SBT Toán 10 Cánh diều Bài 6: Tích vô hướng của hai vecto

Phương Thảo Ngày: 17-02-2023 Lớp 10

604

Với Giải SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài 6: Tích vô hướng của hai vecto Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

SBT Toán 10 Cánh diều Bài 6: Tích vô hướng của hai vecto

Câu hỏi trang 105 SBT Toán 10

Bài 57 trang 105 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC. Giá trị của $\vec{B A} . \vec{C A}$ bằng:

A. AB . AC . cos $\hat{B A C}$ .

B. – AB . AC . cos $\hat{B A C}$ .

C. AB . AC . cos $\hat{A B C}$ .

D. AB . AC . cos $\hat{A B C}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Xét tam giác ABC, có: $\vec{B A} . \vec{C A} = (- \vec{A B}) . (- \vec{A C}) = B A . C A . c os (- \vec{A B}, - \vec{A C})$

= $B A . C A . c os \hat{B A C}$

= $B A . C A . c os (\hat{B A C})$

Vậy chọn A.

Bài 58 trang 105 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC. Giá trị của $\vec{A B} . \vec{B C}$ bằng:

A. AB . BC . cos $\hat{A B C}$ .

B. AB . AC . cos $\hat{A B C}$ .

C. – AB . BC . cos $\hat{A B C}$ .

D. AB . BC . cos $\hat{B A C}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là A

$\vec{A B} . \vec{B C} = - \vec{B A} . \vec{B C} = - A B . B C . \cos (- \vec{B A}, \vec{B C})$

= $- A B . B C . \cos (180 ° - \hat{A B C})$

= $A B . B C . \cos \hat{A B C}$

Vậy chọn A.

Bài 59 trang 105 SBT Toán 10: Cho đoạn thẳng AB. Tập hợp các điểm M nằm trong mặt phẳng thỏa mãn $\vec{M A} . \vec{M B} = 0$ là:

A. Đường tròn tâm A bán kính AB.

B. Đường tròn tâm B bán kính AB.

C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB.

D. Đường tròn đường kính AB.

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Ta có: $\vec{M A} . \vec{M B} = 0$

⇒ $\hat{(\vec{M A}; \vec{M B})} = \hat{A M B} = 90 °$

Do đó tập hợp các điểm M thỏa mãn $\hat{A M B} = 90 °$ là đường tròn đường kính AB.

Bài 60 trang 105 SBT Toán 10: Nếu hai điểm M và N thỏa mãn $\vec{M N} . \vec{N M} = - 9$ thì:

A. MN = 9.

B. MN = 3.

C. MN = 81.

D. MN = 6.

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Ta có: $\vec{M N} . \vec{N M} = M N . M N . c o s (\vec{M N}, \vec{N M}) = M N . M N . c o s 180 ° = - M N^{2}$

Mà $\vec{M N} . \vec{N M} = - 9$ nên – MN² = – 9 ⇔ MN² = 9 ⇔ MN = 3 (thỏa mãn) hoặc MN = – 3 (không thỏa mãn).

Vậy MN = 3.

Bài 61 trang 105 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Các điểm M, N lần lượt thuộc các tia BC và CA thỏa mãn $B M = \frac{1}{3} B C$ , $C N = \frac{5}{4} C A$ . Tính:

a) $\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A M} . \vec{B N}$ .

b) MN.

Lời giải:

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Các điểm M, N lần lượt thuộc các tia BC và CA thỏa mãn BM = 1/3 BC, CN = 5/4 CA

a) Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c o s (\vec{A B}, \vec{A C})$

= $A B . A C . \cos \hat{B A C}$

= $a . a . \cos 60 °$

= $\frac{1}{2} a^{2}$

$\vec{A M} . \vec{B N} = (\vec{A B} + \vec{B M}) . (\vec{B A} + \vec{A N})$

$= (\vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{B C}) . (\frac{1}{4} \vec{C A} - \vec{A B})$

$= (\vec{A B} + \frac{1}{3} (\vec{A C} - \vec{A B})) . (- \frac{1}{4} \vec{A C} - \vec{A B})$

$= (\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}) . (- \frac{1}{4} \vec{A C} - \vec{A B})$

$= - \frac{2}{3} \vec{A B} . \frac{1}{4} \vec{A C} - \frac{2}{3} \vec{A B} . \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C} . \frac{1}{4} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A C} . \vec{A B}$ $= - \frac{1}{6} \vec{A B} . \vec{A C} - \frac{2}{3} {\vec{A B}}^{2} - \frac{1}{12} {\vec{A C}}^{2} - \frac{1}{3} \vec{A C} . \vec{A B}$

$= - \frac{1}{6} . \frac{1}{2} a^{2} - \frac{2}{3} . a^{2} - \frac{1}{12} . a^{2} - \frac{1}{3} . \frac{1}{2} a^{2}$

$= - \frac{1}{12} a^{2} - \frac{2}{3} . a^{2} - \frac{1}{12} . a^{2} - \frac{1}{6} a^{2}$

$= - a^{2}$ .

b) Ta có: $\vec{M N} = \vec{M C} + \vec{C N}$

⇔ $\vec{M N} = \vec{M B} + \vec{B C} + \vec{C N} = - \frac{1}{3} \vec{B C} + \vec{B C} + \frac{5}{4} \vec{C A} = \frac{2}{3} \vec{B C} + \frac{5}{4} \vec{C A}$

⇔ ${\vec{M N}}^{2} = {(\frac{2}{3} \vec{B C} + \frac{5}{4} \vec{C A})}^{2}$

⇔ ${\vec{M N}}^{2} = {(\frac{2}{3} \vec{B C})}^{2} + \frac{5}{3} \vec{B C} . \vec{C A} + {(\frac{5}{4} \vec{C A})}^{2}$

⇔ ${\vec{M N}}^{2} = {(\frac{2}{3} \vec{B C})}^{2} - \frac{5}{3} \vec{C B} . \vec{C A} + {(\frac{5}{4} \vec{C A})}^{2}$

⇔ ${\vec{M N}}^{2} = \frac{4}{9} {\vec{B C}}^{2} - \frac{5}{3} | \vec{B C} | . | \vec{C A} | cos (\vec{C B}, \vec{C A}) + \frac{25}{16} {\vec{C A}}^{2}$

⇔ ${\vec{M N}}^{2} = \frac{4}{9} {\vec{B C}}^{2} - \frac{5}{3} | \vec{B C} | . | \vec{C A} | cos \hat{C B A} + \frac{25}{16} {\vec{C A}}^{2}$

⇔ ${\vec{M N}}^{2} = \frac{4}{9} a^{2} - \frac{5}{3} a . a cos60 ° + \frac{25}{16} a^{2}$

⇔ ${\vec{M N}}^{2} = \frac{4}{9} a^{2} - \frac{5}{6} a^{2} + \frac{25}{16} a^{2} = \frac{169}{144} a^{2}$

⇔ $M N = \frac{13}{12} a$

Vậy $M N = \frac{13}{12} a$ .

Câu hỏi trang 106 SBT Toán 10

Bài 62 trang 106 SBT Toán 10: Cho hình thoi ABCD cạnh a và $\hat{A} = 120 °$ . Tính $\vec{A C} . \vec{B C}$ .

Lời giải:

Cho hình thoi ABCD cạnh a và ∠A = 120° . Tính ( vectơ AC ) . ( vectơ BC )

$\vec{A C} . \vec{B C} = (\vec{A D} + \vec{A B}) . \vec{A D} = {\vec{A D}}^{2} + \vec{A B} . \vec{A D}$

$= {\vec{A D}}^{2} + A B . A D . c os (\vec{A B}, \vec{A D})$

= a² + a.a.cos120°

= a² – $\frac{1}{2}$ a² = $\frac{1}{2}$ a².

Vậy $\vec{A C} . \vec{B C} = \frac{1}{2} a^{2} .$

Bài 63 trang 106 SBT Toán 10: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh $\vec{A B} . \vec{C D} + \vec{A C} . \vec{D B} + \vec{A D} . \vec{B C} = 0$ .

Lời giải:

$\vec{A B} . \vec{C D} + \vec{A C} . \vec{D B} + \vec{A D} . \vec{B C} = 0$

$= \vec{A B} . (\vec{A D} - \vec{A C}) + \vec{A C} . (\vec{A B} - \vec{A D}) + \vec{A D} . (\vec{A C} - \vec{A B})$

$= \vec{A B} . \vec{A D} - \vec{A B} . \vec{A C} + \vec{A C} . \vec{A B} - \vec{A C} . \vec{A D} + \vec{A D} . \vec{A C} - \vec{A D} . \vec{A B}$

$= (\vec{A B} . \vec{A D} - \vec{A D} . \vec{A B}) + (- \vec{A B} . \vec{A C} + \vec{A C} . \vec{A B}) + (- \vec{A C} . \vec{A D} + \vec{A D} . \vec{A C})$