Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 53 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

Giang Ngày: 12-02-2023 Lớp 10

717

Với giải Câu hỏi trang 53 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo trong Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 53 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

Thực hành 4 trang 53 Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ trong các trường hợp sau:

a) $d_{1} : x - 5 y + 9 = 0$ và $d_{2} : 10 x + 2 y + 7 = 10$

b) $d_{1} : 3 x - 4 y + 9 = 0$ và $d_{2} : {\begin{cases} x = 1 + 4 t \\ y = 1 + 3 t \end{cases}$

c) $d_{1} : {\begin{cases} x = 5 + 4 t \\ y = 4 + 3 t \end{cases}$ và $d_{2} : {\begin{cases} x = 1 + 8 t \\ y = 1 + 6 t \end{cases}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định cặp vectơ pháp tuyến (hoặc chỉ phương) của hai đường thẳng

Bước 2:

+) Nếu 2 vecto cùng phương: Lấy điểm A thuộc d1. Kiểm tra A có thuộc d2 hay không.

=> KL: 2 đường thẳng song song nếu A không thuộc d2.

2 đường thẳng trùng nhau nếu A thuộc d2.

+) Nếu 2 vecto không cùng phương: Tính tích vô hướng

Nếu bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc, nếu khác 0 thì 2 đường thẳng chỉ cắt nhau.

=> Giải hệ phương trình từ hai đường thẳng để tìm giao điểm

Lời giải

a) $d_{1}$ và $d_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (1; - 5), \vec{n_{2}} = (10; 2)$

Ta có $\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} = 1.10 + (- 5) .2 = 0$ nên $\vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}}$

Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x - 5 y + 9 = 0 \\ 10 x + 2 y + 7 = 10 \end{cases}$ ta được nghiệm ${\begin{cases} x = - \frac{3}{52} \\ y = \frac{93}{52} \end{cases}$

Suy ra hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ vuông góc và cắt nhau tại $M (- \frac{3}{52}; \frac{93}{52})$

b) $d_{1}$ và $d_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (3; - 4), \vec{n_{2}} = (3, - 4)$

$\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}$ trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra $d_{1}$ và $d_{2}$ song song hoặc trùng nhau

Lấy điểm $A (1; 1)$ thuộc $d_{2}$ , thay tọa độ của A vào phương trình $d_{1}$ , ta được $3.1 - 4.1 + 9 = 8 \neq 0$ , suy ra A không thuộc đường thẳng $d_{1}$

Vậy hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ song song

c) $d_{1}$ và $d_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (3; - 4), \vec{n_{2}} = (6; - 8)$

Ta có $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 3. (- 8) - (- 4) .6 = 0$ suy ra hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra $d_{1}$ và $d_{2}$ song song hoặc trùng nhau

Lấy điểm $A (1; 1)$ thuộc $d_{2}$ , thay tọa độ của A vào phương trình $d_{1}$ , ta được ${\begin{cases} 1 = 5 + 4 t \\ 1 = 4 + 3 t \end{cases} \Leftrightarrow t = - 1$ , suy ra A thuộc đường thẳng $d_{1}$

Vậy hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ trùng nhau.

Vận dụng 4 trang 53 Toán 10 Tập 2: Viết phương trình đường thẳng $d_{1}$ :

a) Đi qua điểm $A (2; 3)$ và song song với đường thẳng $d_{2} : x + 3 y + 2 = 0$

b) Đi qua điểm $B (4; - 1)$ và vuông góc với đường thẳng $d_{3} : 3 x - y + 1 = 0$

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ đường thẳng đã cho xác định vectơ pháp tuyến hoặc vectơ chỉ phương

Bước 2: Viết phương trình tổng quát hoặc phương trình tham số

Lời giải

a) $d_{1}$ song song với đường thẳng $d_{2} : x + 3 y + 2 = 0$ nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_{2}$ làm vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 3)$

$d_{1}$ đi qua điểm $A (2; 3)$ nên ta có phương trình tổng quát

$(x - 2) + 3. (y - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 3 y - 11 = 0$

b) $d_{1}$ vuông góc với đường thẳng $d_{3} : 3 x - y + 1 = 0$ nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_{3}$ làm vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (3; - 1)$