Với giải Câu hỏi trang 34 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức trong Bài 19: Phương trình đường thẳng học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem: 

Toán 10 Kết nối tri thức trang 34 Bài 19: Phương trình đường thẳng

Vận dụng trang 34 SGK Toán 10 Tập 2: Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C (Anders Celsius, 1701 – 1744) và đơn vị độ F (Daniel Fahrenheit, 1 686 – 1 736) được xác định bởi hai mốc sau: Nước đóng băng ở 0°C, 32°F: Nước sôi ở 100°C, 212°F. Trong quy đổi đó, nếu a °C tương ứng với b °F thì trên mặt phẳng toạ độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và B(100; 212). Hỏi 0°F, 100°F tương ứng với bao nhiêu độ C?

Phương pháp giải:

Viết phương trình đường thẳng AB, từ đó tìm được mối liên hệ giữa hoành độ (độ C) với tung độ (độ F).

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{u_{AB}}=\overrightarrow{AB}=\left(100;180\right)$ suy ra $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(9_1;-5\right)$.

Mặt khác AB đi qua điểm $A\left(0;32\right)$ nên phương trình của AB là $9x-5y+160=0\iff x=\frac{5y-160}{9}$.

Với $y=0{}^{o}F$ ta có: $x=\frac{5.0-160}{9}=\left(\frac{-160}{9}\right){}^{o}C$

Với $y=100{}^{o}F$ ta có: $x=\frac{5.100-160}{9}=\left(\frac{340}{9}\right){}^{o}C$

Vậy $0{}^{o}F$,$100{}^{o}F$tương ứng xấp xỉ $-18{}^{o}C,38{}^{o}C$.

Bài tập

Bài 7.1 trang 34 SGK Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, cho$\overrightarrow{n}=\left(2;1\right),\overrightarrow{v}=\left(3,2\right),A\left(1,3\right),B\left(-2;1\right)$ .

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$ đi qua A và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$.

b) Lập phương trình tham số của đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_2$, đi qua B và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v}$.

c) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB.

Phương pháp giải:

Phương trình tổng quát của đường thẳng$\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M_o\left(x_o;y_o\right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left(\mathrm{a};\mathrm{b}\right)\left(\overrightarrow{n}\ne 0\right)$làm vectơ pháp tuyến là: $a\left(x-x_o\right)+b\left(y-y_o\right)=0$.

Phương trình tham số của đường thẳng$\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M_o\left(x_o;y_o\right)$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left(\mathrm{a};\mathrm{b}\right)\left(\overrightarrow{u}\ne 0\right)$làm vectơ chỉ phương là: $\{\begin{array}{l}x=x_o+at\\ y=y_o+bt\end{array}$  ( $t$ là tham số )

Lời giải:

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$ là: $2\left(x-1\right)+1\left(y-3\right)=0\iff 2x+y-5=0$.

b) Phương trình tham số của đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_2$  là:$\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\ y=1+2t\end{array}$

c) Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm $A\left(1;3\right)$ nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-3;-2\right)$ là vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của AB là $\{\begin{array}{l}x=1-3t\\ y=3-2t\end{array}$

Bài 7.2 trang 34 SGK Toán 10 Tập 2: Lập phương trình tổng quát của các trục tọa độ

Phương pháp giải:

Trục số  đi qua điểm O và có vectơ pháp tuyến lần lượt là .

Lời giải:

Trục $\mathrm{O}x$ đi qua $O\left(0;0\right)$ và nhận $\overrightarrow{j}=\left(1;0\right)$ là vectơ pháp tuyến, do đó phương trình tổng quát của trục Ox là $0.\left(x-0\right)+1.\left(y-0\right)=0\iff y=0$.

Trục Oy đi qua $O\left(0;0\right)$ và nhận $\overrightarrow{i}=\left(0;1\right)$ là vectơ pháp tuyến, do đó phương trình tổng quát của trục Oy là $1.\left(x-0\right)+0.\left(y-0\right)=0\iff x=0$.

Bài 7.3 trang 34 SGK Toán 10 Tập 2: Cho phương trình hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1:\{\begin{array}{l}x=-1-3t\\ y=2+2t\end{array}$ và ${\mathrm{\Delta }}_2:2x+3y-5=0$.

a) Lập phương trình tổng quát của ${\mathrm{\Delta }}_1$

b) Lập phương trình tham số của ${\mathrm{\Delta }}_2$

Phương pháp giải:

Phương trình tổng quát của đường thẳng$\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M_o\left(x_o;y_o\right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left(\mathrm{a};\mathrm{b}\right)\left(\overrightarrow{n}\ne 0\right)$làm vectơ pháp tuyến là: $a\left(x-x_o\right)+b\left(y-y_o\right)=0$.

Phương trình tham số của đường thẳng$\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M_o\left(x_o;y_o\right)$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left(\mathrm{a};\mathrm{b}\right)\left(\overrightarrow{u}\ne 0\right)$làm vectơ chỉ phương là: $\{\begin{array}{l}x=x_o+at\\ y=y_o+bt\end{array}$  ( $t$ là tham số )

Lời giải:

a) Đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{{\mathrm{\Delta }}_1}=\left(2;5\right)$

Do đó ${\overrightarrow{n}}_{{\mathrm{\Delta }}_1}=\left(-5;2\right)$, đồng thời ${\mathrm{\Delta }}_1$ đi qua điểm $M\left(1;3\right)$ nên  phương trình tổng quát của ${\mathrm{\Delta }}_1$ là: $5\left(x-1\right)-2\left(y-3\right)=0\iff 5x-2y+1=0$.

b) Đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_2$có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{{\mathrm{\Delta }}_2}=\left(2;3\right)$

Do đó ${\overrightarrow{u}}_{{\mathrm{\Delta }}_1}=\left(-3;2\right)$, đồng thời ${\mathrm{\Delta }}_2$ đi qua điểm $N\left(1;1\right)$ nên  phương trình tham số của ${\mathrm{\Delta }}_2$ là: $\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=1-2t\end{array}$.

Bài 7.4 trang 34 SGK Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(-2; -1).

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A.

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.

Phương pháp giải:

a) Đường cao kẻ tử A đi qua A có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{BC}$.

b) Đường trung tuyến kẻ từ B đi qua hai điểm B và M trong M là trung điểm của cạnh AC.

Lời giải:

a) Đường cao kẻ từ A  của tam giác ABC là đường thẳng đi qua A và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{BC}=\left(-5;-1\right)$ nên phương trình đường cao đó là:

$-5\left(x-1\right)-1\left(y-2\right)=0\iff 5x+y-7=0$

b) Gọi M là trung điểm AC. Khi đó $\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{1+\left(-2\right)}{2}=-\frac{1}{2}\\ y_M=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{2+\left(-1\right)}{2}=\frac{1}{2}\end{array}\Rightarrow M\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$

Trung tuyến BM đi qua điểm $B\left(3;0\right)$ nhận vectơ $\overrightarrow{u_{BM}}=2\overrightarrow{BM}=\left(-7;1\right)$ là vectơ chỉ phương  nên phương trình tham số của BM là $\{\begin{array}{l}x=3-7t\\ y=t\end{array}$.

Bài 7.5 trang 34 SGK Toán 10 Tập 2: Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm $A\left(a;0\right),B\left(0;b\right)\left(ab\ne 0\right)$ có phương trình $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Phương pháp giải:

Viết phương trình tổng quát của AB rồi biến đổi phương trình về dạng cần chứng minh.

Lời giải:

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{AB}}=\overrightarrow{AB}=\left(-a;b\right)$. Do đó $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(b;a\right)$

Phương trình tổng quát của đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến  $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(b;a\right)$ và đi qua điểm $A\left(a;0\right)$là: $b\left(x-a\right)+a\left(y-0\right)\iff bx+ay-ab=0\iff \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

Bài 7.6 trang 34 SGK Toán 10 Tập 2: Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ 21,2° Bắc, kinh độ 105,8° Đông, sân bay Đà Nẵng có Vĩ độ 16,1° Bắc, kinh độ 108,2° Đông. Một máy bay, bay từ Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm t giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ x° Bắc, kinh độ y° Đông được tính theo công thức

$\{\begin{array}{l}x=21,2-\frac{153}{40}t\\ y=105,8+\frac{9}{5}t\end{array}$

a) Hỏi chuyển bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?

b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 ( 17 độ Bắc) chưa?

Phương pháp giải:

a) Thời gian bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng ứng với tham số t thõa mãn tọa độ của sân bay Đà Nẵng.

b) Tìm hoành độ tại thời điểm $t=1$, rồi rút ra kết luận.

Lời giải:

a) Máy bay đến sân bay Đà Nẵng ứng với thời gian t (giờ) thỏa mãn:

$\{\begin{array}{l}16,1=21,2-\frac{153}{40}t\\ 108,2=105,8+\frac{9}{5}t\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{153}{40}t=5,1\\ \frac{9}{5}t=2,4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}t=\frac{4}{3}\\ t=\frac{4}{3}\end{array}\iff t=\frac{4}{3}$.

Chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất $\frac{4}{3}$ giờ.

b) Tại thời điểm $t=1$ giờ, ta có $x=21,2-\frac{153}{40}.1=17,375$

Vậy tại thời điểm 1 giờ sau khi cất cánh , máy bay ở vị trí có vĩ độ $17,{375}^o$ Bắc nên máy bay chưa bay qua vĩ tuyến 17.