Với giải Câu hỏi trang 56 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo trong Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem: 

Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 56 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

Thực hành 5 trang 56 Toán 10 Tập 2: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$và ${\mathrm{\Delta }}_2$ trong các trường hợp sau

a) ${\mathrm{\Delta }}_1:x+3y-7=0$ và ${\mathrm{\Delta }}_2:x-2y+3=0$

b)  ${\mathrm{\Delta }}_1:4x-2y+5=0$ và ${\mathrm{\Delta }}_2:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=13+2t\end{array}$

c) ${\mathrm{\Delta }}_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3+2t\end{array}$ và ${\mathrm{\Delta }}_2:\{\begin{array}{l}x=-7+2t\\ y=1-t\end{array}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng đã cho

Bước 2: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng bằng công thức $\cos \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)=\frac{\left|a_1{a}_2+b_1{b}_2\right|}{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2}\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2}}$

Lời giải 

a) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$và ${\mathrm{\Delta }}_2$lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(1;3\right),\overrightarrow{n_2}=\left(1;-2\right)$

Ta có $\cos \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)=\frac{\left|1.1+3.(-2)\right|}{\sqrt{1^2+3^2}\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}}\approx 0,93\Rightarrow \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)\approx {22}^{\circ }{8}^{\prime }$

b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$và ${\mathrm{\Delta }}_2$lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(4;-2\right),\overrightarrow{n_2}=\left(2;-1\right)$

Ta có $\cos \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)=\frac{\left|4.2+(-2).(-1)\right|}{\sqrt{4^2+{\left(-2\right)}^2}\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}=1\Rightarrow \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)=0^{\circ }$

c) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$và ${\mathrm{\Delta }}_2$lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(2;-1\right),\overrightarrow{n_2}=\left(1;2\right)$

Ta có $a_1{a}_2+b_1{b}_2=2.1+(-1).2=0$

Suy ra $\left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)={90}^{\circ }$.

Vận dụng 5 trang 56 Toán 10 Tập 2: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hai hàm số $y=x$ và $y=2x+1$

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết phương trình tổng quat từ đồ thị của hai hàm số đã cho

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyền

Bước 3: $\cos \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)=\frac{\left|a_1{a}_2+b_1{b}_2\right|}{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2}\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2}}$

Lời giải 

Từ đồ thị hàm số ta có phương trình tổng quát

$y=x\iff d_1:x-y=0$, $y=2x+1\iff 2x-y+1=0$

Từ đó ta có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-1\right),\overrightarrow{n_2}=\left(2;-1\right)$

$\cos \left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|1.2+(-1).(-1)\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}\Rightarrow \left(d_1,d_2\right)\approx {18}^{\circ }{26}^{\prime }$

Vậy góc giữa hai đường thẳng có đồ thị đã cho gần bằng ${18}^{\circ }{26}^{\prime }$.

4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

HĐ Khám phá 7 trang 56 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy. Cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }:ax+by+c=0\left(a^2+b^2>0\right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ và cho điểm $M_0\left(x_0;y_0\right)$có hình chiếu vuông góc $H\left(x_H;y_H\right)$trên $\mathrm{\Delta }$(hình 9).

a)  Chứng minh rằng hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}$cùng phương và tìm tọa độ của chúng

b) Gọi p là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}$.

Chứng minh rằng $p=a{x}_0+b{y}_0+c$

c) Giải thích công thức $\left|\overrightarrow{H{M}_0}\right|=\frac{\left|p\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$

Phương pháp giải:

a) So sánh phương với vectơ chỉ phương

b)  Bước 1: Nhân tích vô hướng của hai vectơ

     Bước 2: Thay tọa độ điẻm H vào đường thẳng tìm mối liên hệ

c) Thay vào công thức kết quả đã tìm được ở câu b)

Lời giải 

a) Ta có: $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}=\left(x_0-x_H;y_0-y_H\right)$

Mà H là hình chiếu vuông góc của $M_0$ trên $\mathrm{\Delta }$ nên $H{M}_0\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta }$

Mặt khác vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ cùng vuông góc với $\mathrm{\Delta }$

Suy ra $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}$cùng phương (đpcm)

b) Ta có: $\overrightarrow{n}=(a;b)$ và $\overrightarrow{H{M}_0}=\left(x_0-x_H;y_0-y_H\right)$

Suy ra $p=\overrightarrow{n}.\overrightarrow{H{M}_0}=a\left(x_0-x_H\right)+b\left(y_0-y_H\right)=a{x}_0+b{y}_0-\left(a{x}_H+b{y}_H\right)$                (1)

Mà H  thuộc đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ nên tọa độ điểm H thỏa mãn phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$

Thay tọa độ điểm H vào phương trình $\mathrm{\Delta }:ax+by+c=0\left(a^2+b^2>0\right)$ ta có:

$a{x}_H+b{y}_H+c=0\iff c=-\left(a{x}_H+b{y}_H\right)$

Thay $c=-\left(a{x}_H+b{y}_H\right)$ vào (1) ta có

$p=a{x}_0+b{y}_0+c$       (đpcm)

c) Ta có: $p=\overrightarrow{n}.\overrightarrow{H{M}_0}\iff \overrightarrow{H{M}_0}=\frac{p}{\overrightarrow{n}}\Rightarrow \left|\overrightarrow{H{M}_0}\right|=\left|\frac{p}{\overrightarrow{n}}\right|\Rightarrow \left|\overrightarrow{H{M}_0}\right|=\frac{\left|p\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$