Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ, từ đó học tốt môn Toán.
Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ: Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết
I. LÝ THUYẾT
1. Tích vô hướng của hai vectơ
a) Tích vô hướng của hai vectơ
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ →a=(a1; a2; a3) và →b=(b1; b2; b3) được xác định bởi công thức:
→a.→b=a1b1+a2b2+a3b3
b) Ứng dụng của tích vô hướng
+ Cho vectơ →a=(a1; a2; a3), khi đó độ dài của vectơ →a được tính theo công thức:
|→a|= √a21+a22+a22
+ Cho hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ →AB. Do đó ta có
+ Cho vectơ →a=(a1; a2; a3) và →b=(b1; b2; b3). Khi đó góc giữa hai vectơ →a và →b được tính theo công thức:
cos(→a, →b) = →a.→b|→a|.|→b| = a1b1+a2b2+a3b3√a21+a22+a23.√b21+b22+b23
(với →a, →b≠→0)
+ Hai vectơ vuông góc: Cho vectơ →a=(a1; a2; a3) và →b=(b1; b2; b3). Khi đó:
→a⊥→b ⇔ →a.→b=0 ⇔a1b1+a2b2+a3b3=0
2. Tích có hướng của hai vectơ
a) Tích có hướng của hai vectơ
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ →a=(a1;a2;a3), →b=(b1; b2; b3). Tích có hướng của hai vectơ →a và →b, kí hiệu là [→a,→b], được xác định bởi
[→a,→b] = (|a2a3b2b3| ; |a3a1b3b1| ; |a1a2b1b2|)=(a2b3−a3b2;a3b1−a1b3;a1b2−a2b1)
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất của tích có hướng:
Từ đó suy ra 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện khi 3 vectơ →AB;→ AC;→ AD không đồng phẳng hay [→AB,→AC].→AD≠0 và 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi [→AB,→AC].→AD=0.
3. Ứng dụng của tích có hướng
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
1. Tích vô hướng của hai vectơ
Dạng 1: Tính biểu thức tọa độ tích vô hướng
Phương pháp giải:
Cho hai vectơ và , khi đó:
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho , . Khi đó bằng
A. 10
B. 2
C. 3
D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Dạng 2: Tính độ dài của một vectơ
Phương pháp giải: Cho vectơ , khi đó độ dài của vectơ được tính theo công thức:
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho vectơ . Độ dài vectơ là
A.
B.
C. 21
D. 7
Hướng dẫn giải:
Độ dài vectơ là:
Chọn A.
Dạng 3: Khoảng cách giữa hai điểm
Phương pháp giải: Cho hai điểm và . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ . Do đó ta có
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2; 3), trên trục Oz lấy điểm M sao cho . Tọa độ của điểm M là
A. M (0; 0; 3).
B. M (0; 0; 2).
C. M (0; 0; -3).
D. M (0; 3; 0).
Hướng dẫn giải
Do M (0; 0; m)
Mặt khác nên
m – 3 = 0 m = 3
Suy ra M (0; 0; 3).
Chọn A.
Dạng 4: Góc giữa hai vectơ
Phương pháp giải: Cho vectơ và . Khi đó góc giữa hai vectơ và được tính theo công thức:
(với )
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1) và D (-2; 1; -1). Tính góc giữa hai vectơ và .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi là góc tạo bởi hai vectơ và .
Ta có:
Khi đó:
Chọn A.
Dạng 5: Tìm điều kiện để hai vectơ vuông góc
Phương pháp giải: Cho vectơ và . Khi đó:
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vec tơ, và . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
2. Tích có hướng của hai vectơ
Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
Dạng 1: Tính tích có hướng của hai vectơ
Phương pháp giải: Cho hai vectơ và , khi đó:
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho . Khi đó có tọa độ bằng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Dạng 2: Tìm điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Phương pháp giải: và đồng phẳng
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho vectơ . Giá trị của m để đồng phẳng là
A.
B.
C.
D. 1.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Dạng 3: Tính diện tích một số hình phẳng
Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức sau:
+) Diện tích hình bình hành ABCD:
+) Diện tích tam giác ABC:
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A (1; 2; 1), B (2; 1; 3) và C (3; 2; 2). Diện tích tam giác ABC bằng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Dạng 4: Tính thể tích khối hộp và tứ diện
Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức sau:
+) Thể tích khối hộp ABCD. A’B’C’D’:
+) Thể tích tứ diện ABCD:
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A (1; 2; 1), B (2; 1; 3), C (3; 2; 2), D (1; 1; 1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng
A. 1
B. 2
C.
D. 3.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 0; -2), B (2; 1; -1). Độ dài của đoạn thẳng AB là
A.
B.
C.
D.
Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ và . Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
B.
C.
D.
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ và . Tính.
A. P = -10
B. P = -40
C. P = 16
D. P = -34
Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ và. Tính .
A.
B.
C.
D.
Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho . Khi đó có tọa độ bằng
A. (0 ; 0 ; 0).
B. (1 ; 1 ; 1)
C. (2 ; 8 ; 2)
D. (1 ; -2 ; 1).
Câu 6: Cho bốn véc tơ , ,, . Chọn mệnh đề đúng.
A., , đồng phẳng.
B. , , đồng phẳng.
C. , , đồng phẳng.
D. , , đồng phẳng.
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A (1; 1; 1), B (4; 3; 2), C (5; 2; 1). Diện tích tam giác ABC là
A.
B.
C.
D.
Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (1; 0; 1), B (2; 0; -1), C (0; 1; 3), D (3; 1; 1). Thể tích khối tứ diện ABCD là
A.
B.
C. V = 4
D. V = 2.
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có A (-1; 0; 2), B (1; 1; -1), D (0; 1; 1), A’ (2; -1; 0). Thể tích V của khối hình hộp ABCD. A’B’C’D’ là
A. V = 1.
B. V = 4.
C. V = 5.
D. V = 6.
Câu 10: Cho ba vectơ . Chọn mệnh đề đúng:
A. Ba vectơ đồng phẳng
B. Ba vectơ không đồng phẳng.
C. Ba vectơ cùng phương
D.
ĐÁP ÁN
Xem thêm các dạng Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:
Công thức tính thể tích các khối tròn xoay đặc biệt chi tiết nhất
Các bài toán về tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải
Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
2021 © All Rights Reserved.