Với giải Câu hỏi trang 70 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo trong Bài 4: Ba đường Conic trong mặt phẳng toạ độ học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem: 

Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 70 Bài 4: Ba đường Conic trong mặt phẳng toạ độ

Thực hành 3 trang 70 Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn $\mathrm{\Delta }:x+1=0$

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ phương trình đường chuẩn tìm tọa độ của tiêu điểm (phương trình đường chuẩn có dạng $x+\frac{p}{2}=0$

Bước 2: Viết phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$ với $M(x;y)\in (P)$

Lời giải 

Từ phương trình đường chuẩn $\mathrm{\Delta }:x+1=0$ ta có tiêu điểm $F\left(1;0\right)$

Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2x$

Vận dụng 3 trang 70 Toán 10 Tập 2: Một cổng chào có hình parabol cao 10 m và bề rộng của cổng tại chân cổng là 5 m. Tính bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2 m

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi phương trình của parabol một cách tổng quát

Bước 2: Thay các giả thiết tìm tiêu điểm

Bước 3: Thay $x=2$ vào phương trình chính tắc tìm y

Lời giải 

Vẽ lại parabol và chọn hệ trục tọa độ như hình dưới

Gọi phương trình của parabol là $y^2=2px$

Ta có chiều cao của cổng $OH=BK=10$, chiều rộng tại chân cổng $BD=2BH=5$

Vậy điểm B có tọa độ là $B\left(10;\frac{5}{2}\right)$

Thay tọa độ điểm B vào phương trình parabol ta có:

${\left(\frac{5}{2}\right)}^2=2p.10\Rightarrow p=\frac{5}{16}$, suy ra phương trình parabol có dạng $y^2=\frac{5}{8}x$

Thay $x=2$ vào phương trình $y^2=\frac{5}{8}x$ ta tìm được $y=\frac{\sqrt{5}}{2}$

Vậy bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2 m là $\sqrt{5}$ m

Bài tập

Bài 1 trang 70 Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của:

a) Elip có trục lớn bằng 20 và trục nhỏ bằng 16

b) Hypebol có tiêu cự $2c=20$ và độ dài trục thực $2a=12$

c) Parabol có tiêu điểm $F\left(\frac{1}{2};0\right)$

Phương pháp giải 

a)       Bước 1: Từ giải thiết xác định a, b, c

Bước 2: Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $M(x;y)\in (E);b=\sqrt{a^2-c^2}$

b) Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với $M(x;y)\in (H);b=\sqrt{c^2-a^2}$

c) Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$ với \(M(x;y) \in 

Lời giải 

a) Ta có $2a=20\Rightarrow a=10,2c=16\Rightarrow c=8$, suy ra $b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{{10}^2+8^2}=6$

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$

b) Ta có $2a=12\Rightarrow a=6,2c=20\Rightarrow c=10$, suy ra $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8$

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{64}=1$

c) Ta có tiêu điểm $F\left(\frac{1}{2};0\right)$ suy ra $p=1$

Vậy phương trình chính tắc của parabol là $y^2=2x$

Bài 2 trang 70 Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ của các tiêu điểm của chúng

a) $(C_1):4x^2+16y^2=1$

b) $(C_2):16x^2-4y^2=144$

c) $(C_3):x=\frac{1}{8}{y}^2$

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định dạng phương trình của đường conic nào

          +) Có dạng $a{x}^2+b{y}^2=1$ là dạng đường elip

          +) Có dạng $a{x}^2-b{y}^2=1$ là dạng đường hypebol

          +) Có dạng $y^2=ax$ là dạng đường parabol

Bước 2: Đưa về phương trình chính tắc và tìm tọa độ biết phương trình chính tắc có dạng

          +) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ là đường elip

          +) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ là đường hypebol

          +) $y^2=2px$ là đường parabol

Bước 3: Xác định tiêu điểm của các đường conic

          +) Elip: $F_1\left(-c;0\right)$ và $F_2\left(c;0\right)$

          +) Hypebol: $F_1\left(-c;0\right)$ và $F_2\left(c;0\right)$

          +) Parabol: $F\left(\frac{p}{2};0\right)$

Lời giải 

a) Ta thấy phương trình có dạng $a{x}^2+b{y}^2=1$ nên phương trình $(C_1):4x^2+16y^2=1$ là phương trình của đường elip

Từ phương trình $(C_1):4x^2+16y^2=1$ ta có phương trình chính tắc là $(C_1):\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{16}}=1$

Từ phương trình chính tắc ta có: $a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{4}\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$

Suy ra tiêu điểm của elip này là $F_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$ và $F_2\left(\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$

b) Ta thấy phương trình có dạng $a{x}^2-b{y}^2=1$ nên phương trình $(C_2):16x^2-4y^2=144$ là phương trình của đường hypebol

Từ phương trình $(C_2):16x^2-4y^2=144$ ta có phương trình chính tắc là $(C_1):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$

Từ phương trình chính tắc ta có: $a=3,b=4\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$

Suy ra tiêu điểm của hypebol này là $F_1\left(-5;0\right)$ và $F_2\left(5;0\right)$

c) Phương trình $(C_3):x=\frac{1}{8}{y}^2$ có dạng $y^2=ax$ nên phương trình này là phương trình của parabol

Ta có phương trình chính tắc là $y^2=8x$

Từ phương trình chính tắc ta có: $2p=8\Rightarrow p=4$

Suy ra tiêu điểm là $F(2;0)$

Bài 3 trang 70 Toán 10 Tập 2: Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình Elip có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước là 80 cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó trên tấm ván ép như hướng dẫn sau:

Chuẩn bị

- Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì.

Thực hiện

- Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh trên 2 điểm đó trên tấm ván.

- Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M  rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường elip (Xem minh họa trong hình 15).

Phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm bìa bao nhiêu xentimets và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Phương pháp giải

Bước 1: Từ giả thiết xác định a, c

Bước 2: Xác định vị trí đinh cách mép biết được tính bằng $a-c$

Bước 3: Xác định chiều dài vòng dây, biết chiều dài vòng dây là $2a+2c$

Lời giải 

Từ giải thiết ta có: $2a=80\Rightarrow a=40,2c=40\Rightarrow c=20$

Suy ra vị trí đinh cách mép là $a-c=40-20=20$ cm

Chiều dài vòng dây là $2a+2c=2.40+2.20=120$ cm

Vậy phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm bìa 20 cm và lấy vòng dây có độ dài là 120 cm.