Với giải Câu hỏi trang 57 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo trong Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem: 

Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 57 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

Thực hành 6 trang 57 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là $A(1;1),B(5;2),C(4;4)$. Tính độ dài các đường cao của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết phương trình tổng quat của các đường thẳng AB, AC, BC

Bước 2: Đường của kẻ từ A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC (tương tự các đường cao còn lại)

Lời giải 

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(4;1\right),\overrightarrow{AC}=\left(3;3\right),\overrightarrow{BC}=\left(-1;2\right)$

+) Đường thẳng AB nhận vectơ $\overrightarrow{AB}=\left(4;1\right)$làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-4\right)$ và đi qua điểm $A(1;1)$, suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:

$\left(x-1\right)-4\left(y-1\right)=0\iff x-4y+3=0$

Độ dài đường cao kẻ từ C chính là khoảng cách từ điểm C  đến đường thẳng AB

$d\left(C,AB\right)=\frac{\left|4-4.4+3\right|}{\sqrt{1^2+4^2}}=\frac{9\sqrt{17}}{17}$

+) Đường thẳng BC nhận vectơ $\overrightarrow{BC}=\left(-1;2\right)$làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=\left(2;1\right)$ và đi qua điểm $B(5;2)$, suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:

$2\left(x-5\right)+\left(y-2\right)=0\iff 2x+y-12=0$

Độ dài đường cao kẻ từ A chính là khoảng cách từ điểm A  đến đường thẳng BC

$d\left(A,BC\right)=\frac{\left|2.1+1-12\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$

+) Đường thẳng AC  nhận vectơ $\overrightarrow{AC}=\left(3;3\right)$làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_3}=\left(1;-1\right)$ và đi qua điểm $A(1;1)$, suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng AC  là:

$\left(x-1\right)-\left(y-1\right)=0\iff x-y=0$

Độ dài đường cao kẻ từ B chính là khoảng cách từ điểm B  đến đường thẳng AC

$d\left(B,AC\right)=\frac{\left|5-2\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Vận dụng 6 trang 57 Toán 10 Tập 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1:4x-3y+2=0$ và $d_2:4x-3y+12=0$

Phương pháp giải:

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách một điềm bất kì từ đường thẳng này tới đường thẳng còn lại

Lời giải 

Ta thấy hai đường thẳng này song song, nên khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ một điểm bất kì từ đường thẳng này tới đường thẳng kia

Chọn điểm $A\left(0;4\right)\in d_2$, suy ra $d\left(d_1,d_2\right)=d\left(A,d_1\right)=\frac{\left|4.0-3.4+2\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=2$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1:4x-3y+2=0$ và $d_2:4x-3y+12=0$ là 2.

Bài tập

Bài 1 trang 57 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm $A(-1;5)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(2;1)$

b)  d đi qua điểm $B(4;-2)$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(3;-2)$

c) d đi qua $P(1;1)$ và có hệ số góc $k=-2$

d)  d đi qua hai điểm $Q(3;0)$và $R(0;2)$

Lời giải 

a) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(-1;5)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)$, nên có phương trình tham số là:

 $\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=5+t\end{array}$

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)$,nên có vectơ pháp tuyền là $\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)$ và đi qua $A(-1;5)$

Ta có phương trình tổng quát là

 $(x+1)-2(y-5)=0\iff x-2y+11=0$

b) Đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;-2\right)$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;3\right)$, và đi qua điểm $B(4;-2)$ nên ta có phương trình tham số của $d$ là :

$\{\begin{array}{l}x=4+2t\\ y=-2+3t\end{array}$

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $B(4;-2)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;-2\right)$

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

$(x-4)-2(y+2)=0\iff x-2y-8=0$

c) Đường thẳng $d$ có dạng $y=ax+b$

d đi qua $P(1;1)$ và có hệ số góc $k=-2$ nên ta có:

$1=-2.1+b\Rightarrow b=3$

Suy ra đồ thị đường thẳng d có dạng $y=-2x+3$

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là $y+2x-3=0$

Suy ra đường thẳng d  có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)$, nên có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;-1\right)$ và đi qua điểm $P(1;1)$ nên ta có phương trình tham số của d là :

$\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1-t\end{array}$

 d) Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $Q(3;0)$và $R(0;2)$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{QR}=(-3;2)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;3)$

Phương trình tham số của $\mathrm{\Delta }$ là: $\{\begin{array}{l}x=3-3t\\ y=2t\end{array}$

Phương trình tổng quát của $\mathrm{\Delta }$ là: $2(x-3)+3(x-0)=\iff 2x+3y-6=0$.

Bài 2 trang 57 Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC biết $A(2;5),B(1;2)$ và $C(5;4)$