Tailieumoi.vn giới thiệu giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 6: Hypebol sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề học tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Nội dung bài viết
Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 6: Hypebol
a) Hãy giải thích vì sao nếu điểm M(x0; y0) thuộc hypebol thì các điểm có toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) cũng thuộc hypebol (H.3.12).
b) Tìm toạ độ các giao điểm của hypebol với trục hoành. Hypebol có cắt trục tung hay không? Vì sao?
c) Với điểm M(x0; y0) thuộc hypebol, hãy so sánh |x0| với a.
Lời giải:
a) Nếu điểm M(x0; y0) thuộc hypebol thì ta có: x20a2−y20b2=1.
Ta có:
x20a2−(−y0)2b2=(−x0)2a2−y20b2=(−x0)2a2−(−y0)2b2=x20a2−y20b2=1
nên các điểm có toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) cũng thuộc elip.
b)
+) Gọi A là giao điểm của hypebol với trục hoành.
Vì A thuộc trục Ox nên toạ độ của A có dạng (xA; 0)
Mà A thuộc hypebol nên x2Aa2−02b2=1⇒x2A=a2⇒[xA=axA=−a.
Do đó hypebol cắt trục Ox tại hai điểm A1(–a; 0) và A2(a; 0).
+) Giả sử hypebol cắt trục tung tại B.
Vì B thuộc trục Oy nên toạ độ của B có dạng (0; yB).
Mà B thuộc hypebol nên 02a2−y2Bb2=1⇒−y2Bb2=1 (vô lí).
Vậy hypebol không cắt trục tung.
c) M(x0; y0) thuộc hypebol nên ta có: x20a2−y20b2=1.
Vì y20b2≥0 nên x20a2≤1⇒x20≤a2⇒|x0| ≤a.
Luyện tập 1 trang 48 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol x264−y236=1.
a) Tìm tiêu cự và độ dài các trục.
b) Tìm các đỉnh và các đường tiệm cận.
Lời giải:
a) Có a2 = 64, b2 = 36
⇒{a=8,b=6c=√a2+b2=√64+36=10.
Do đó, tiêu cự của hypebol là 2c = 20, độ dài trục thực là 2a = 16, độ dài trục ảo là 2b = 12.
b) Các đỉnh của hypebol là A1(–8; 0), A2(8; 0).
Hai đường tiệm cận của hypebol là y=−bax=−68x=−34x và y=bax=68x=34x.
a) Tính MF12 – MF22.
b) Giả sử M(x0; y0) thuộc nhánh chứa đỉnh A2(a; 0), tức là, MF1 – MF2 = 2a. Tính MF1 + MF2, MF1, MF2.
c) Giả sử M(x0; y0) thuộc nhánh chứa đỉnh A1(–a; 0), tức là, MF2 – MF1 = 2a. Tính MF1 + MF2, MF1, MF2.
Lời giải:
a) MF12 – MF22 = (x2 + 2cx + c2 + y2) – (x2 – 2cx + c2 + y2) = 4cx.
b) Ta có: MF12 – MF22 = 4cx ⇒ (MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx
⇒ (MF1 + MF2)2a = 4cx
⇒ MF1 + MF2 = 4cx2a = 2cax. Khi đó:
(MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) = 2cax + 2a ⇒ 2MF1 = 2cax + 2a
⇒ MF1 = a + cax = |a+cax|.
(MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) = 2cax – 2a ⇒ 2MF2 = 2cax – 2a
⇒ MF2 = cax – a = |a−cax|.
c) Ta có: MF12 – MF22 = 4cx
⇒ (MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx
⇒ (MF1 + MF2)(–2a) = 4cx
⇒ MF1 + MF2 = 4cx2a = –2cax. Khi đó:
(MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) = –2cax + (–2a) ⇒ 2MF1 = –2cax – 2a
⇒ MF1 = –(cax+a) = |a+cax|.
(MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) = –2cax – (–2a) ⇒ 2MF2 = – 2cax+ 2a
⇒ MF2 = a –cax = |a−cax|.
Lời giải:
Hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng 6√3 ⇒ 2a = 6, 2b = 6√3
⇒ a = 3, b = 3√3 ⇒ c = √a2+b2=√32+(3√3)2 = 6.
Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:
MF1 = |a+cax|=|3+63.9|=21.
MF2 = |a−cax|=|3−63.9|=15.
Lời giải:
Có a2 = 1, b2 = 3 ⇒ a =1, b = √3 ⇒ c = √a2 + b2 = 2.
Gọi (x; y) là toạ độ của M.
Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:
MF2 = |a−cax|=|1−21.x|=|1−2x|.
Nếu M thuộc nhánh bên trái thì x ≤ –a = –1. Khi đó 1 – 2x ≥ 1 – 2(–1) = 3.
Suy ra MF2 = |1 – 2x| ≥ 3.
Nếu M thuộc nhánh bên phải thì x ≥ a = 1. Khi đó 1 – 2x ≤ 1 – 2.1 = –1.
Suy ra MF2 = |1 – 2x| ≥ 1.
Vậy MF2 nhỏ nhất bằng 1 khi x = 1.
Khi đó MF1 =|a+cax|=|1+21.1|=3.
Lời giải:
+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ1 ở dạng: x + 0y + a2c = 0. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có:
d(M,Δ1)=|x+0y+a2c|√12+02=|x+a2c|.
suy ra MF1d(M,Δ1)=|a+cax||x+a2c|=|a2+cxa||xc+a2c|=|ca|=ca.
+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ2 ở dạng: x + 0y – a2c = 0. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có:
d(M,Δ2)=|x+0y−a2c|√12+02=|x−a2c|.
suy ra MF2d(M,Δ2)=|a−cax||x−a2c|=|a2−cxa||xc−a2c|=|ca|=ca.
Hãy lập phương trình chính tắc của hypebol chứa quỹ đạo, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 108 km trên thực tế.
Lời giải:
Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F1 của hypebol.
Gọi phương trình chính tắc của hypebol là x2a2−y2b2=1 (a > 0, b > 0).
Theo đề bài, ta có:
– Khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đến tâm Mặt Trời là 3.108 km ⇒ c – a = 3.
– Tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6
⇒ ca = 3,6 ⇒ a+33 = 3,6 ⇒ a = 7,8 ⇒ a2 = 60,84
⇒ c = 10,8 ⇒ b2 = c2 – a2 = 10,82 – 7,82 = 55,8.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x260,84−y255,8=1.
Lời giải:
Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x2a2−y2b2=1 (a > 0, b > 0).
+) Hypebol có tâm sai e = 2 ⇒ ca = 2 ⇒ c = 2a (1).
+) Hypebol có một đường chuẩn là x = 8 ⇒ ae = 8 ⇒ a2 = 8 ⇒ a = 16.
⇒ c = 2a = 32 ⇒ b2 = c2 – a2 = 322 – 162 = 768.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x2256−y2768=1.
Lời giải:
Có a2 = 9, b2 = 4 ⇒ a = 3, b = 2, c = √a2+b2 = √9+4 = √13
Toạ độ các đỉnh của hypebol là A1(–3; 0), A2(3; 0).
Độ dài trục thực là 2a = 6, độ dài trục ảo là 2b = 4.
Tâm sai e = ca = √133
Phương trình các đường chuẩn của hypebol là: Δ1:x=−a2c⇔x=−9√13, Δ2:x=a2c⇔x=9√13.
Lời giải:
Có a2 = 9, b2 = 7 ⇒ a = 3, c = √a2+b2 = √9+7 = 4
Độ dài các bán kính qua tiêu của M là:
MF1=|a+cax|= |3+43.12|=19.
MF2=|a−cax|= |3−43.12|=13.
a) (H) có nửa trục thực bằng 4, tiêu cự bằng 10;
b) (H) có tiêu cự bằng 2√13, một đường tiệm cận là y = 23x;
c) (H) có tâm sai e = √5, và đi qua điểm (√10;6).
Lời giải:
a)
Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x2a2−y2b2=1 (a > 0, b > 0).
+) Hypebol có nửa trục thực bằng 4 ⇒ a = 4.
+) Hypebol có tiêu cự bằng 10 ⇒ 2c = 10 ⇒ c = 5 ⇒ b2 = c2 – a2 = 52 – 42 = 9.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay x216−y29=1.
b)
Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x2a2−y2b2=1 (a > 0, b > 0).
+) Hypebol có tiêu cự bằng 2√13 ⇒ 2c = 2√13 ⇒ c = √13.
+) Hypebol có một đường tiệm cận là y = 23x ⇒ ba= 23
⇒b2=a3⇒b24=a29=b2+a24+9=c213=(√13)213=1
⇒{b2=4a2=9.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay x29−y24=1.
c)
Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x2a2−y2b2=1 (a > 0, b > 0).
+) Hypebol có tâm sai e = √5 ⇒ ca = √5
⇒c=a√5⇒c2=5a2⇒b2=c2−a2=4a2 (1).
+) Hypebol đi qua điểm (√10;6) ⇒ (√10)2a2−62b2=1 ⇒ 10a2−36b2=1 (2).
Thế (1) vào (2) ta được:
⇒10a2−364a2=1⇒10a2−9a2=1⇒1a2=1⇒a2=1⇒b2=4.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x21−y24=1.
Lời giải:
Giả sử phương trình chính tắc của một hypebol vuông là x2a2−y2b2=1 (a > 0, b > 0).
Vì độ dài trục thực bằng độ dài trục ảo nên a = b ⇒c=√a2+b2=√a2+a2=a√2
Tâm sai e = ca=a√2a=√2.
Phương trình hai đường tiệm cận là: y=−bax⇔y=−x và y=bax⇔y=x.
Lời giải:
Xét hypebol có phương trình chính tắc là x2a2−y2b2=1 (a > 0, b > 0).
Hai đường tiệm cận của hypebol là: d1 : y=−bax hay bx + ay = 0 và d2 : y=bax hay bx – ay = 0.
Xét điểm M(x; y) bất kì thuộc hypebol. Ta có:
d(M, d1) = |bx+ay|√b2+a2, d(M, d2) = |bx−ay|√b2+a2.
⇒ d(M, d1).d(M, d2) = |bx+ay|√b2+a2.|bx−ay|√b2+a2=|(bx)2−(ay)2|a2+b2 (*).
Mặt khác, vì M(x; y) thuộc hypebol nên x2a2−y2b2=1⇒x2b2−a2y2a2b2=1
⇒ (bx)2−(ay)2=a2b2
Thay vào (*) ta được: d(M, d1).d(M, d2) = |a2b2|a2+b2=a2b2a2+b2 (không đổi).
Vậy tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.
a) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C.
b) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm A, D.
c) Chọn hệ trục tọa độ Oxy như trong Hình 3.16 (1 đơn vị trên mặt phẳng toạ độ ứng với 100 km trên thực tế). Hãy lập phương trình chính tắc của hai hypebol đi qua vị trí M của tàu. Từ đó, tính toạ độ của M (các số được làm tròn đến hàng đơn vị).
d) Tính các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C (đáp số được làm tròn đến hàng đơn vị, tính theo đơn vị km).
Lời giải:
Gọi vận tốc phát tín hiệu là v (theo đề bài v = 292000 km/s);
tA, tB, tC, tD lần lượt là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ các trạm A, B, C, D;
M là vị trí của tàu thuỷ.
a) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C là:
MB – MC = v.tB – v.tC = v(tB – tC) = 292000 . 0,0005 = 146 (km).
b) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm A, D là:
MA – MD = v.tD – v.tA = v(tD – tA) = 292000 . 0,001 = 292 (km).
c)
+) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H1) nhận B, C làm tiêu điểm là x2a21−y2b21=1 (a1 > 0, b1 > 0).
Vì MB – MC = 146 nên 2a1 = 146 ⇒ a1 = 73 ⇒ a21 = 5329.
Ta thấy B(–100; 0) và C(100; 0) là hai tiêu điểm của hypebol nên c1 = 100
⇒ b21=c21−a21 = 1002 – 732 = 4671.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H1) là x25329−y24671=1.
+) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H2) nhận A, D làm tiêu điểm là x2a22−y2b22=1 (a2 > 0, b2 > 0).
Vì MA – MD = 29,2 nên 2a2 = 292 ⇒ a2 = 146 ⇒ = 21316.
Ta thấy A(–300; 0) và D(300; 0) là hai tiêu điểm của hypebol nên c2 = 300
⇒b22=c22-a22 = 3002 – 1462 = 68684.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H2) là x221316−y268684=1.
Gọi toạ độ của M là (x; y). Vì M thuộc cả (H1) và (H2) nên ta có:
{x25329−y24671=1x221316−y268684=1⇒{x2=34112527712500y2=24061722312500⇒{x≈165y≈139
(vì theo hình vẽ x, y > 0)
d) MB = √[165−(−100)]2+(139−0)2 ≈ 299 (km);
MC = √(165−100)2+(139−0)2 ≈ 153 (km).
Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
2021 © All Rights Reserved.