Với giải Câu hỏi trang 10 SBT Toán 10 Tập 2 Cánh Diều trong Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp cây giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem: 

SBT Toán 10 Cánh Diều trang 10 Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp

Bài 11 trang 10 SBT Toán 10: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ∈ ℕ*). Mỗi hoán vị của n phần tử đó là:

A. Một kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A.

B. Tất cả kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A.

C. Một số được tính bằng n(n – 1). … .2.1.

D. Một số được tính bằng n!.

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ∈ ℕ*).

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 12 trang 10 SBT Toán 10: Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho là:

A. Một kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A.

B. Tất cả kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.

C. Một kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.

D. Một số được tính bằng n(n – 1)…(n – k + 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.

Mỗi kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 13 trang 10 SBT Toán 10: Cho k, n là các số nguyên dương, k ≤ n. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. $A_n^k$= n(n-1)...(n-k+1).

B. P_n = n(n – 1). … .2.1.

C. P_n = n!.

D. $A_n^k$= $\frac{n!}{k!}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là D

⦁ Công thức tính số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

$A_n^k$= n(n-1)...(n-k+1).

Do đó phương án A đúng.

⦁ Công thức tính số các hoán vị của n phần tử là:

P_n = n(n – 1). … .2.1 = n!.

Do đó phương án B, C đúng.

Suy ra phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 14 trang 10 SBT Toán 10: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên:

a) Gồm 9 chữ số đôi một khác nhau?

b) Gồm 7 chữ số đôi một khác nhau?

Lời giải:

a) Mỗi số tự nhiên lập được là một hoán vị của 9 chữ số đã cho.

Số các số tự nhiên có thể lập được là: P₉ = 9! = 362880 (số).

b) Mỗi số tự nhiên lập được là một chỉnh hợp chập 7 của 9 chữ số đã cho.

Số các số tự nhiên có thể lập được là: $A_9^7$ = 181440 (số).

Bài 15 trang 10 SBT Toán 10: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên:

a) Gồm 10 chữ số đôi một khác nhau?

b) Gồm 6 chữ số đôi một khác nhau?

Lời giải:

a) Xét số tự nhiên có dạng $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7{a}_8{a}_9{a}_{10}}$.

Trường hợp 1: a₁ có thể bằng 0 hoặc khác 0.

Với a₁ có thể bằng 0 hoặc khác 0, mỗi số có dạng trên là một hoán vị của 10 chữ số đã cho.

Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp 1 là:

P₁₀ = 10! (số).

Trường hợp 2: a₁ = 0.

Vì a₁ = 0 cố định nên 9 chữ số sau a₁ đều khác 0 và chỉ có 9 chữ số đó thay đổi.

Suy ra, mỗi số có dạng $\overline{0a_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7{a}_8{a}_9{a}_{10}}$ là một hoán vị của 9 chữ số khác 0 đã cho.

Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp 2 là:

P₉ = 9! (số).

Vậy số các số tự nhiên có 10 chữ số đôi một khác nhau có thể lập được là:

10! – 9! = 3265920 (số).

b) Xét số tự nhiên có dạng $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}$.

Trường hợp 1: a₁ có thể bằng 0 hoặc khác 0.

Với a₁ có thể bằng 0 hoặc khác 0, mỗi số có dạng trên là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số đã cho.

Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp 1 là: $A_{10}^6$ (số).

Trường hợp 2: a₁ = 0.

Vì a₁ = 0 cố định nên 5 chữ số sau a₁ đều khác 0 và chỉ có 5 chữ số đó thay đổi.

Suy ra, mỗi số có dạng $\overline{0a_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}$ là một chỉnh hợp chập 5 của 9 chữ số khác 0 đã cho.

Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp 2 là: $A_9^5$ (số).

Vậy số các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau có thể lập được là:

$A_{10}^6$ - $A_9^5$ = 136080 (số).

Bài 16 trang 10 SBT Toán 10: Một tổ có 8 học sinh gồm 4 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách xếp các học sinh trong tổ:

a) Thành một hàng dọc?

b) Thành một hàng dọc sao cho nam, nữ đứng xen kẽ nhau?

Lời giải:

a) Mỗi cách xếp thứ tự vị trí cho 8 học sinh trong tổ là một hoán vị của 8 phần tử.

Vậy số cách xếp 8 học sinh trong tổ thành một hàng dọc là:

P₈ = 8! = 40320 (cách xếp).

b) Giả sử các học sinh trong tổ được đánh số thứ tự từ 1 đến 8. Vì số học sinh nam và số học sinh nữ bằng nhau nên có hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Học sinh nam đứng đầu hàng.

Khi đó các học sinh nam có số thứ tự là số lẻ, còn các học sinh nữ có số thứ tự là số chẵn.

Như vậy, thứ tự của các học sinh nam và các học sinh nữ được cố định, chỉ thay đổi thứ tự giữa các học sinh nam, hoặc giữa các học sinh nữ.

Sắp xếp 4 học sinh nam thì có 4! (cách xếp).

Sắp xếp 4 học sinh nữ thì có 4! (cách xếp).

Khi đó, số cách xếp thứ tự các học sinh trong tổ trong trường hợp học sinh nam đứng đầu hàng là: 4!.4! = 576 (cách xếp).

Trường hợp 2: Học sinh nữ đứng đầu hàng.

Tương tự như trường hợp 1, số cách xếp thứ tự các học sinh trong tổ trong trường hợp học sinh nữ đứng đầu hàng là: 4!.4! = 576 (cách xếp).

Vậy số cách xếp thứ tự các học sinh trong tổ sao cho nam, nữ đứng xen kẽ nhau là:

576 + 576 = 1152 (cách xếp).

Bài 17 trang 10 SBT Toán 10: 90 học sinh được trường tổ chức cho đi xem kịch ở rạp hát thành phố. Các ghế ở rạp được sắp thành các hàng. Mỗi hàng có 30 ghế.

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 30 học sinh để ngồi vào hàng đầu tiên?

b) Sau khi sắp xếp xong hàng đầu tiên, có bao nhiêu cách sắp xếp 30 học sinh để ngồi vào hàng thứ hai?

c) Sau khi sắp xếp xong hai hàng đầu, có bao nhiêu cách sắp xếp 30 học sinh để ngồi vào hàng thứ ba?

Lời giải:

a) Mỗi cách xếp 30 học sinh để ngồi vào hàng đầu tiên là một chỉnh hợp chập 30 của 90 học sinh.

Vậy số các cách xếp 30 học sinh để ngồi vào hàng đầu tiên là: $A_{90}^{30}$ (cách xếp).

b) Sau khi sắp xếp xong hàng đầu tiên thì còn lại 60 học sinh chưa được sắp xếp.

Khi đó, mỗi cách xếp 30 học sinh để ngồi vào hàng thứ hai là một chỉnh hợp chập 30 của 60 học sinh.

Vậy số các cách xếp 30 học sinh để ngồi vào hàng thứ hai sau khi sắp xếp xong hàng đầu tiên là: $A_{60}^{30}$ (cách xếp).

c) Sau khi sắp xếp xong hai hàng đầu thì còn lại 30 học sinh chưa được sắp xếp.

Khi đó, mỗi cách xếp 30 học sinh để ngồi vào hàng thứ ba là một hoán vị của 30 phần tử.

Vậy số các cách xếp 30 học sinh để ngồi vào hàng thứ ba sau khi sắp xếp xong hai hàng đầu là: 30! (cách xếp).