Kết quả bài 10 minh họa công thức quan trọng sau:

 $DA=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2}$

- Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông để chứng minh công thức: 

$DA=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2}$

- Áp dụng công thức bên trên để tìm độ dài các đoạn thẳng chưa biết

Trước hết ta chứng minh hệ thức sau: $DA=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2}$

Ta có :  $\mathrm{△}BCD$ vuông tại $C\Rightarrow B{D}^2=D{C}^2+B{C}^2$

 $\mathrm{△}ABD$ vuông tại $B\Rightarrow A{D}^2=B{D}^2+A{B}^2$

$\Rightarrow A{D}^2=D{C}^2+B{C}^2+A{B}^2$

Suy ra:  $DA=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2}$

Áp dụng hệ thức này ta sẽ tính được độ dài  một cạnh khi biết  ba độ dài kia.

Cột 1: $AB=6,BC=15,CD=42$

$DA=\sqrt{6^2+{15}^2+{42}^2}=\sqrt{2025}$$=45$

Cột 2: $AB=13,BC=16,DA=45$

$\begin{array}{rl}& D{A}^2=A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2\\ & \Rightarrow C{D}^2=D{A}^2-A{B}^2-B{C}^2\\ & \Rightarrow CD=\sqrt{D{A}^2-A{B}^2-B{C}^2}\\ & =\sqrt{{45}^2-{16}^2-{13}^2}\\ & =\sqrt{1600}=40\end{array}$

Cột 3: $AB=14,CD=70,DA=75$

$\begin{array}{rl}& D{A}^2=A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2\\ & \Rightarrow B{C}^2=D{A}^2-A{B}^2-C{D}^2\\ & \Rightarrow BC=\sqrt{D{A}^2-A{B}^2-C{D}^2}\\ & =\sqrt{{75}^2-{14}^2-{70}^2}\\ & =\sqrt{529}=23\end{array}$

Cột 4: $BC=34,CD=62,DA=75$

$\begin{array}{rl}& D{A}^2=A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2\\ & \Rightarrow A{B}^2=D{A}^2-B{C}^2-C{D}^2\\ & \Rightarrow AB=\sqrt{D{A}^2-B{C}^2-C{D}^2}\\ & =\sqrt{{75}^2-{34}^2-{62}^2}\\ & =\sqrt{625}=25\end{array}$

Do đó ta có kết quả như bảng dưới đây: 

hay thể tích = chiều dài $\times$ chiều rộng $\times$ chiều cao.

Giả sử $a$ là chiều dài, $b$ là chiều rộng và $c$ là chiều cao. 

Ta áp dụng các công thức sau :

$V=a.b.c$;        $b=V:(a.c)$;

$S_{\text{1 đáy}}=a.b$;

$b=S_{\text{1 đáy}}:a$;  $c=V:S_{\text{1 đáy}}$

+ Hình hộp chữ nhật với các kích thước ở cột 1: 

    Diện tích một đáy là: $22.14=308$  

    Thể tích là: $22.14.5=1540$

+ Hình hộp chữ nhật với các kích thước ở cột 2:

    Chiều rộng là: $90:18=5$

    Thể tích là: $18.5.6=90.6=540$

+ Hình hộp chữ nhật với các kích thước ở cột 3:

    Chiều rộng là: $1320:(15.8)=11$

    Diện tích một đáy là: $15.11=165$

+ Hình hộp chữ nhật với các kích thước ở cột 4:

    Chiều rộng là: $260:20=13$

    Chiều cao là: $2080:260=8$

Ta có kết quả chung như bảng sau:

a) Tính chiều rộng của bể nước.

b) Người ta đổ thêm vào bể $60$ thùng nước nữa thì đầy bể. Hỏi bể cao bao nhiêu mét?

Ta áp dụng các công thức sau:

$V=a.b.c$;              $b=V:(a.c)$;

$c=V:S_{\text{1 đáy}}=V:(a.b)$

Lời giải:

a) Giả sử bể nước là hình hộp chữ nhật $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ có chiều dài là $AB=A_1{B}_1=2m$ (h.72).

Chú ý: $1l=1d{m}^3={\displaystyle \frac{1}{1000}}{m}^3$.

Sau khi đổ vào bể $120$ thùng nước, số nước đó được chứa đầy trong hình hộp chữ nhật $EFGH.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ có chiều cao $0,8m$.

Vậy ta có: $V=E{A}_1.A_1{B}_1.B_1{C}_1$ $=120.20\left(d{m}^3\right)$ $=2,4\left(m^3\right)$

$\Rightarrow 0,\mathrm{8.2.}{B}_1{C}_1=2,4\left(m^3\right)$ $\Rightarrow B_1{C}_1={\displaystyle \frac{2,4}{0,8.2}}=1,5\left(m\right)$

b) Sau khi đổ thêm $60$ thùng nước vào bể thì bể đầy, do đó thể tích bể là:

$\left(120+60\right).20\left(d{m}^3\right)=3,6m^3.$

Vậy ta có: $A{A}_1.A_1{B}_1.B_1{C}_1$ $=A{A}_1.2.1,5=3,6\left(m^3\right)$

Tính được: $A{A}_1=3,6:\left(2.1,5\right)=1,2\left(m\right)$

Vở bài tập Toán 8 trang 117 - 121 Bài 13: Một cái thùng hình lập phương, cạnh $7dm$, có chứa nước với độ sâu của nước là $4dm$. Người ta thả $25$ viên gạch có chiều dài $2dm$, chiều rộng $1dm$ và chiều cao $0,5dm$ vào thùng. Hỏi nước trong thùng dâng lên cách miệng thùng bao nhiêu đề-xi-mét? (Giả thiết toàn bộ gạch ngập trong nước và chúng hút nước không đáng kể).
Phương pháp giải:

- Tính thể tích nước đã có trong thùng, tức là tính thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều dài $7dm$, chiều rộng $7dm$ và chiều cao $4dm$

- Tính thể tích của $25$ viên gạch, tức là tìm $25$ lần thể tích hình hộp chữ nhật có chiều dài $2dm$, chiều rộng $1dm$ và chiều cao $0,5dm$

- Tính thể tích của nước và gạch.

- Tính chiều cao mực nước trong thùng sau khi thả $25$ viên gạch = thể tích của nước và gạch: diện tích đáy.

- Khoảng cách giữa nước và miệng thùng = chiều cao của thùng - chiều cao mực nước trong thùng sau khi thả $25$ viên gạch.

Lời giải:

Giả sử thùng hình lập phương, có hình vẽ như hình dưới đây

Khi chưa cho gạch vào, độ sâu của nước là $H{D}_1=4dm$. Khi thả $25$ viên gạch ngập trong nước, độ sâu của nước là $H{D}_2$. Khi đó nước dâng lên cách miệng thùng là $D{D}_2$. Ta phải tính $D{D}_2$.

Thể tích của $25$ viên gạch chính bằng thể tích nước dâng cao từ $D_1$ đến $D_2$, do đó ta có:

$25.\left(\mathrm{2.1.0},5\right)=\mathrm{7.7.}{D}_1{D}_2$ $\Rightarrow D_1{D}_2={\displaystyle \frac{25.\left(\mathrm{2.1.0},5\right)}{7.7}}$ $={\displaystyle \frac{25}{49}}\approx 0,51\left(dm\right)$.

Ta có: $D{D}_2=DH-(H{D}_1+D_1{D}_2)$ $\approx 7-(4+0,51)=2,49\left(dm\right)$

Vậy nước dâng lên cách miệng thùng là $2,49(dm)$

Vở bài tập Toán 8 trang 117 - 121 Bài 14: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ (h.74):

a) Kể tên các đường thẳng song song với mp $(EFGH)$.

b) Đường thẳng $AB$ song song với những mặt phẳng nào?

c) Đường thẳng $AD$ song song với những đường thẳng nào?

Phương pháp giải: Áp dụng lý thuyết về đường thẳng song song với mặt phẳng, hai đường thẳng song song.
Lời giải:

Các mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật, do đó ra có:

- $AB//EF$ mà $EF\subset mp\left(EFGH\right)$, do đó $AB//mp\left(EFGH\right)$

- $BC//GF$ mà $GF\subset mp\left(EFGH\right)$, do đó $BC//mp\left(EFGH\right)$

- $DC//GH$ mà $GH\subset mp\left(EFGH\right)$, do đó $DC//mp\left(EFGH\right)$

- $AD//EH$ mà $EH\subset mp\left(EFGH\right)$, do đó $AD//mp\left(EFGH\right)$

Vậy các đường thẳng $AB,BC,CD,DA$ đều song song với $mp\left(EFGH\right)$.

b) $AB//CD$ mà $CD\subset mp\left(CDHG\right)$, do đó $AB//mp(CDHG)$

$AB//EF$ mà $EF\subset mp\left(EFGH\right)$, do đó $AB//mp(EFGH)$

Vậy $AB$ song song với $mp(CDHG)$ và $mp(EFGH)$

c) Trong $mp(ABCD)$, $AD//BC$ (1)

Trong $mp(ADHE)$, $AD//HE$ (2)

Trong $mp(BCGF)$, $GF//BC$ (3)

Từ (1),(3): $AD//BC$ và $GF//BC$, do đó $AD//GF$.

Vậy $AD$ song song với các đường thẳng $BC,GF$ và $EH$.