 < 6. Do đó miền nghiệm của bất phương trình – 3x + 2y < 6 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) không kể bờ là đường thẳng d₁ .

+) Lấy O(0; 0) không thuộc đường thẳng d₂ có 0 – 2.0 = 0 > – 2 . Do đó miền nghiệm của bất phương trình x – 2y ≥ – 2 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) có bờ là đường thẳng d₂.

+) Lấy O(0; 0) không thuộc đường thẳng d₃ có 2.0 + 0 < 4. Do đó miền nghiệm của bất phương trình 2x + y < 4 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) và không kể bờ là đường thẳng d₃.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình được biểu diễn là miền không tô màu như trong hình vẽ sau:

Bài 16 trang 30 SBT Toán 10: Viết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có miền nghiệm là miền đa giác không bị gạch ở mỗi Hình 10a, 10b.

Lời giải:

Xét Hình 10a):

Ta có: Đường thẳng d₁ đi qua hai điểm O và A là trục tung Oy có phương trình x = 0.

Ta thấy điểm B thuộc miền nghiệm nằm bên phải trục tung nên điểm B thỏa mãn bất phương trình x ≥ 0 (1)

Đường thẳng d₂ đi qua hai điểm O và B là trục hoành Ox có phương trình y = 0.

Ta thấy điểm B thuộc miền nghiệm nằm trên trục hoành nên điểm B thỏa mãn bất phương trình y ≥ 0 (2)

Đường thẳng d₃ đi qua hai điểm A(0; 6) và B(3; 0) có phương trình là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{6} = 1 \iff$ 2x + y  = 6.

Ta thấy điểm O(0; 0) có 2.0 + 0 = 0 < 6 thuộc miền nghiệm nên điểm O thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 6 (3).

Từ (1), (2) và (3) miền nghiệm tam giác OAB biểu diễn cho hệ bất phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x \ge 0\\ y \ge 0\\ 2x+y\le 6\end{array}\right.$

Xét Hình 10b):

Ta có: Đường thẳng d₁ đi qua hai điểm A(0; 3) và B(9; 3) song song với trục hoành có phương trình y = 3.

Ta thấy điểm O thuộc miền nghiệm có 0 < 3 nên điểm O thỏa mãn bất phương trình y ≤ 3 (1)

Đường thẳng d₂ đi qua hai điểm A(0; 3) và D(– 5; – 2) cắt hai trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại các điểm có tọa độ là (– 3; 0) và (0; 3) có phương trình là: $\frac{x}{-3}+\frac{y}{3}=1\to x-y=-3$

Ta thấy điểm O thuộc miền nghiệm có 0 – 0 = 0 > – 3 nên điểm O thỏa mãn bất phương trình x – y ≥ – 3.

Đường thẳng d₃ đi qua hai điểm B(9; 3) và C(4; – 2) song song với đường thẳng d₂ có phương trình là: x – y = c.

Vì đường thẳng này đi qua B(9; 3) nên ta có: 9 – 3 = c hay c = 6.

Khi đó phương trình d₃ là x – y = 6.

Ta thấy điểm O(0; 0) có 0 – 0 = 0 < 3 thuộc miền nghiệm nên điểm O thỏa mãn bất phương trình x – y ≤ 3 (3).

Đường thẳng d₁ đi qua hai điểm C(4; – 2) và D(– 5; – 2) song song với trục hoành có phương trình y = – 2.

Ta thấy điểm O thuộc miền nghiệm có 0 > – 2 nên điểm O thỏa mãn bất phương trình y ≥ – 2 (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) miền nghiệm của tứ giác ABCD biểu diễn cho hệ bất phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}y \le 3\\ y \ge -2\\ x - y \ge -3\\ x - y \le 6\end{array}\right.$

Bài 17 trang 30 SBT Toán 10: a) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x + y \le 5\\ 3x + 2y \le 12\\ x \ge 1\\ y \ge 0\end{array}\right.$

b) Tìm x, y là nghiệm của hệ bất phương trình (III) sao cho F = 3x + 7y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Ta vẽ bốn đường thẳng:

d₁: x + y = 5 là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ (0; 5) và (5; 0);

d₂: 3x + 2y = 12 là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ (4; 0) và (0; 6);

d₃: x = 1 là đường thẳng song song với trục tung và đi qua điểm (1; 0);

d₄: y = 0 là trục hoành.

Ta xác định từng miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ, gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tứ giác ABCD với A(1; 0), B(1; 4), C(2; 3) và D(4; 0) như hình vẽ sau:

b) Ta có biểu thức F = 3x + 7y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD.

Tại A(1; 0) với x = 1 và y = 0 thì F = 3.1 + 7.0 = 3;

Tại B(1; 4) với x = 1 và y = 4 thì F = 3.1 + 7.4 = 31;

Tại C(2; 3) với x = 2 và y = 3 thì F = 3.2 + 7.3 = 27;

Tại D(4; 0) với x = 4 và y = 0 thì F = 3.4 + 7.0 = 12.

Vậy giá trị lớn nhất của F là 31 khi x = 1 và y = 4, giá trị nhỏ nhất của F là 3 khi x = 1 và y = 0 .

Câu hỏi trang 31 SBT Toán 10

Bài 18 trang 31 SBT Toán 10: Anh Trung có kế hoạch đầu tư 400 triệu đồng vào hai khoản X và Y. Để đạt được lợi nhuận thì khoản X phải đầu tư ít nhất 100 triệu đồng và số tiền đầu tư cho khoản Y không nhỏ hơn số tiền cho khoản X. Viết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để mô tả hai khoản đầu tư đó và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình vừa tìm được.

Lời giải:

Gọi x (triệu đồng) là số tiền anh Trung đầu tư vào khoản X và y (triệu đồng) là số tiền anh Trung đầu tư vào khoản Y (x, y ≥ 0).

Vì anh Trung đầu tư 400 triệu đồng vào hai khoản X và Y nên ta có x + y ≤ 400.

Để đạt được lợi nhuận thì khoản X phải đầu tư ít nhất 100 triệu đồng nên ta có x ≥ 100 và số tiền đầu tư cho khoản Y không nhỏ hơn số tiền cho X nên ta cũng có y ≥ x hay x – y ≤ 0.

Từ đó ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}x + y \le 400\\ x \ge 100\\ x - y \le 0\end{array}\right.$

Ta vẽ bốn đường thẳng:

d₁: x + y = 400 là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ (400; 0) và (0; 400);

d₂: x = 100 là đường thẳng song song với trục Oy và đi qua điểm có tọa độ (100; 0);

d₃: x – y = 0 là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ (0; 0) và (1; 1).

Ta xác định từng miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ, gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tứ giác ABCD với  như hình vẽ sau:

Bài 19 trang 31 SBT Toán 10: Một phân xưởng may áo vest và quần âu để chuẩn bị cho dịp cuối năm. Biết may 1 áo vest hết 2m vải và cần 20 giờ; 1 quần âu hết 1,5 m vải và cần 5 giờ. Xí nghiệp được giao sử dụng không quá 900 m vải và số giờ công không vượt quá 6 000 giờ. Theo khảo sát thị trường, số lượng quần bán ra không nhỏ hơn số lượng áo và không vượt quá 2 lần số lượng áo. Khi xuất ra thị trường, 1 chiếc áo lãi 350 nghìn đồng, 1 chiếc quần lãi 100 nghìn đồng. Phân xưởng cần may bao nhiêu áo vest và quần âu để thu được tiền lãi cao nhất (biết thị trường tiêu thụ luôn đón nhận sản phẩm của xí nghiệp).

Lời giải:

Gọi số lượng áo bán ra là x (cái) (x ∈ ℕ)

Số lượng quần bán ra là y (cái) (y ∈ ℕ).

Số mét vải để may x áo và y quần là: 2x + 1,5y (m).

Vì xí nghiệp được giao sử dụng không quá 900 m vải nên ta có: 2x + 1,5y ≤ 900 (1).

Số giờ để may x áo và y quần là: 20x + 5y (giờ).

Vì số giờ công không vượt quá 6 000 giờ nên ta có: 20x + 5y ≤ 6000 hay 4x + y ≤ 1200 (2).

Theo khảo sát thị trường, ta có:

Số lượng quần bán ra không nhỏ hơn số lượng áo y ≥ x (4)

Số lượng quần không vượt quá 2 lần số lượng áo y ≤ 2x (5)

Từ (1), (2), (3) và (4) nên ta có hệ bất phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}2x+1,5y \le 900\\ 4x + y \le 1200\\ y \ge x\\ y \le 2x\\ x \ge 0\\ y \ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+1,5y \le 900\\ 4x + y \le 1200\\ x - y \le 0\\ 2x - y \ge 0\\ x \ge 0\\ y \ge 0\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC với O(0; 0), A(180; 360), B(200; 250), C(240; 240).

Tiền lãi khi bán x cái áo và y cái quần là 350x + 100y (nghìn đồng).

Đặt T = 350x + 100y.

Ta có biểu thức T = 350x + 100y có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OABC.

Tính giá trị biểu thức T tại các đỉnh của tứ giác:

Tại O(0; 0), với x = 0  và y = 0  thì T = 350.0 + 100.0 = 0;

Tại A(180; 360), với x = 180 và y = 360 thì T = 350.180 + 100.360 = 99 000;

Tại B(225; 300), với x = 225 và y = 300 thì T = 350.225 + 100.300 = 108 750;

Tại C(240; 240), với x = 240 và y = 240 thì T = 350.240 + 100.240 = 108 000;

Ta được T đạt giá trị lớn nhất bằng 108 750 000 đồng khi x = 225, y = 300.

Vậy để thu được tiền lãi là cao nhất thì phân xưởng cần may 225 cái áo vest, 300 cái quần âu.