Với giải Câu hỏi trang 98 Toán 10 Tập 1 Cánh Diều trong Bài 6: Tích vô hướng của hai vecto học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem: 

Toán 10 Cánh Diều trang 98 Bài 6: Tích vô hướng của hai vecto

Bài 2 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)<90°$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}<0;$

B. Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)>90°$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}>0$

C. Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)<90°$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}>0$

D. Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\ne 90°$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}<0.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C.

Với $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ thì $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)<90°$$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)>0$

Do đó ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)>0$.

Vậy $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)<90°$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}>0$.

Bài 3 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\left|\overrightarrow{a}\right|=3,\left|\overrightarrow{b}\right|=4,\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=30°$;

b) $\left|\overrightarrow{a}\right|=5,\left|\overrightarrow{b}\right|=6,\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=120°$;

c) $\left|\overrightarrow{a}\right|=2,\left|\overrightarrow{b}\right|=3,$$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng;

d) $\left|\overrightarrow{a}\right|=2,\left|\overrightarrow{b}\right|=3,$ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = 3 . 4 cos 30° = $6\sqrt{3}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = 5 . 6 cos 120° = – 15.

c) Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng nên

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|=2.3=6$.

d) Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng nên

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-\left(\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|\right)=-\left(2.3\right)=-6$.

Bài 4 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$;

b) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}$.

Lời giải:

a) ABCD là hình vuông nên đường chéo AC là tia phân giác của $\widehat{BAD}$.

Do đó: $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BAD}=\frac{1}{2}.90°=45°$.

Ta có:   

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

$=AB.AC.\cos \widehat{BAC}$

= a . a . cos 45°

$=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.

Vậy  $=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$ .

b) ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Do đó: $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BD}$, nên $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$.

Bài 5 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh:

$A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}=0$

Lời giải:

Ta có:

$A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}$

$=A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)$

$=A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BA}$

$=A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\left(-\overrightarrow{AB}\right)$

$=A{B}^2-{\overrightarrow{AB}}^2$

$=A{B}^2-A{B}^2=0$.

Vậy $A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}=0$.

Bài 6 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$;

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$.

Lời giải:

Tam giác ABC nhọn nên H thuộc cạnh BC.

a) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ CB.

Do đó: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{CB}=0$.

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$

$=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AC}$ (tính chất giao hoán)

$=\overrightarrow{AH}.\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)$

$=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{CB}=0$

Do đó: 

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}=0$

$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$.

b) Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{HB}$ (tính chất giao hoán)

$=\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{HB}\right)$

$=\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}-\left(-\overrightarrow{BH}\right)\right)$

$=\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH}\right)$

$=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AH}=0$

Suy ra: 

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}=0$

$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$.

Bài 7 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 40 km/h (Hình 68). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi.

Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị km/h).

Lời giải:

Giả sử vận tốc của máy bay theo hướng đông sang tây là $\overrightarrow{v_1}$, vận tốc của luồng gió theo hướng đông bắc sang tây nam là $\overrightarrow{v_2}$ và vận tốc mới của máy bay chính là $\overrightarrow{v}$ thỏa mãn $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$.  Ta cần tính độ dài vectơ $\overrightarrow{v}$. 

Theo bài ra ta có: $\left|\overrightarrow{v_1}\right|=700$km/h, $\left|\overrightarrow{v_2}\right|=40$ km/h, $\left(\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\right)=45°$.

Biểu diễn bài toán như hình vẽ dưới đây:

Khi đó ta có: ABCD là hình bình hành có $\widehat{ABC}=45°$. 

Suy ra: $\widehat{DAB}=180°-45°=135°$; $AD=\left|\overrightarrow{v_2}\right|=40$, $AB=\left|\overrightarrow{v_1}\right|=700$. 

Ta cần tính độ dài đoạn thẳng BD, đây chính là độ dài vectơ $\overrightarrow{v}$. 

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABD, ta có: 

BD² = AD² + AB² – 2 . AD . AB . cosA

          = 40² + 700² – 2 . 40 . 700 . cos135°

          ≈ 531 197, 98

Suy ra BD ≈ 728,83 (km/h). 

Vậy tốc độ mới của máy bay sau khi gặp gió thổi là 728,83 km/h. 

Bài 8 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3,$\widehat{BAC}=60°$ . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

a) Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

b) Biểu diễn $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BD}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

c) Chứng minh AM ⊥ BD.

Lời giải:

 a) Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

 $=AB.AC.cos\widehat{BAC}$= 2 . 3 . cos60° = 3.

b) + Do M là trung điểm của BC nên với điểm A ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

Do đó: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

+ Ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\left(-\overrightarrow{AB}\right)+\overrightarrow{AD}$

Mà $\overrightarrow{AD}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$

Nên

$\overrightarrow{BD}=\left(-\overrightarrow{AB}\right)+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$

$=-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

c) Ta có:

$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right).\left(-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}\right)$

$=\frac{-1}{2}{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{7}{24}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\frac{7}{24}{\overrightarrow{AC}}^2$

$=\frac{-1}{2}.A{B}^2+\frac{7}{24}.\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\frac{7}{24}.A{C}^2$

 $=\frac{-1}{2}{.2}^2+\frac{7}{24}.3-\frac{1}{2}.3+\frac{7}{24}{.3}^2$= 0

Suy ra: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=0$.

Vậy AM ⊥ BD.