Chứng minh với mọi n thuộc N sao, (1 + căn bậc hai 2)^n, (1- căn bậc hai 2)^n

Với giải Luyện tập 2 trang 26 Chuyên đề Toán 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Luyện tập 2 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh với mọi n ∈ ℕ^*, ${(1 + \sqrt{2})}^{n}$ , ${(1 - \sqrt{2})}^{n}$ lần lượt viết được ở dạng $a_{n} + b_{n} \sqrt{2},$ $a_{n} - b_{n} \sqrt{2}$ , trong đó a_n, b_n là các số nguyên dương.

Lời giải:

+) Khi n = 1, ta có:

a₁ = 1, b₁ = 1.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: viết được dưới dạng trong đó a_{k + 1}, b_{k + 1} là các số nguyên dương.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

với a_k, b_klà các số nguyên dương.

Khi đó:

Chứng minh với mọi n thuộc N sao, (1 + căn bậc hai 2)^n, (1- căn bậc hai 2)^n (ảnh 1)

Vì a_k, b_klà các số nguyên dương nên a_k + 2b_k và a_k + b_k cũng là các số nguyên dương.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ^*.

+) Theo chứng minh trên ta có:

Với mọi n ∈ ℕ^* thì = với a_n, b_nlà các số nguyên dương.

Chứng minh tương tự ta được:

Với mọi n ∈ ℕ^* thì = với c_n, d_nlà các số nguyên dương.

Giờ ta chứng minh a_n = c_n và b_n = d_n với mọi n ℕ^*.

Cách 1:

Xét mệnh đề P(n): a_n = c_n và b_n = d_n với mọi n ∈ ℕ^*.

+) Khi n = 1, ta có:

a₁ = 1, b₁ = 1.

c₁ = 1, d₁ = 1.

Vậy a₁ = c₁, b₁ = d₁.

Vậy mệnh đề P(n) đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề P(n) cũng đúng với k + 1, tức là: a_{k + 1} = c_{k + 1} và b_{k + 1} = d_{k + 1}.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: a_k = c_k và b_k = d_k(1).

Mặt khác:

Chứng minh với mọi n thuộc N sao, (1 + căn bậc hai 2)^n, (1- căn bậc hai 2)^n (ảnh 1)