a) Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.

b) Hai tam giác đồng dạng với nhau thì bằng nhau.

a) Giả sử $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }=\mathrm{\Delta }ABC$

Ta có: $\widehat{A^{\prime }}=\hat{A};\widehat{B^{\prime }}=\hat{B};\widehat{C^{\prime }}=\hat{C};$ $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB;A^{\prime }{C}^{\prime }=AC;B^{\prime }{C}^{\prime }=BC$

Từ đó suy ra ${\displaystyle \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}}={\displaystyle \frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}}={\displaystyle \frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}}=1$ . Do đó $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC.$

Vậy: mệnh đề a) là mệnh đề đúng.

b) Giả sử $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$.

Khi đó $\widehat{A^{\prime }}=\hat{A};\widehat{B^{\prime }}=\hat{B};\widehat{C^{\prime }}=\hat{C};$${\displaystyle \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}}={\displaystyle \frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}}={\displaystyle \frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}}=k$

Nếu $k=1$ thì $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB;A^{\prime }{C}^{\prime }=AC;$ $B^{\prime }{C}^{\prime }=BC$ $\Rightarrow \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }=\mathrm{\Delta }ABC$.

Nếu $k\ne 1$ thì $A^{\prime }{B}^{\prime }\ne AB;A^{\prime }{C}^{\prime }\ne AC;$ $B^{\prime }{C}^{\prime }\ne BC$ $\Rightarrow \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\ne \mathrm{\Delta }ABC$.

Do đó, mệnh đề b) là mệnh đề sai.

$∆A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ ∽ $∆A^{″}{B}^{″}{C}^{″}$ theo tỉ số đồng dạng $k_1$, do đó ta có: ${\displaystyle \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{A^{″}{B}^{″}}}=k_1$ (1)

 $∆A^{″}{B}^{″}{C}^{″}$ ∽ $∆ABC$ theo tỉ số đồng dạng $k_2$, do đó ta có: ${\displaystyle \frac{A^{″}{B}^{″}}{AB}}=k_2$ (2)

Từ các đẳng thức (1) và (2) ta có:

${\displaystyle \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{A^{″}{B}^{″}}}.{\displaystyle \frac{A^{″}{B}^{″}}{AB}}=k_1.k_2$ $\Rightarrow {\displaystyle \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}}=k_1{k}_2$

Vậy $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\sim \mathrm{\Delta }ABC$ theo tỉ số đồng dạng $k=k_1.k_2$

1. Cách dựng:

Trên cạnh $AB$, dựng điểm $E$ sao cho $AE={\displaystyle \frac{1}{2}}AB$.

Trên cạnh $AC$, dựng điểm $F$ sao cho $AF={\displaystyle \frac{1}{2}}AC$.

Tam giác $AEF$ là tam giác phải dựng (h.24).

2. Chứng minh:

Từ cách dựng ta có: ${\displaystyle \frac{AE}{AB}}={\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{AF}{AC}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ $\Rightarrow {\displaystyle \frac{AE}{AB}}={\displaystyle \frac{AF}{AC}}.$

Áp dụng định lý Ta – let đảo, suy ra $EF//BC$.

Áp dụng định lý bài 4, ta suy ra $\mathrm{\Delta }AEF\backsim \mathrm{\Delta }ABC$ theo tỉ số ${\displaystyle \frac{AE}{AB}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$∆A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ ∽ $∆ABC$ theo tỉ số đồng dạng $k={\displaystyle \frac{3}{5}}$.

a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho.

b) Cho biết chu vi của hai tam giác trên là $40$ dm, tính chu vi của mỗi tam giác.

Áp dụng:

- Tính chất hai tam giác đồng dạng.

- Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

a)  $∆A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ ∽ $∆ABC$ theo tỉ số đồng dạng $k={\displaystyle \frac{3}{5}}$, do đó ta có:

${\displaystyle \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}}={\displaystyle \frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}}={\displaystyle \frac{C^{\prime }{A}^{\prime }}{CA}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

${\displaystyle \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }+A^{\prime }{C}^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime }}{AB+AC+BC}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$ hay $={\displaystyle \frac{P^{\prime }}{P}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$

$P^{\prime }$ là chu vi của $∆A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $P$ là chu vi của $∆ABC$.

Vậy tỉ số chu vi của $∆A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $∆ABC$ chính bằng tỉ số đồng dạng $k={\displaystyle \frac{3}{5}}$.

b) Ta có: ${\displaystyle \frac{P^{\prime }}{P}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có:

${\displaystyle \frac{P^{\prime }}{P-P^{\prime }}}={\displaystyle \frac{3}{5-3}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Theo giả thiết ta có $P-P^{\prime }=40dm$

Vậy ${\displaystyle \frac{P^{\prime }}{40}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\Rightarrow P^{\prime }=40.3:2=60\left(dm\right)$

$\Rightarrow P=P^{\prime }+40=100\left(dm\right)$.

1. Cách dựng: 

- Trên cạnh $AB$ lấy điểm $B^{\prime }$ sao cho $A{B}^{\prime }={\displaystyle \frac{2}{3}}AB.$

- Trên cạnh $AC$ lấy điểm $C^{\prime }$ sao cho $A{C}^{\prime }={\displaystyle \frac{2}{3}}AC.$

- Chọn $A^{\prime }\equiv A$ ta được tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là tam giác cần dựng.

2. Chứng minh:

Từ cách dựng ta có: ${\displaystyle \frac{A{B}^{\prime }}{AB}}={\displaystyle \frac{A{C}^{\prime }}{AC}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ nên theo định lý Ta - let đảo ta có $B^{\prime }{C}^{\prime }//BC$.

Theo định lý bài 4 ta suy ra $∆A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ ∽ $∆ABC$ theo tỉ số đồng dạng $k={\displaystyle \frac{2}{3}}$ nên $∆A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ ∽ $∆ABC$ theo tỉ số đồng dạng $k={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Vở bài tập Toán 8 trang 80 - 83 Bài 21: Từ $M$ thuộc cạnh $AB$ của tam giác $ABC$ với $AM={\displaystyle \frac{1}{2}}MB$. Kẻ các tia song song với $AC$ và $BC$, chúng cắt $BC$ và $AC$ lần lượt tại $L$ và $N.$

a) Nêu tất cả các cặp tam giác đồng dạng.

b) Đối với mỗi cặp tam giác đồng dạng, hãy viết các cặp góc bằng nhau và tỉ số đồng dạng tương ứng.

Áp dụng:

- Định lí: Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

- Tính chất hai tam giác đồng dạng

a) Áp dụng định lí: Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, ta có:

$MN//BC$  (gt) $\Rightarrow$ $∆AMN$ ∽ $∆ABC$

$ML//AC$ (gt) $\Rightarrow$ $∆MBL$ ∽ $∆ABC$.

và $∆AMN$ ∽ $∆MBL$ (vì cùng đồng dạng với tam giác $ABC$)

b) $∆AMN$ ∽ $∆ABC$ có:

$\widehat{AMN}$ = $\widehat{ABC}$; $\widehat{ANM}$ = $\widehat{ACB}$; $\hat{A}$ chung

Tỉ số đồng dạng $k_1={\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ (vì $AM={\displaystyle \frac{1}{2}}MB$)

 $∆MBL$ ∽ $∆ABC$ có:  

$\widehat{BML}=\widehat{BAC}$, $\hat{B}$ chung, $\widehat{MLB}=\widehat{ACB}$

Tỉ số đồng dạng $k_2={\displaystyle \frac{MB}{AB}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

$∆AMN$ ∽ $∆MBL$ có:

$\widehat{MAN}=\widehat{BML}$, $\widehat{AMN}=\widehat{MBL}$, $\widehat{ANM}=\widehat{MLB}$

Tỉ số đồng dạng $k_3={\displaystyle \frac{AM}{MB}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$