SBT Toán 10 Cánh Diều trang 100 Bài 5: Tích của một vecto với một số

Giang Ngày: 17-02-2023 Lớp 10

168

Với giải Câu hỏi trang 100 SBT Toán 10 Tập 1 Cánh Diều trong Bài 5: Tích của ột vecto với một số giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

SBT Toán 10 Cánh Diều trang 100 Bài 5: Tích của một vecto với một số

Bài 52 trang 100 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC. Xác định các điểm M, N, P trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{A M} = \vec{C B}$ ;

b) $\vec{A N} = - \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ ;

c) $\vec{P A} - \vec{P B} + 2 \vec{P C} = \vec{0}$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{A M} = \vec{C B}$

⇒ AM // CB, AM = CB và M, B cùng phía so với bờ AC

⇒ ACBM là hình bình hành

Vậy điểm M thỏa mãn ACBM là hình bình hành.

b) Gọi N’ là trung điểm của BC

Khi đó ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A N'}$ hay $\vec{A N'} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$

⇒ $\vec{A N} = - \vec{A N'}$

⇒ A là trung điểm của đoạn NN’

Vậy N là điểm đối xứng với N’ qua A.

c) Xét $\vec{P A} - \vec{P B} + 2 \vec{P C} = \vec{0}$

⇔ $\vec{B A} + 2 \vec{P C} = \vec{0}$

⇔ $2 \vec{P C} = \vec{A B}$

⇒ Điểm P là điểm thỏa mãn PC // AB, P nằm cùng phía với A bờ BC sao cho 2PC = AB.

Vậy điểm P là điểm nằm trên đường thẳng song song với AB, nằm cùng phía với A so với BC sao cho 2PC = AB.

Bài 53 trang 100 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác AD. Đặt AB = b, AC = c. Chứng minh: $c \vec{D B} + b \vec{D C} = \vec{0}$ .

Lời giải:

Xét tam giác ABC, có:

$\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} = \frac{b}{c}$

⇒ $D B = \frac{b}{c} D C$

Ta có: D nằm giữa B và C nên $\vec{D B}$ và $\vec{D C}$ ngược hướng

⇒ $\vec{D B} = - \frac{b}{c} \vec{D C}$

⇔ $c \vec{D B} + b \vec{D C} = \vec{0}$ .

Bài 54 trang 100 SBT Toán 10: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M, N, P thỏa mãn $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ , $\vec{A N} = \frac{1}{5} \vec{A C}$ , $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A D}$ . Đặt $\vec{A B} = \vec{a}$ và $\vec{A D} = \vec{b}$ . Biểu thị các vec tơ $\vec{A N}$ , $\vec{M N}$ , $\vec{N P}$ theo các vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có: $\vec{A N} = \frac{1}{5} \vec{A C} = \frac{1}{5} (\vec{A B} + \vec{A D}) = \frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A D} = \frac{1}{5} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b}$ .

$\vec{M N} = \vec{A N} - \vec{A M} = \frac{1}{5} \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B} = \frac{1}{5} (\vec{A B} + \vec{A D}) - \frac{1}{2} \vec{A B} = - \frac{3}{10} \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A D} = - \frac{3}{10} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b}$

$\vec{N P} = \vec{A P} - \vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{A D} - \frac{1}{5} \vec{A C} = \frac{1}{3} \vec{A D} - \frac{1}{5} (\vec{A B} + \vec{A D}) = - \frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{2}{15} \vec{A D} = - \frac{1}{5} \vec{a} + \frac{2}{15} \vec{b}$

Ta có $- \frac{3}{10} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b} = \frac{3}{2} (- \frac{1}{5} \vec{a} + \frac{2}{15} \vec{b})$ hay $\vec{M N} = \frac{3}{2} \vec{N P}$

Do đó M, N, P thẳng hàng.

Bài 55 trang 100 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thỏa mãn $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ , $\vec{A E} = \frac{2}{5} \vec{A C}$ , $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ , $\vec{A N} = k \vec{A M}$ với k là số thực. Đặt $\vec{a} = \vec{A B}$ , $\vec{b} = \vec{A C}$ . Biểu thị các vectơ $\vec{A N}$ , $\vec{D E}$ , $\vec{E N}$ theo các vectơ $\vec{a} = \vec{A B}$ , $\vec{b} = \vec{A C}$ và tìm k để ba điểm D, E, N thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có: $\vec{A N} = k \vec{A M} = k . (\vec{A B} + \vec{B M}) = k . (\vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{B C})$

$= k . (\vec{A B} + \frac{1}{3} (\vec{A C} - \vec{A B}))$

= $k . (\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C})$ = $k . (\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b})$ .

$\vec{D E} = \vec{A E} - \vec{A D} = \frac{2}{5} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A B} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}$

$= - \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b}$

$\vec{E N} = \vec{A N} - \vec{A E} = k . (\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}) - \frac{2}{5} \vec{A C}$

$= \frac{2 k}{3} \vec{A B} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{A C}$

$= \frac{2 k}{3} \vec{a} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{b}$

Để ba điểm D, E, N thẳng hàng thì tồn tại t ∈ ℝ sao cho $\vec{E N} = t \vec{D N}$

⇔ $\frac{2 k}{3} \vec{a} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{b} = t (- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b})$

⇔ $\frac{2 k}{3} \vec{a} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{b} = - \frac{t}{3} \vec{a} + \frac{2 t}{5} \vec{b}$

⇔ $\{\begin{cases} \frac{2 k}{3} = - \frac{t}{3} \\ \frac{k}{3} - \frac{2}{5} = \frac{2 t}{5} \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} k = \frac{6}{17} \\ t = - \frac{12}{17} \end{cases}$

Do đó ba điểm D, E, N thẳng hàng khi k = $\frac{6}{17}$ .

Vậy $\vec{A N} = k . [\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}]$ , $\vec{D E} = - \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b}$ , $\vec{E N} = \frac{2 k}{3} \vec{a} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{b}$ và với k = $\frac{6}{17}$ thì ba điểm D, E, N thẳng hàng.

Bài 56 trang 100 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC, lấy các điểm A’, B’, C’ không trùng với đỉnh của tam giác và lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA thỏa mãn $\frac{AA'}{A B} = \frac{B B'}{B C} = \frac{C C'}{C A}$ . Chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Đặt $\frac{AA'}{A B} = \frac{B B'}{B C} = \frac{C C'}{C A} = t$ (t > 0)

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} A A' = t A B \\ B B' = t B C \\ C C' = t C A \end{cases}$

⇒ $\{\begin{cases} \vec{A A'} = t \vec{A B} \\ \vec{B B'} = t \vec{B C} \\ \vec{C C'} = t \vec{C A} \end{cases}$ (vì các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA)