Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Lời giải:

Giả sử phản chứng, hai đường thẳng $AB$ và $CD$ không chéo nhau, nghĩa là tồn tại một mặt phẳng $(\alpha )$ chứa hai đường thẳng $AB$ và $CD$.

Khi đó 

$\{\begin{array}{l}AB\subset \left(\alpha \right)\\ CD\subset \left(\alpha \right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}A,B\in \left(\alpha \right)\\ C,D\in \left(\alpha \right)\end{array}$

Hay bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng.

Điều này mâu thuẫn với giả thiết $ABCD$ là tứ diện.

Vậy $AB$ và $CD$ chéo nhau.

Các cặp đường thẳng chéo nhau khác của tứ diện này: $AC$ và $BD$, $BC$ và $AD$.

a) $PR$ song song với $AC$;

b) $PR$ cắt $AC$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 2 (về giao tuyến của ba mặt phẳng):

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Lời giải:

a) Ta có: $\{\begin{array}{l}\left(ABC\right)\cap \left(ADC\right)=AC\\ \left(ABC\right)\cap \left(PRQ\right)=PR\\ \left(ADC\right)\cap \left(PRQ\right)=d\\ AC//PR\end{array}$ $\Rightarrow AC//PR//d$.

Mà $Q\in CD\subset \left(ADC\right)$ và $Q\in \left(PRQ\right)$ nên $Q\in d$ hay $d$ là đường thẳng đi qua $Q$ và song song $AC$.

Trong $\left(ADC\right)$, qua $Q$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $AD$ tại $S$.

Vậy $S=AD\cap \left(PQR\right)$.

Cách khác:

Có thể sử dụng hệ quả sau: "Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó".

mp $(PQR)$ và mp $(ACD)$ lần lượt chứa hai đường thẳng song song $PR//AC$.

$\Rightarrow \left(PQR\right)\cap \left(ACD\right)=Qt$ là đường thẳng song song với $AC$ và $PR$.

Gọi $Qt\cap AD=S$

$\Rightarrow S=AD\cap \left(PQR\right).$.

b) Gọi $I$ là giao điểm của $PR$ với $AC$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}\left(ABC\right)\cap \left(ADC\right)=AC\\ \left(ABC\right)\cap \left(PRQ\right)=PR\\ \left(ADC\right)\cap \left(PRQ\right)=d\\ AC\cap PR=\left\{I\right\}\end{array}$ $\Rightarrow AC,PR,d$ đồng quy tại $I$.

Trong $\left(ADC\right)$, kéo dài $IQ$ cắt $AD$ tại $S$.

Khi đó $S\in AD$ và $S\in \left(PQR\right)$ nên $S=AD\cap \left(PQR\right)$.

a) Tìm giao điểm $A^{\prime }$ của đường thẳng $AG$ và mặt phẳng $(BCD)$

b) Qua $M$ kẻ đường thẳng $Mx$ song song với $A{A}^{\prime }$ và $Mx$ cắt $(BCD)$ tại $M^{\prime }$. Chứng minh $B,M^{\prime },A^{\prime }$ thẳng hàng và $B{M}^{\prime }=M^{\prime }{A}^{\prime }=A^{\prime }N$.

c) Chứng minh $GA=3G{A}^{\prime }$.

Phương pháp giải:

a) Trong $(ABN)$: Gọi $A^{\prime }=AG\cap BN$.

b) Sử dụng định lí đường trung bình của tam giác.

c) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.

Lời giải:

a) Có: $MN\subset \left(ABN\right)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow G\in \left(ABN\right)\\ \Rightarrow AG\subset \left(ABN\right).\end{array}$

Trong $(ABN)$: Gọi $A^{\prime }=AG\cap BN$

$\Rightarrow A^{\prime }\in BN\subset (BCD)$.

$\Rightarrow A^{\prime }\in (BCD)\Rightarrow A^{\prime }=AG\cap (BCD)$

b) Ta có: $\{\begin{array}{l}M{M}^{\prime }//A{A}^{\prime }\\ A{A}^{\prime }\subset \left(ABN\right)\\ M\in AB\subset \left(ABN\right)\end{array}$ $\Rightarrow M{M}^{\prime }\subset \left(ABN\right)$

Suy ra $\{\begin{array}{l}{M}^{\prime }\in \left(ABN\right)\\ M^{\prime }\in \left(BCD\right)\end{array}$

$\Rightarrow M^{\prime }\in \left(ABN\right)\cap \left(BCD\right)=BN$.

Mà $A^{\prime }$ cũng thuộc $BN$ nên $M^{\prime },A^{\prime },B$ thẳng hàng (cùng nằm trên $BN$).

*) Xét tam giác $NM{M}^{\prime }$ có:

+) $G$ là trung điểm của $NM$.

+) $G{A}^{\prime }//M{M}^{\prime }$

$\Rightarrow A^{\prime }$ là trung điểm của $N{M}^{\prime }$

Xét tam giác $BA{A}^{\prime }$ có:

+) $M$ là trung điểm của $AB$ 

+) $M{M}^{\prime }//A{A}^{\prime }$

$\Rightarrow M^{\prime }$ là trung điểm của $B{A}^{\prime }$

Do đó: $B{M}^{\prime }=M^{\prime }{A}^{\prime }=A^{\prime }N$.

c) Ta có ${\displaystyle M{M}^{\prime }=\frac{1}{2}A{A}^{\prime }}$

$\Rightarrow G{A}^{\prime }=\frac{1}{2}M{M}^{\prime }=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}A{A}^{\prime }=\frac{1}{4}A{A}^{\prime }$

$\Rightarrow GA=A{A}^{\prime }-G{A}^{\prime }$ $=A{A}^{\prime }-\frac{1}{4}A{A}^{\prime }=\frac{3}{4}A{A}^{\prime }$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{G{A}^{\prime }}{GA}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}A{A}^{\prime }}{{\displaystyle \frac{3}{4}}A{A}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ $\Rightarrow GA=3G{A}^{\prime }$

Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song