SBT Toán 10 Cánh diều Bài 5: Tích của một vecto với một số

Phương Thảo Ngày: 17-02-2023 Lớp 10

463

Với Giải SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài 5: Tích của một số với một vecto Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

SBT Toán 10 Cánh diều Bài 5: Tích của một vecto với một số

Câu hỏi trang 99 SBT Toán 10

Bài 47 trang 99 SBT Toán 10: Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\vec{A B} = 2 \vec{O A}$ .

B. $\vec{A B} = 2 \vec{O B}$ .

C. $\vec{A B} = - 2 \vec{O B}$ .

D. $\vec{A O} = 2 \vec{A B}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Vì O là trung điểm của AB nên OA = OB = $\frac{1}{2}$ AB hay AB = 2OA = 2OB.

Ta có: $\vec{A B}$ và $\vec{O A}$ là hai vectơ ngược hướng nên $\vec{A B} = - 2 \vec{O A}$ . Do đó A và D sai.

Ta lại có: $\vec{A B}$ và $\vec{O B}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\vec{A B} = 2 \vec{O B}$ . Do đó B đúng và C sai.

Bài 48 trang 99 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\vec{A M} = - 3 \vec{G M}$ .

B. $\vec{A M} = \frac{3}{2} \vec{G M}$ .

C. $\vec{A M} = - \frac{3}{2} \vec{G M}$ .

D. $\vec{A M} = 3 \vec{G M}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Vì G là trọng tâm tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên ta có:

AG = $\frac{2}{3}$ AM hay AM = 3GM

Ta có hai vectơ $\vec{A M}$ và $\vec{G M}$ cùng hướng nên $\vec{A M} = 3 \vec{G M}$ .

Vậy chọn D.

Bài 49 trang 99 SBT Toán 10: Cho $\vec{a} \neq \vec{0}$ . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\vec{a}$ và $4 \vec{a}$ cùng phương.

B. $\vec{a}$ và $- 4 \vec{a}$ cùng phương.

C. $\vec{a}$ và $4 \vec{a}$ không cùng hướng.

D. $\vec{a}$ và $- 4 \vec{a}$ ngược hướng.

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Vì 4 > 0 nên $\vec{a}$ và $4 \vec{a}$ cùng hướng nên $\vec{a}$ và $4 \vec{a}$ cùng phương. Do đó A đúng, C sai.

Vì – 4 < 0 nên $\vec{a}$ và $- 4 \vec{a}$ ngược hướng nên $\vec{a}$ và $- 4 \vec{a}$ cùng phương. Do đó B, D đúng.

Bài 50 trang 99 SBT Toán 10: Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa hai điểm A, B. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\vec{A C} = \frac{A C}{A B} \vec{A B}$ .

B. $\vec{A C} = - \frac{A C}{A B} \vec{A B}$ .

C. $\vec{A C} = \frac{A B}{A C} \vec{A B}$ .

D. $\vec{A C} = - \frac{A B}{A C} \vec{A B} .$

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Vì điểm C nằm giữa hai điểm A, B nên hai vectơ $\vec{A C}, \vec{A B}$ cùng hướng.

Do đó $\vec{A C} = \frac{A C}{A B} \vec{A B}$ .

Vậy chọn A

Bài 51 trang 99 SBT Toán 10: Cho đoạn thẳng BC và điểm A nằm giữa hai điểm B, C. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\vec{A C} = \frac{A C}{A B} \vec{A B}$ .

B. $\vec{A C} = - \frac{A C}{A B} \vec{A B}$ .

C. $\vec{A C} = \frac{A B}{A C} \vec{A B}$ .

D. $\vec{A C} = - \frac{A B}{A C} \vec{A B} .$

Lời giải:

Vì điểm A nằm giữa hai điểm B và C nên hai vectơ $\vec{A C}, \vec{A B}$ ngược hướng.

Do đó $\vec{A C} = - \frac{A C}{A B} \vec{A B}$ .

Vậy chọn B

Câu hỏi trang 100 SBT Toán 10

Bài 52 trang 100 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC. Xác định các điểm M, N, P trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{A M} = \vec{C B}$ ;

b) $\vec{A N} = - \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ ;

c) $\vec{P A} - \vec{P B} + 2 \vec{P C} = \vec{0}$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{A M} = \vec{C B}$

⇒ AM // CB, AM = CB và M, B cùng phía so với bờ AC

⇒ ACBM là hình bình hành

Vậy điểm M thỏa mãn ACBM là hình bình hành.

b) Gọi N’ là trung điểm của BC

Khi đó ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A N'}$ hay $\vec{A N'} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$

⇒ $\vec{A N} = - \vec{A N'}$

⇒ A là trung điểm của đoạn NN’

Vậy N là điểm đối xứng với N’ qua A.

c) Xét $\vec{P A} - \vec{P B} + 2 \vec{P C} = \vec{0}$

⇔ $\vec{B A} + 2 \vec{P C} = \vec{0}$

⇔ $2 \vec{P C} = \vec{A B}$

⇒ Điểm P là điểm thỏa mãn PC // AB, P nằm cùng phía với A bờ BC sao cho 2PC = AB.

Vậy điểm P là điểm nằm trên đường thẳng song song với AB, nằm cùng phía với A so với BC sao cho 2PC = AB.

Bài 53 trang 100 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác AD. Đặt AB = b, AC = c. Chứng minh: $c \vec{D B} + b \vec{D C} = \vec{0}$ .

Lời giải:

Xét tam giác ABC, có:

$\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} = \frac{b}{c}$

⇒ $D B = \frac{b}{c} D C$

Ta có: D nằm giữa B và C nên $\vec{D B}$ và $\vec{D C}$ ngược hướng

⇒ $\vec{D B} = - \frac{b}{c} \vec{D C}$

⇔ $c \vec{D B} + b \vec{D C} = \vec{0}$ .

Bài 54 trang 100 SBT Toán 10: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M, N, P thỏa mãn $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ , $\vec{A N} = \frac{1}{5} \vec{A C}$ , $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A D}$ . Đặt $\vec{A B} = \vec{a}$ và $\vec{A D} = \vec{b}$ . Biểu thị các vec tơ $\vec{A N}$ , $\vec{M N}$ , $\vec{N P}$ theo các vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có: $\vec{A N} = \frac{1}{5} \vec{A C} = \frac{1}{5} (\vec{A B} + \vec{A D}) = \frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A D} = \frac{1}{5} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b}$ .

$\vec{M N} = \vec{A N} - \vec{A M} = \frac{1}{5} \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B} = \frac{1}{5} (\vec{A B} + \vec{A D}) - \frac{1}{2} \vec{A B} = - \frac{3}{10} \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A D} = - \frac{3}{10} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b}$

$\vec{N P} = \vec{A P} - \vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{A D} - \frac{1}{5} \vec{A C} = \frac{1}{3} \vec{A D} - \frac{1}{5} (\vec{A B} + \vec{A D}) = - \frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{2}{15} \vec{A D} = - \frac{1}{5} \vec{a} + \frac{2}{15} \vec{b}$

Ta có $- \frac{3}{10} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b} = \frac{3}{2} (- \frac{1}{5} \vec{a} + \frac{2}{15} \vec{b})$ hay $\vec{M N} = \frac{3}{2} \vec{N P}$

Do đó M, N, P thẳng hàng.

Bài 55 trang 100 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thỏa mãn $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ , $\vec{A E} = \frac{2}{5} \vec{A C}$ , $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ , $\vec{A N} = k \vec{A M}$ với k là số thực. Đặt $\vec{a} = \vec{A B}$ , $\vec{b} = \vec{A C}$ . Biểu thị các vectơ $\vec{A N}$ , $\vec{D E}$ , $\vec{E N}$ theo các vectơ $\vec{a} = \vec{A B}$ , $\vec{b} = \vec{A C}$ và tìm k để ba điểm D, E, N thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có: $\vec{A N} = k \vec{A M} = k . (\vec{A B} + \vec{B M}) = k . (\vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{B C})$

$= k . (\vec{A B} + \frac{1}{3} (\vec{A C} - \vec{A B}))$

= $k . (\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C})$ = $k . (\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b})$ .

$\vec{D E} = \vec{A E} - \vec{A D} = \frac{2}{5} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A B} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}$

$= - \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b}$

$\vec{E N} = \vec{A N} - \vec{A E} = k . (\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}) - \frac{2}{5} \vec{A C}$

$= \frac{2 k}{3} \vec{A B} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{A C}$

$= \frac{2 k}{3} \vec{a} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{b}$

Để ba điểm D, E, N thẳng hàng thì tồn tại t ∈ ℝ sao cho $\vec{E N} = t \vec{D N}$

⇔ $\frac{2 k}{3} \vec{a} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{b} = t (- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b})$

⇔ $\frac{2 k}{3} \vec{a} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{b} = - \frac{t}{3} \vec{a} + \frac{2 t}{5} \vec{b}$

⇔ $\{\begin{cases} \frac{2 k}{3} = - \frac{t}{3} \\ \frac{k}{3} - \frac{2}{5} = \frac{2 t}{5} \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} k = \frac{6}{17} \\ t = - \frac{12}{17} \end{cases}$

Do đó ba điểm D, E, N thẳng hàng khi k = $\frac{6}{17}$ .

Vậy $\vec{A N} = k . [\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}]$ , $\vec{D E} = - \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b}$ , $\vec{E N} = \frac{2 k}{3} \vec{a} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{b}$ và với k = $\frac{6}{17}$ thì ba điểm D, E, N thẳng hàng.

Bài 56 trang 100 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC, lấy các điểm A’, B’, C’ không trùng với đỉnh của tam giác và lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA thỏa mãn $\frac{AA'}{A B} = \frac{B B'}{B C} = \frac{C C'}{C A}$ . Chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Đặt $\frac{AA'}{A B} = \frac{B B'}{B C} = \frac{C C'}{C A} = t$ (t > 0)

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} A A' = t A B \\ B B' = t B C \\ C C' = t C A \end{cases}$

⇒ $\{\begin{cases} \vec{A A'} = t \vec{A B} \\ \vec{B B'} = t \vec{B C} \\ \vec{C C'} = t \vec{C A} \end{cases}$ (vì các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA)