Với Giải SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài 4: Tổng và hiệu của hai vecto Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

SBT Toán 10 Cánh diều Bài 4: Tổng và hiệu của hai vecto

Câu hỏi trang 92 SBT Toán 10

Bài 32 trang 92 SBT Toán 10: Cho ba điểm M, N, P phân biệt. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$ .

B.$-\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$ .

C. $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$ .

D. $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=-\overrightarrow{MP}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Ta có: $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{MH}\ne \overrightarrow{MP}$ (H, K là điểm thỏa mãn MKHN là hình bình hành). Do đó A sai.

Ta có: $-\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NT}\ne \overrightarrow{MP}$ (T là điểm MNPT là hình bình hành). Do đó B sai

Ta có: $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$ (quy tắc ba điểm). Do đó C đúng.

Ta có: $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}\ne -\overrightarrow{MP}$ . Do đó D sai.

Bài 33 trang 92 SBT Toán 10: Cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CA}$ .

B. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ .

C. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}$ .

D. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AC}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Ta có: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$ . Do đó A đúng.

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{AD}$ . Do đó B sai.

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$ . Do đó C sai.

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ne -\overrightarrow{AC}$ . Do đó D sai.

Bài 34 trang 92 SBT Toán 10: Cho các điểm A, B, O. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$ .

B. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ .

C. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ .

D. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Cho các điểm A, B, O. Khẳng định nào sau đây đúng?

Ta có: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{AB}$ . Do đó A sai.

Ta có: $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}$ . Do đó B đúng.

Ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\ne \overrightarrow{AB}$ (C là điểm thỏa mãn OBCA là hình bình hành). Do đó C sai.

Ta có: $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}\ne \overrightarrow{AB}$ (C là điểm thỏa mãn OBCA là hình bình hành). Do đó D sai.

Bài 35 trang 92 SBT Toán 10: Cho ba điểm A, B, M phân biệt. Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của đoạn thẳng AB là

A. $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}$ .

B. $|\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{MB}|$ .

C. $\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}$ ngược hướng.

D. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là D

M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB và $\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}$ ngược hướng.

⇒ $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}$ hay $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}.$

Vậy điều kiện đủ đề M là trung điểm của đoạn thẳng AB là

Bài 36 trang 92 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC. Điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm của tam giác ABC là

A. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GC}$ .

B. $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{AG}$ .

C. $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}$ .

D. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm của tam giác ABC là$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

⇔ $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{GA}$

⇔ $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{AG}$

Bài 37 trang 92 SBT Toán 10: Cho tứ giác ABCD, O là trung điểm của AB. Chứng minh: $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.$

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$

$=\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}\right)+\left(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OD}\right)$

$=\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}\right)+\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)$

$=\overrightarrow{0}+\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)$

$=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$

Bài 38 trang 92 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 4a, AC = 5a. Tính:

a) $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$ ;

b) $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|$ .

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, có:

BC² = AB² + AC² (định lí pythagoras)

⇔ BC² = (4a)² + (5a)² = 41a²

⇔ BC = $\sqrt{41}$ a.

Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$

⇒ $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{41}a$ .

Vậy $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=\sqrt{41}a$ .

b) Lấy điểm D là điểm thỏa mãn ABDC là hình chữ nhật nên AD = BC (tính chất hình hình chữ nhật).

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành)

⇒ $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{CB}=\sqrt{41}a$ .

Vậy $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=\sqrt{41}a.$

Bài 39 trang 92 SBT Toán 10: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính:

a) $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|$ ;

b) $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$ .

c) $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc 3 điểm)

⇒$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AC}|=AC=a$

Vậy $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|=a$ .

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$

⇒ $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CB}|=CB=a$ .

Vậy $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=a$ .

c) Gọi D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành, M là trung điểm của BC.

Khi đó: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$

⇒ $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AD}|$ .

Xét tam giác ABC, có AM là đường trung tuyến nên AM là đường cao

⇒ AM = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

⇒ AD = 2AM = 2.$\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$ .

⇒$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AD}|=a\sqrt{3}$ .

Vậy $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{3}$ .

Bài 40 trang 92 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC thỏa mãn $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$ . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải:

Gọi D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành.

Khi đó, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$

⇒ $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AD}|=AD$

Ta lại có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}$

⇒ $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CB}|=CB$

Mà $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$ nên AD = CB.

Hình bình hành ABCD có AB = CB nên ABCD là hình chữ nhật. Do đó tam giác ABC vuông tại A.

Câu hỏi trang 93 SBT Toán 10

Bài 41 trang 93 SBT Toán 10: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ . Chứng minh rằng nếu hai vectơ cùng hướng thì .$|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$

Lời giải:

Không mất tính tổng quát ta lấy một điểm A bất kì, vẽ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$

Vì hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng hướng nên A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C.

Ta có: $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{AB}|=AB,|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{BC}|=BC$

⇒ $|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|=AB+BC=AC$

$\Rightarrow |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|=\overrightarrow{AC}$.

Vậy $|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$ .

Bài 42 trang 93 SBT Toán 10: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|$ .

Lời giải:

Lấy E là điểm thỏa mãn ABEC là hình bình hành, gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}$

⇒ $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AE}|=AE$

Vì M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của AE

⇒ AE = 2AM.

Xét tam giác ABM vuông tại B, có:

AM² = AB² + BM² (định lí pythagoras)

⇔ AM² = a² + ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2$ = a² + $\frac{a^2}{4}$ = $\frac{5a^2}{4}$

⇔ AM = $\frac{\sqrt{5}a}{2}$

⇒ AE = 2AM = $2.\frac{\sqrt{5}a}{2}=\sqrt{5}a$

Vậy AE = $\sqrt{5}a$ .

Bài 43 trang 93 SBT Toán 10: Cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, E là trung điểm của AD, G là giao điểm của BE và AC. Tính:

a) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$ ;

b) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}$ .

Lời giải:

a) Xét hình bình hành ABCD, có O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC và O là trung điểm của BD.

⇒ $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$

Ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$

$=\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right)$.

$=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}$$=\overrightarrow{0}$

Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$ .

b) Xét tam giác ABD, có:

AO là trung tuyến, BE là đường trung tuyến

Mà AO giao với BE tại G nên G là trọng tâm tam giác ABD

⇒ $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$

Vậy $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ .

Bài 44 trang 93 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}|=|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}|$ .

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}$

⇒ $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}|=|\overrightarrow{AM}|=AM$

Ta lại có: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MC}$

⇒ $|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}|=|\overrightarrow{MC}|=MC$

Vì $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}|=|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}|$ nên AM = MC

Tập hợp điểm M thỏa mãn AM = MC là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện đầu bài là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Bài 45 trang 93 SBT Toán 10: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm là G. Chứng minh $\overrightarrow{\text{AA}\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{0}$ .

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{\text{AA}\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{\text{AG}}+\overrightarrow{GA\text{'}}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC\text{'}}$

$=\left(\overrightarrow{\text{AG}}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}\right)+\left(\overrightarrow{GA\text{'}}+\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{GC\text{'}}\right)$

$=\left(-\overrightarrow{\text{GA}}-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}\right)+\left(\overrightarrow{GA\text{'}}+\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{GC\text{'}}\right)$

$=-\left(\overrightarrow{\text{GA}}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\left(\overrightarrow{GA\text{'}}+\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{GC\text{'}}\right)$

$=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}$

$=\overrightarrow{0}$