SBT Toán 10 Kết nối tri thức trang 46 Bài 22: Ba đường Conic

281

Với giải Câu hỏi trang 46 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 22: Ba đường Conic giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem: 

SBT Toán 10 Kết nối tri thức trang 46 Bài 22: Ba đường Conic

Bài 7.28 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Cho elip (E) có phương trình x236+y216=1. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Lời giải:

Dựa vào phương trình chính tắc x236+y216=1 của (E) ta có

Cho elip (E) có phương trình trang 28 SBT Toán lớp 10 Tập 2

Vậy (E) có hai tiêu điểm là: F1-25;0,F225;0 và có tiêu cự là: 2c=45.

Bài 7.29 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hypebol (H) có phương trình x216-y220=1. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

Lời giải:

Dựa vào phương trình chính tắc x216-y220=1 của (H) ta có

Cho hypebol (H) có phương trình trang 28 SBT Toán lớp 10 Tập 2

Vậy (H) có hai tiêu điểm là F1 (–6; 0), F2(6; 0) và có tiêu cự là 2c = 12.

Bài 7.30 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Cho parabol (P) có phương trình y2 = 4x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

Lời giải:

Dựa vào phương trình chính tắc y2 = 4x của (P) ta có:

2p = 4 ⇔ p = 2 ⇔ p2=1.

Vậy (P) có tiêu điểm là F(1; 0) và có đường chuẩn là Δ: x = –1.

Bài 7.31 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết (E) đi qua điểm A(6; 0) và có tiêu cự bằng 8.

Lời giải:

Phương trình chính tắc của (E) có dạng x2a2+y2b2=1 (trong đó a > b > 0)

Vì (E) đi qua điểm A(6; 0) nên ta có 62a2+02b2=1 ⇔ a2 = 62

Do (E) có tiêu cự là 2c = 8 nên ta có c = 4 ⇒ b2 = a2 – c2 = 62 – 42 = 20.

Vậy phương trình chính tắc của (E) là: x236+y220=1.

Bài 7.32 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết (H) đi qua điểm M32;-4 và có một tiêu điểm là F2(5; 0).

Lời giải:

Phương trình chính tắc của (H) có dạng: x2a2-y2b2=1 (trong đó a, b > 0)

Do (H) có một tiêu điểm là F2(5; 0) nên ta có:

c = 5 ⇒ b2 + a2 = c2 = 25 ⇔ a2 = 25 – b2

Vì (H) đi qua điểm M32;-4 nên ta có

322a2--42b2=118a2-16b2=1 (1)

Đặt t = b2 (t > 0) ⇒ a2 = 25 – t. Thay vào (1) ta được

1825-t-16t=1

⇒ 18t – 16(25 – t) = (25 – t)t

⇔ 18t – 400 + 16t = 25t – t2

⇔ t2 + 9t – 400 = 0

⇔ t = 16 (thỏa mãn) hoặc t = –25 (không thỏa mãn)

Do đó, b2 = t = 16, a2 = 25 – t = 9.

Vậy phương trình chính tắc của (H) là: x29-y216=1.

Bài 7.33 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của parabol (P), biết rằng (P) có đường chuẩn là đường thẳng Δ: x + 4 = 0. Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm của (P) bằng 5.

Lời giải:

Phương trình chính tắc của (P) có dạng y2 = 2px, trong đó p > 0.

Vì (P) có đường chuẩn là Δ: x + 4 = 0 ⇔ x = –4 ⇔ –p : 2 = –4 ⇔ p = 8

Vậy phương trình chính tắc của (P) là y2 = 16x.

Gọi M (x0; y0).

Vì M thuộc (P) nên ta có:

d(M, Δ) = MF = 5 với F là tiêu điểm của (P) và F(4; 0).

Viết phương trình chính tắc của parabol (P), biết rằng (P) có đường chuẩn là đường thẳng Δ

⇔ |x0 + 4| = 5 (*)

TH1: x0 + 4 ≥ 0 hay x0 ≥ –4

(*) ⇔ x0 + 4 = 5 ⇔ x0 = 1 (thỏa mãn)

TH2: x0 + 4 < 0 hay x0 < –4

(*) ⇔ –x0 – 4 = 5 ⇔ x0 = –9 (thỏa mãn)

Với x0 = –9, thay vào phương trình của (P) ta được y02 = 16.(–9) = –144 < 0 (không thể tồn tại)

Với x0 = 1, thay vào phương trình của (P) ta được y02 = 16.1 = 16 ⇔ y0 = ±4

Vậy M(1; 4) hoặc M(1; –4).

Bài 7.34 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Cho parabol (P) có phương trình là y2 = 16x. Gọi Δ là đường thẳng bất kì đi qua tiêu điểm F của (P) và không trùng với trục hoành. Chứng minh rằng Δ luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B, đồng thời tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi.

Lời giải:

Gọi vectơ chỉ phương của Δ là u=a;b. Vì Δ đi qua điểm F(4; 0) và Δ không trùng với trục Ox nên ta có b ≠ 0. Phương trình tham số của Δ là

Cho parabol (P) có phương trình là y^2 = 16x. Gọi Δ là đường thẳng bất kì

Toạ độ giao điểm của Δ và (P) ứng với thoả mãn phương trình

(bt)2 =16 . (4 + at) ⇔ b2t2 – 16at – 64 = 0. (1)

Phương trình (1) có Δ’ = 64a2 + 64b2 > 0 (do b ≠ 0), suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vậy Δ luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B.

Gọi A(4 + at1; bt1), B(4 + at2; bt2), trong đó t1, t2 là hai nghiệm của phương trình (1).

Ta có

Cho parabol (P) có phương trình là y^2 = 16x. Gọi Δ là đường thẳng bất kì

Dựa vào phương trình (1). Theo định lí Vi–ét ta có: t1t2=-64b2. Từ đó suy ra

Cho parabol (P) có phương trình là y^2 = 16x. Gọi Δ là đường thẳng bất kì

Vậy tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi.

Bài 7.35 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là 12 m, khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m. Người kĩ sư này muốn đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Biết rằng những loại xe tải có chiều cao 2,8 m thì có chiều rộng không quá 3 m. Hỏi chiếc xe tải có chiều cao 2,8 m có thể đi qua hầm được không?

Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip

Lời giải:

Giả sử phương trình chính tắc của (E) là: x2a2+y2b2=1 (trong đó a > b > 0).

Vì chiều rộng của hầm là 12 m nên OA = 12 : 2 = 6 (m), do đó điểm A có tọa độ (6; 0).

Khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m nên OB = 3 m, do đó điểm B có tọa độ (0; 3).

Do các điểm B(0; 3) và A(6; 0) thuộc (E) nên thay vào phương trình của (E) ta có:

02a2+32b2=1b2=32=9

62a2+02b2=1a2=62=36

Suy ra phương trình của (E) là

x236+y29=1.

Với những xe tải có chiều cao 2,8 m, chiều rộng của xe tải là 3 m, nếu xe chạy chính giữa hầm thì khoảng cách từ tâm xe tới mỗi bên xe khoảng 3 : 2 = 1,5 m, tương ứng với x = 1,5. Thay vào phương trình của elip để ta tìm ra độ cao y của điểm M (có hoành độ bằng 1,5 thuộc (E)) so với trục Ox.

xM236+yM29=1

Suy ra: yM=3.1-xM236=3.1-1,52362,905>2,8

Kết luận: Ô tô tải có thể đi được qua hầm, tuy nhiên cần khuyến cáo ô tô phải đi vào chính giữa hầm.

Đánh giá

0

0 đánh giá