Với giải Câu hỏi trang 86 Toán 10 Tập 2 Cánh Diều trong Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng  giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem: 

Toán 10 Cánh Diều trang 86 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 1 trang 86 Toán lớp 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

Lời giải:

a) Tọa độ giao điểm của đường thẳng d₁ và d₂ là nghiệm của hệ phương trình

Hệ trên tương đương với

Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = $\left(\frac{9}{7};\frac{4}{7}\right)$.

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ có 1 điểm chung, tức là chúng cắt nhau tại giao điểm $\left(\frac{9}{7};\frac{4}{7}\right).$

b) Tọa độ giao điểm của đường thẳng d₃ và d₄ là nghiệm của hệ phương trình

Hệ trên tương đương với

Do đó, hệ vô nghiệm.

Vậy hai đường thẳng d₃ và d₄ không có điểm chung, tức là d₃ // d₄.

c) Đường thẳng d₅ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_5}=\left(4;2\right)$, do đó nó có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_5}=\left(2;-4\right)$.

Đường thẳng d₆ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_6}=\left(1;-2\right)$.

Ta có: $\overrightarrow{u_5}=2\overrightarrow{u_6}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{u_5},\overrightarrow{u_6}$ cùng phương.

Ứng với t = 0, thay vào phương trình d₆, ta được

Do đó, điểm M$\left(-\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)$ thuộc đường thẳng d₆.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d₅, ta được: $4.\left(-\frac{1}{2}\right)+2.\frac{5}{2}-3=0$⇔ 0 = 0.

Khi đó điểm M thuộc đường thẳng d₅.

Vậy hai đường thẳng d₅ và d₆ trùng nhau.

Bài 2 trang 86 Toán lớp 10 Tập 2: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng d₁: 2x – y + 5 = 0 và d₂: x – 3y + 3 = 0.

Lời giải:

Đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=\left(2;-1\right)$.

Đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=\left(1;-3\right)$.

Vậy (d₁, d₂) = 45°.

Bài 3 trang 86 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

Lời giải:

a) Khoảng cách từ A đến ∆₁ là:

b) Đường thẳng ∆₂ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}=\left(1;-2\right)$, do đó nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=\left(2;1\right)$.

Ứng với t = 0 thay vào phương trình ∆₂ ta được:

Do đó điểm H(– 2; 1) thuộc ∆₂.

Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆₂ là 2(x + 2) + 1(y – 1) = 0 hay 2x + y + 3 = 0.

Do đó, khoảng cách từ B đến ∆₂ là:

Bài 4 trang 86 Toán lớp 10 Tập 2: Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc?

Δ₁: mx – y + 1 = 0 và Δ₂: 2x – y + 3 = 0.

Lời giải:

Đường thẳng ∆₁ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=\left(m;-1\right)$.

Đường thẳng ∆₂ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=\left(2;-1\right)$.Ta có: ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ $\iff \overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}\iff \overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=0$$\iff$m . 2 + (– 1) . (– 1) = 0 ⇔ m = $-\frac{1}{2}$.

Vậy m = $-\frac{1}{2}$ thì hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ vuông góc với nhau.

Bài 5 trang 86 Toán lớp 10 Tập 2: Cho ba điểm A(2; – 1), B(1; 2) và C(4; – 2). Tính số đo góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(-1;3\right),\overrightarrow{AC}=\left(2;-1\right)$.

Do đó, $\widehat{BAC}=135°$

Do đó, (AB, AC) = 45°.

Bài 6 trang 86 Toán lớp 10 Tập 2: Cho ba điểm A(2; 4), B(– 1; 2) và C(3; – 1). Viết phương trình đường thẳng đi qua B đồng thời cách đều A và C.

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng đi qua B và cách đều A và C.

Do d đi qua B(– 1; 2) nên phương trình đường thẳng d có dạng a(x + 1) + b(y – 2) = 0 hay ax + by + a – 2b = 0 (với a và b không đồng thời bằng 0).

Vì d cách đều A và C nên d(A, d) = d(C, d).

Trường hợp 1: 3a + 2b = 4a – 3b ⇔ a = 5b.

Chọn b = 1, a = 5 . 1 = 5, ta có phương trình đường thẳng d là 5x + y + 5 – 2 = 0 hay 5x + y + 3 = 0.

Trường hợp 2: 3a + 2b = – (4a – 3b) ⇔ 7a = b.

Chọn a = 1, b = 7 . 1 = 7, ta có phương trình đường thẳng d là x + 7y + 1 – 2 . 7 = 0 hay x + 7y – 13 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng cần lập là 5x + y + 3 = 0 hoặc x + 7y – 13 = 0.

Lưu ý: Do vectơ $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d, mà một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến, nên khi ta có hệ thức liên hệ giữa a và b thì ta có thể chọn a rồi suy ra b hoặc ngược lại.

Bài 7 trang 86 Toán lớp 10 Tập 2: Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) (t$\ge$0), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức , vị trí của tàu B có tọa độ là (4-30t ; 3-40t).

a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B.

b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?

c) Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?

Lời giải:

a) Giả sử đường đi của tàu A là d₁, khi đó phương trình d₁:

Giả sử đường đi của tàu B là d₂, vị trí của tàu B có tọa độ là (4 – 30t; 3 – 40t) nên phương trình d₂:

Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=\left(-33;25\right)$.

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}=\left(-30;-40\right)$.

Vậy côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B là $\frac{1}{5\sqrt{1714}}$.

b) Đường thẳng d₁ đi qua điểm A(3; – 4) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=\left(25;33\right)$.

Do đó phương trình tổng quát của d₁ là 25(x – 3) + 33(y + 4) = 0 hay 25x + 33y + 57 = 0.

Đường thẳng d₂ đi qua điểm B(4; 3) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=\left(4;-3\right)$.

Do đó phương trình tổng quát của d₂ là 4(x – 4) – 3(y – 3) = 0 hay 4x – 3y – 7 = 0.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂ là nghiệm của hệ phương trình

Do đó hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại điểm có tọa độ $\left(\frac{20}{69};-\frac{403}{207}\right)$.

Khi đó hai tàu A và tàu B gần nhau nhất khi hai tàu ở vị trí tọa độ $\left(\frac{20}{69};-\frac{403}{207}\right)$.

Thay tọa độ $\left(\frac{20}{69};-\frac{403}{207}\right)$ vào phương trình tham số d₁ ta được:

Vậy sau $\frac{17}{207}$ giờ kể từ thời điểm xuất phát thì hai tàu gần nhau nhất.

c) Vì tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu nên thời gian tàu A chạy là t = 0, do đó tàu A đứng ở vị trí A(3; – 4).

Khi đó khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu chính là khoảng cách từ điểm A đến đường đi của tàu B chính là đường thẳng d2: 4x – 3y – 7 = 0.

Vậy nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng 3,4 km.