Toptailieu.vn giới thiệu Vở bài tập Toán 8 trang 89, 90, 91, 92, 93, 94 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g) chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong Vở bài tập Toán 8. Mời các bạn đón đọc.

Vở bài tập Toán 8 trang 89, 90, 91, 92, 93, 94 Bài 7:Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g) 

Câu hỏi Vở bài tập Toán 8 trang 89 - 94: Cho tam giác có ba góc nhọn $ABC$ (h.32). Hai đường cao $AD$ và $BE$ của tam giác cắt nhau tại $H$.

a) Trong hình $32$, số tam giác vuông là:

A. $2$                         B. $3$

C. $4$                         D. $6$

Khoanh tròn vào chữ cái trước khẳng định đúng.

b,

Số các tam giác cùng đồng dạng với nhau là:

A. $2$                               B. $3$

C. $4$                               D. $5$

E. $6$

Khoanh tròn vào chữ cái trước khẳng định đúng.

c, Hãy điền từng cặp tam giác đồng dạng (viết theo đúng thứ tự các đỉnh tương ứng) và tỉ số đồng dạng của chúng vào chỗ trống trong bảng dưới đây:

Phương pháp giải: 

a, Tam giác vuông là tam giác có  góc vuông.
b, Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
c, Sử dụng kết quả câu b và điền vào bảng.
Lời giải:
a, Các tam giác vuông là: $\mathrm{\Delta }ADB,\mathrm{\Delta }ADC,\mathrm{\Delta }AEB,$ $\mathrm{\Delta }CEB,\mathrm{\Delta }AEH,\mathrm{\Delta }BDH$.

Vậy có $6$ tam giác vuông.

b,

Xét $\mathrm{\Delta }AEH$ và $\mathrm{\Delta }BDH$ có:

$\widehat{AEH}=\widehat{BDH}={90}^0\left(gt\right)$

$\widehat{AHE}=\widehat{BHD}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }AEH\backsim \mathrm{\Delta }BDH\left(g.g\right)$

Xét $\mathrm{\Delta }AEH$ và $\mathrm{\Delta }ADC$ có:

$\widehat{AEH}=\widehat{ADC}={90}^0\left(gt\right)$

Chung $\hat{A}$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }AEH\backsim \mathrm{\Delta }ADC\left(g.g\right)$

Xét $\mathrm{\Delta }ADC$ và $\mathrm{\Delta }BEC$ có:

$\widehat{ADC}=\widehat{BEC}={90}^0\left(gt\right)$

Chung $\hat{C}$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ADC\backsim \mathrm{\Delta }BEC\left(g.g\right)$

Vậy các tam giác cùng đồng dạng với nhau là: $\mathrm{\Delta }AEH$, $\mathrm{\Delta }BDH$, $\mathrm{\Delta }BEC$,

$\mathrm{\Delta }ADC$.

Có $4$ tam giác.

Chọn C.

c,

 
Vở bài tập Toán 8 trang 89 - 94 Bài 27: Chứng minh rằng nếu tam giác $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ đồng dạng với tam giác $ABC$ theo tỉ số $k$ thì tỉ số của hai đường phân giác tương ứng của chúng cũng bằng $k$.

Phương pháp giải:

Áp dụng:

- Định lí: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đô đồng dạng.

- Tính chất hai tam giác đồng dạng, tia phân giác.

Lời giải:

Chứng minh:

Từ giả thiết $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$ theo tỉ số $k$, suy ra

$\widehat{A^{\prime }}=\hat{A};\widehat{B^{\prime }}=\hat{B};\widehat{C^{\prime }}=\hat{C};$ ${\displaystyle \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}}={\displaystyle \frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}}={\displaystyle \frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}}=k$.

Xét hai tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ và $ABD$:

$\widehat{{A_1}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{2}}\widehat{A^{\prime }};\widehat{A_1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\hat{A};$ mà $\widehat{A^{\prime }}=\hat{A}$ (theo kết quả trên).

Do đó $\widehat{{A_1}^{\prime }}=\widehat{A_1}$ (1)

Ta lại có: $\widehat{B^{\prime }}=\hat{B}$ (2) (theo kết quả trên).

Từ định lí (của trường hợp đồng dạng thứ ba) suy ra $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABD$

Suy ra ${\displaystyle \frac{A^{\prime }{D}^{\prime }}{AD}}={\displaystyle \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}}=k$ (đpcm).

Vở bài tập Toán 8 trang 89 - 94 Bài 28: Tính độ dài $x$ của đoạn thẳng $BD$ trong hình 34 (Làm tròn đến chữ thập phân thứ nhất), biết rằng $ABCD$ là hình thang ($AB//CD$);$AB = 12,5cm; CD = 28,5cm; \widehat{DAB} = \widehat{DBC}$

Phương pháp giải:

Áp dụng:

- Định lí: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

- Tính chất hai tam giác đồng dạng, tia phân giác.

Lời giải:

Xét $ABD$ và $BDC$

Ta có: $\widehat{DAB}$ = $\widehat{DBC}$ (theo giả thiết)

$\widehat{ABD}$ = $\widehat{BDC}$ (hai góc so le trong)

Do đó $∆ABD\backsim ∆BDC$ (Trường hợp đồng dạng thứ ba).

Suy ra ${\displaystyle \frac{AB}{BD}}={\displaystyle \frac{BD}{DC}}$ $\iff B{D}^2=AB.DC$

hay $x^2=12,5.28,5$ $\iff x=\sqrt{12,5.28,5}$

Tính trên máy tính bỏ túi (và làm tròn số) được $x\approx 18,9cm$

Vở bài tập Toán 8 trang 89 - 94 Bài 29: Hình 35 cho biết $\widehat{EBA}=\widehat{BDC}$.

a) Trong hình vẽ, có bao nhiêu tam giác vuông? Hãy kể tên các tam giác đó.

b) Cho biết $AE=10cm,AB=15cm,BC=12cm$. Hãy tính độ dài các đoạn thẳng $CD,BE,BD$ và $ED$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

c) So sánh diện tích tam giác $BDE$ với tổng diện tích hai tam giác $AEB$ và $BCD$.

Phương pháp giải:

b) Trước tiên xét hai tam giác đồng dạng để tính được cạnh $CD$. Sau đó áp dụng định lý Pi - ta - go để tính các cạnh còn lại.

c) Tính diện tích các tam giác rồi lập tỉ số phần trăm để so sánh.

Áp dụng:

- Định lí: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

- Tính chất hai tam giác đồng dạng.

- Định lí Pitago.

- Công thức tính diện tích tam giác, diện tích hình thang.

Lời giải:

Ta có: $\widehat{EBA}=\widehat{BDC}$ (giả thiết) mà $\widehat{BDC}+\widehat{CBD}={90}^0$ (do tam giác BCD vuông tại C)  

$\Rightarrow \widehat{EBA}+\widehat{CBD}={90}^0$ 

Vậy $\widehat{EBD}={180}^0-(\widehat{EBA}+\widehat{CBD})$$={180}^o-{90}^o={90}^o$

Vậy trong hình vẽ có ba tam giác vuông đó là:

$∆ABE,∆CBD,∆EBD.$

b) $∆ABE$ và $∆CDB$ có:

$\hat{A}=\hat{C}={90}^o$

$\widehat{ABE}=\widehat{CDB}$ (giả thiết)

$\Rightarrow ∆ABE\backsim ∆CDB$ (g-g)

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{AB}{CD}}={\displaystyle \frac{AE}{CB}}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow CD={\displaystyle \frac{AB.CB}{AE}}=18(cm)$

- Áp dụng định lí pitago ta có:

$∆ABE$ vuông tại $A$

$\Rightarrow BE=\sqrt{A{E}^2+A{B}^2}$ $=\sqrt{{10}^2+{15}^2}$ $\approx 18(cm)$.

$∆BCD$ vuông tại $C$

$\Rightarrow BD=\sqrt{B{C}^2+D{C}^2}$ $=\sqrt{{12}^2+{18}^2}\approx 21,6cm$

$∆EBD$ vuông tại $B$

$\Rightarrow ED=\sqrt{E{B}^2+B{D}^2}$ $=\sqrt{325+468}\approx 28,2(cm)$

c) Ta có: 

$S_{ABE}+S_{DBC}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}}AE.AB+{\displaystyle \frac{1}{2}}BC.CD$ 

$={\displaystyle \frac{1}{2}}.10.15+{\displaystyle \frac{1}{2}}.12.18$

$=75+108=183c{m}^2$.

Ta có: $A\mathrm{E}//DC\left(\text{ cùng }\mathrm{\perp }AC\right)\Rightarrow$ $ACDE$ là hình thang.

$S_{ACDE}={\displaystyle \frac{1}{2}}.(AE+CD).AC$

$={\displaystyle \frac{1}{2}}.(10+18).27=378c{m}^2$

$\Rightarrow S_{EBD}=S_{ACDE}-(S_{ABE}+S_{DBC})$$=378-183=195c{m}^2$

$S_{EBD}>S_{ABE}+S_{DBC}$ $(195>183)$.

Vở bài tập Toán 8 trang 89 - 94 Bài 30: Tính độ dài  của các đoạn thẳng trong hình 36.

Phương pháp giải:

Áp dụng

- Định lí: Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

- Tính chất hai tam giác đồng dạng. 

Lời giải:

Ta có: $\widehat{ABD}$ = $\widehat{BDE}$ (gt) mà hai góc ở vị trí so le trong

$\Rightarrow AB//DE$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Áp dụng định lí: Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

$\Rightarrow ∆ABC\backsim ∆EDC$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{AB}{ED}}={\displaystyle \frac{BC}{DC}}={\displaystyle \frac{AC}{EC}}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{x}{3,5}}={\displaystyle \frac{2}{y}}$

$\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3.3,5}{6}}=1,75$; 

$\Rightarrow y={\displaystyle \frac{6.2}{3}}=4$

Vở bài tập Toán 8 trang 89 - 94 Bài 31: Cho hình thang $ABCD(AB//CD)$. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.

a) Chứng minh rằng $OA.OD=OB.OC$.

b) Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $AB$ và $CD$ theo thứ tự tại $H$ và $K$.

Chứng minh rằng ${\displaystyle \frac{OH}{OK}}={\displaystyle \frac{AB}{CD}}$

Phương pháp giải:

Áp dụng

- Định lí: Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

- Định lí: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đô đồng dạng

- Tính chất hai tam giác đồng dạng.

Lời giải:

a) Xét hai tam giác $OAB$ và $OCD$:

$\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat{ABO}=\widehat{ODC}$ (hai góc so le trong vì $AB//CD$).

Suy ra $\mathrm{\Delta }OAB\backsim \mathrm{\Delta }OCD$ (trường hợp g.g)

Do đó ${\displaystyle \frac{AB}{CD}}={\displaystyle \frac{OA}{OC}}={\displaystyle \frac{OB}{OD}}$ $\Rightarrow OA.OD=OB.OC$ (đpcm).

b) Xét hai tam giác vuông $OHB$ và $OKD$:

$\widehat{OHB}=\widehat{OKD}$ (cùng bằng ${90}^0$)

$\widehat{OBH}=\widehat{ODK}$ (hai góc so le trong).

Suy ra $\mathrm{\Delta }OHB\backsim \mathrm{\Delta }OKD$

Do đó ${\displaystyle \frac{OH}{OK}}={\displaystyle \frac{OB}{OD}}$ (1)

Theo kết quả trên: ${\displaystyle \frac{OB}{OD}}={\displaystyle \frac{AB}{CD}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ${\displaystyle \frac{OH}{OK}}={\displaystyle \frac{AB}{CD}}$ (đpcm).

a)Tính tỉ số ${\displaystyle \frac{BM}{CN}}$.

b)Chứng minh rằng ${\displaystyle \frac{AM}{AN}=\frac{DM}{DN}}$ 

Phương pháp giải:

a) Xét các cặp tam giác đồng dạng có chứa hai đoạn $BM,CN$.

Từ đó sử dụng tính chất tam giác đồng dạng suy ra tỉ số cần tìm.

b) Sử dụng kết quả câu a và chứng minh tam giác đồng dạng, từ đó suy ra tỉ số cần chứng minh.

Lời giải:

Phương pháp giải:

Áp dụng

- Định lí: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

- Tính chất hai tam giác đồng dạng.

Lời giải:

Gọi độ dài các cạnh $AC,DF$ và $EF$ lần lượt là $x,y,z$.

$\mathrm{\Delta }ABC\backsim \mathrm{\Delta }DEF$ (trường hợp g.g)

Do đó ${\displaystyle \frac{AB}{DE}}={\displaystyle \frac{AC}{DF}}={\displaystyle \frac{BC}{EF}}$ hay ${\displaystyle \frac{8}{6}}={\displaystyle \frac{x}{y}}={\displaystyle \frac{10}{z}}$ (1)

Từ (1) ta tính được $z={\displaystyle \frac{6.10}{8}}=7,5\left(cm\right)$

Từ (1) ${\displaystyle \frac{x}{y}}={\displaystyle \frac{8}{6}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{x-y}{y}}={\displaystyle \frac{8-6}{6}}={\displaystyle \frac{2}{6}}$ (2)

Theo giả thiết $AC=DF+3$ hay $AC-DF=3$ nên $x-y=3$

Thay vào (2) ta có ${\displaystyle \frac{3}{y}}={\displaystyle \frac{2}{6}}\Rightarrow y={\displaystyle \frac{3.6}{2}}=9\left(cm\right)$.

Từ đây, tính được $x=y+3=9+3=12\left(cm\right)$.

Đáp số:

$\begin{array}{l}AC=x=12cm\\ DF=y=9cm\\ EF=z=7,5cm.\end{array}$