Với giải Bài 5 trang 29 Chuyên đề Toán 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học
Bài 5 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh với mọi n ∈ ℕ*, ta có:
a) 4n + 15n – 1 chia hết cho 9;
b) 13n – 1 chia hết cho 6.
Lời giải:
a)
+) Khi n = 1, ta có: 41 + 15 . 1 – 1 = 18 ⁝ 9.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 4k + 1 + 15(k+1) – 1 ⁝ 9.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 4k + 15k – 1 ⁝ 9.
Khi đó:
4k + 1 + 15(k+1) – 1
= 4 . 4k + 15k + 14
= 4. 4k + (60k – 45k) + (–4 + 18)
= (4 . 4k + 60k – 4) – 45k + 18
= 4 . (4k + 15k – 1) – 45k + 18
Vì 4k + 15k – 1, 45k và 18 đều chia hết cho 9 nên 4 . (4k + 15k – 1) – 45k + 18 ⁝ 9, do đó 4k + 1 + 15(k+1) – 1 ⁝ 9.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.
b)
+) Khi n = 1, ta có: 131 – 1 = 12 ⁝ 6.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 13k + 1 – 1 ⁝ 6.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 13k – 1 ⁝ 6.
Khi đó:
13k + 1 – 1
= 13 . 13k – 1
= 13 . 13k – 13 + 12
= 13 . (13k – 1) + 12
Vì 13k – 1 và 12 đều chia hết cho 6 nên 13 . (13k – 1) + 12 ⁝ 6, do đó 13k + 1 – 1 ⁝ 6.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.
Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:
-
Hoạt động trang 23 Chuyên đề Toán 10:Xét mệnh đề chứa biến P(n) : "1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2" với n là số nguyên dương.
-
Luyện tập 1 trang 25 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ* ta có: a, 1/(√1+√2)+ 1/(√2+√3)+ ... + 1/(√n+√(n+1)) = √(n+1)- 1 ....
-
Luyện tập 2 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh với mọi n ∈ ℕ*,, lần lượt viết được ở dạng , trong đó an, bn là các số nguyên dương. ....
-
Luyện tập 3 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh 16n – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n ∈ ℕ* ....
-
Bài 1 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho Sn = 1 + 2 + 22 +... + 2n và Tn = 2n+1 – 1, với n ∈ ℕ*.
a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3 ....
-
Bài 2 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho và , với n ∈ ℕ*
-
Bài 3 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho , với n ∈ ℕ* ....
-
Bài 4 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q2 +... + qn – 1 = với n ∈ ℕ* ....
-
Bài 6 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh nn > (n + 1)n - 1 với n ∈ ℕ*, n ≥ 2 ....
-
Bài 7 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + ... + abn –2 + bn – 1) với n ∈ ℕ* ....
-
Bài 8 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất).
a) Nêu quy luật chọn tam giác đều màu trắng ở Hình thứ hai.
b) Nêu quy luật chọn các tam giác đều màu trắng ở Hình thứ ba ....
-
Bài 9 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Quan sát Hình 6. a) Nêu quy luật sắp xếp các chấm đỏ và vàng xen kẽ nhau khi xếp các chấm đó từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải (tạo thành hinh vuông) ....
-
Bài 10 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/năm. Hết năm đầu tiên, cô Hạnh không rút tiền ra và gửi thêm A (đồng) nữa. Hết năm thứ hai, cô Hạnh cũng không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa. Cứ tiếp tục như vậy cho những năm sau ....
-
-
Bài 11 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. Biểu lãi suất của ngân hàng như sau: Chia mỗi năm thành m kì hạn và lãi suất r%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thi cứ sau mỗi kì hạn, số tiển lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu ....
-
