Bài 5 trang 58 Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng d có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}$

Tìm giao điểm của d với hai trục tọa độ

Phương pháp giải

+) A là giao của d với Ox => A(a;0) thuộc d.

+) A là giao của d với Oy => A(0;a') thuộc d.

Lời giải 

+) Gọi A là giao điểm của đường thẳng d với trục tung

Suy ra tọa độ của A là: $A\left(0;y\right)$

Thay $x=0$ vào phương trình $\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}$ ta có: $\{\begin{array}{l}0=2-t\\ y=5+3t\end{array}\iff \{\begin{array}{l}t=2\\ y=11\end{array}$

Vậy giao điểm của d với trục tung là $A\left(0;11\right)$

+) Gọi B là giao điểm của đường thẳng d với trục hoành

Suy ra tọa độ của B là: $B\left(x;0\right)$

Thay $y=0$ vào phương trình $\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}$ ta có: $\{\begin{array}{l}x=2-t\\ 0=5+3t\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{11}{3}\\ t=-\frac{5}{3}\end{array}$

Vậy giao điểm của d với trục hoành là $B\left(\frac{11}{3};0\right)$

Bài 6 trang 58 Toán 10 Tập 2: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ trong các trường hợp sau:

Bài 7 trang 58 Toán 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ trong các trường hợp sau:

a) $M(1;2)$ và $\mathrm{\Delta }:3x-4y+12=0$

b)  $M(4;4)$ và $\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-t\end{array}$

c) $M(0;5)$ và $\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\frac{-19}{4}\end{array}$

d) $M(0;0)$ và $\mathrm{\Delta }:3x+4y-25=0$

Phương pháp giải 

Bước 1: Xác định phương trình tổng quát của $\mathrm{\Delta }:a{x}_0+b{y}_0+c=0$

Bước 2: khoảng cách từ $A(x_0;y_0)$ đến d là: $d\left(A,\mathrm{\Delta }\right)=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Lời giải

a) Khoảng cách từ $M(1;2)$ đến $\mathrm{\Delta }:3x-4y+12=0$ là:

$d\left(M,\mathrm{\Delta }\right)=\frac{\left|3.1-4.2+12\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{7}{5}$

b) $\mathrm{\Delta }$ có phương trình tham số $\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-t\end{array}$ nên có phương trình tổng quát là

$\left(x-0\right)+\left(y-0\right)=0\iff x+y=0$

Suy ra khoảng cách từ điểm $M(4;4)$ đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là

$d\left(M,\mathrm{\Delta }\right)=\frac{\left|1.4+1.4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2\sqrt{2}$

c) $\mathrm{\Delta }$ có phương trình tham số $\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\frac{-19}{4}\end{array}$ nên có phương trình tổng quát là

$0.\left(x-0\right)+\left(y+\frac{19}{4}\right)=0\iff y+\frac{19}{4}=0$

Suy ra khoảng cách từ điểm $M(0;5)$ đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là

$d\left(M,\mathrm{\Delta }\right)=\frac{\left|5+\frac{19}{4}\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\frac{39}{4}$

d) Khoảng cách từ $M(0;0)$ đến $\mathrm{\Delta }:3x+4y-25=0$ là:

$d\left(M,\mathrm{\Delta }\right)=\frac{\left|3.0+4.0-25\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5$

Lời giải 

Điểm S nằm trên đường thẳng d , nên khi S di động trên đoạn thẳng d thì SM ngắn nhất khi $SM\mathrm{\perp }d$

Nên khoảng cách ngắn nhất từ điểm $M(5;10)$ đến điểm S  là khoảng cách từ điểm $M(5;10)$ đến d

Khoảng cách đó là: $d\left(M,d\right)=\frac{\left|12.5-5.10+16\right|}{\sqrt{{12}^2+5^2}}=2$

Vậy khi S di động trên đường thẳng d thì khoảng cách ngắn nhất từ điểm $M(5;10)$ đến điểm S là 2.

Bài 10 trang 58 Toán 10 Tập 2: Một người đang viết chương trình cho trò chơi đá bóng robot. Gọi $A(-1;1),B(9;6),C(5;-3)$là 3 vị trí trên màn hình

a) Viết phương trình các đường thẳng AB, AC, BC

b) Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AB và AC

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC

Phương pháp giải 

a) Tìm VTPT (hoặc VTCP) => Lập PT tổng quát (hoặc tham số) của đt. 

b) Xác định góc giữa hai đường thẳng thông qua cặp VTPT ( hoặc VTCP): $(a_1;b_1),(a_2;b_2)$

$\cos \left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|a_1{a}_2+b_1{b}_2\right|}{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2}\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2}}$

c) Khoảng cách từ $A(x_0;y_0)$ đến BC: $a{x}_0+b{y}_0+c=0$  là

$d\left(A,\mathrm{\Delta }\right)=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Lời giải 

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(10;5\right),\overrightarrow{AC}=\left(6;-4\right),\overrightarrow{BC}=\left(-4;-9\right)$

+) Đường thẳng AB nhận vectơ $\overrightarrow{AB}=\left(10;5\right)$làm phương trình chỉ phương và đi qua điểm $A(-1;1)$nên có phương trình tham số là: $\{\begin{array}{l}x=-1+10t\\ y=1+5t\end{array}$

+) Đường thẳng AC nhận vectơ $\overrightarrow{AC}=\left(6;-4\right)$làm phương trình chỉ phương và đi qua điểm $A(-1;1)$nên có phương trình tham số là: $\{\begin{array}{l}x=-1+6t\\ y=1-4t\end{array}$

+) Đường thẳng BC nhận vectơ $\overrightarrow{BC}=\left(-4;-9\right)$làm phương trình chỉ phương và đi qua điểm $B\left(9;6\right)$nên có phương trình tham số là:      $\{\begin{array}{l}x=9-4t\\ y=6-9t\end{array}$

b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng AB và AC lần lượt là: $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2\right),\overrightarrow{n_2}=\left(2;3\right)$

$\cos \left(AB,AC\right)=\cos \left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)=\frac{\left|1.2+\left(-2\right).3\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{4\sqrt{65}}{65}\Rightarrow \left(AB,AC\right)={60}^{\circ }{15}^{\prime }$

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và AC là ${60}^{\circ }{15}^{\prime }$

c) Đường thẳng BC nhận vectơ $\overrightarrow{BC}=\left(-4;-9\right)$ làm vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(9;-4\right)$ và đi qua $B\left(9;6\right)$, suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:

$9.\left(x-9\right)-4\left(y-6\right)=0\iff 9x-4y-57=0$

Khoảng cách từ $A(-1;1)$ đến đường thẳng BC là:

$d\left(A,BC\right)=\frac{\left|9.\left(-1\right)-4.1-57\right|}{\sqrt{9^2+{\left(-4\right)}^2}}=\frac{70\sqrt{97}}{97}$.