Cho Sn = 1 + 1/2 + 1/2^2 + ... + 1/2^n và Tn = 2

Cho Sn = 1 + 1/2 + 1/2^2 + ... + 1/2^n và Tn = 2 - 1/2^n

Nguyễn Trang Ngày: 13-11-2022 Lớp 10

590

Với giải Bài 2 trang 29 Chuyên đề Toán 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 2 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho $S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{2^{n}}$ và $T_{n} = 2 - \frac{1}{2^{n}}$ , với n ∈ ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

Cho Sn = 1 + 1/2 + 1/2^2 + ... + 1/2^n và Tn = 2 - 1/2^n (ảnh 1)

Vậy S₁ = T₁; S₂ = T₂; S₃ = T₃.

b) Ta dự đoán S_n = T_n với n ∈ ℕ^*.

+) Khi n = 1, ta có: S₁ = T₁.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: S_{k + 1} = T_{k + 1}.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: S_k = T_k.

Khi đó:

Cho Sn = 1 + 1/2 + 1/2^2 + ... + 1/2^n và Tn = 2 - 1/2^n (ảnh 1)

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ^*. Vậy S_n = T_n = $2 - \frac{1}{2^{n}}$ với n ∈ ℕ^*.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: