Bài 7 trang 80 Toán 11 Tập 1 | Cánh Diều Giải Toán lớp 11

Ngọc Nguyễn Ngày: 06-02-2024 Lớp 11

280

Với giải Bài 7 trang 80 Toán 11 Tập 1 Cánh Diều chi tiết trong Bài tập cuối chương 3 trang 79 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải, từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Bài 7 trang 80 Toán 11 Tập 1 | Cánh Diều Giải Toán lớp 11

Bài 7 trang 80 Toán 11 Tập 1: Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A₁B₁C₁ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A₂B₂C₂ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A₂B₂C₂, ..., Tam giác A_n+1B_n+1C_n+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A_nB_nC_n, ... Gọi p₁, p₂, ..., p_n, ... và S₁, S₂, ..., S_n, ... theo thứ tự là chu vi và diện tích của tam giác A₁B₁C₁, A₂B₂C₂, ..., A_nB_nC_n, ...

a) Tìm giới hạn của dãy số (p_n) và (S_n).

b) Tính các tổng p₁ + p₂ + ... + p_n + ... và S₁ + S₂ + ... + S_n + ... .

Lời giải:

Toán 11 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 3 trang 79 (ảnh 7)

+) (p_n) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A₁B₁C₁, ...

Ta có: p₁ = p_∆ABC = a + a + a = 3a;

p₂ = $p_{Δ A_{1} B_{1} C_{1}} = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{1}{2} . (3 a) = \frac{1}{2} . p_{1}$ ;

p₃ = $p_{Δ A_{2} B_{2} C_{2}} = \frac{a}{4} + \frac{a}{4} + \frac{a}{4} = {(\frac{1}{2})}^{2} . (3 a) = {(\frac{1}{2})}^{2} . p_{1}$ ; ...; $p_{Δ A_{n} B_{n} C_{n}} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1} . p_{1}$ ; ...

Suy ra:

$\lim_{n \to \infty} p_{n} = \lim_{n \to \infty} ({(\frac{1}{2})}^{n - 1} . (3 a)) = \lim_{n \to \infty} {(\frac{1}{2})}^{n - 1} . \lim_{n \to \infty} (3 a) = 0.3 a = 0$ .

+) (S_n) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A₁B₁C₁, ...

Gọi h là chiều cao của tam giác ABC và h = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Ta có: S₁ = S_∆ABC = $\frac{1}{2}$ ah; S₂ = $S_{Δ A_{1} B_{1} C_{1}} = \frac{1}{2} . \frac{a}{2} . \frac{h}{2} = \frac{1}{4} . (\frac{1}{2} a h) = \frac{1}{4} . S_{1}$ ;

S₃ = $S_{Δ A_{2} B_{2} C_{2}} = \frac{1}{2} . \frac{a}{4} . \frac{h}{4} = {(\frac{1}{4})}^{2} . (\frac{1}{2} a h) = {(\frac{1}{4})}^{2} . S_{1}$ ; ...; $S_{Δ A_{n} B_{n} C_{n}} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1} . S_{1}$ ; ...

Suy ra $\lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} ({(\frac{1}{4})}^{n - 1} . S_{1}) = \lim_{n \to \infty} {(\frac{1}{4})}^{n - 1} . \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} a h) = 0. \frac{1}{2} a h = 0$ .