Toán 11 Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Toán 11 Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng | Giải Toán lớp 11

Trần Thị Hường Ngày: 20-05-2022 Lớp 11

669

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập đại cương về đường thẳng và mặt phẳng lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Câu hỏi 1 trang 45 SGK Hình học 11: Hãy vẽ thêm một vài hình biểu diễn của hình chóp tam giác.

Lời giải :

Câu hỏi 2 trang 47 SGK Hình học 11: Tại sao người thợ mộc kiểm tra độ phẳng mặt bàn bằng cách rê thước trên mặt bàn? (h.2.11).

Lời giải:

Theo tính chất 3, nếu đường thẳng là 1 cạnh của thước có 2 điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó thuộc mặt phẳng bàn

Khi đó, nếu rê thước mà có 1 điểm thuộc cạnh thước nhưng không thuộc mặt bàn thì bàn đó chưa phẳng và ngược lại.

Câu hỏi 3 trang 47 SGK Hình học 11: Cho tam giác

A B C, M

là điểm thuộc phần kéo dài của đoạn thẳng

B C

(h.2.12). Hãy cho biết

M

có thuộc mặt phẳng

(A B C)

không và đường thẳng

A M

có nằm trong mặt phẳng

(A B C)

không?

Lời giải:

$M \in B C$ mà $B C \in (A B C)$ nên $M \in (A B C)$

Vì $A \in (A B C)$ nên mọi điểm thuộc $A M$ đều thuộc $(A B C)$ hay $A M \in (A B C)$ .

Câu hỏi 4 trang 48 SGK Hình học 11: Trong mặt phẳng

(P)

, cho hình bình hành

A B C D

. Lấy điểm

S

nằm ngoài mặt phẳng

(P)

. Hãy chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng

(S A C)

và

(S B D)

khác điểm

S

(h.2.15).

Lời giải:

Một điểm chung của hai mặt phẳng $(S A C)$ và $(S B D)$ khác điểm $S$ là điểm $I$ vì:

$I \in A C \subset (S A C)$

$I \in B D \subset (S B D)$ .

Câu hỏi 5 trang 48 SGK Hình học 11: Hình 2.16 đúng hay sai? Tại sao?

Lời giải:

Sai Vì theo tính chất 2, có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Theo hình vẽ lại có: ba điểm không thẳng hàng $M, L, K$ vừa thuộc $(A B C)$ , vừa thuộc $(P)$ ⇒ Vô lý.

Câu hỏi 6 trang 52 SGK Hình học 11: Kể tên các mặt bên, cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp ở hình 2.24.

Lời giải:

- Hình chóp tam giác:

Các mặt bên: $(S A B), (S B C), (S A C)$

Các cạnh bên: $S A, S B, S C$

Các cạnh đáy: $A B, A C, B C$

- Hình chóp tứ giác:

Các mặt bên: $(S A B), (S B C), (S C D), (S A D)$

Các cạnh bên: $S A, S B, S C, S D$

Các cạnh đáy: $A B, B C, C D, D A$

Bài tập trang 53, 54 SGK Toán 11

Bài 1 trang 53 SGK Hình học 11: Cho điểm

A

không nằm trong mặt phẳng

(α)

chứa tam giác

B C D

. Lấy

E, F

là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh

A B, A C

a) Chứng minh đường thẳng $E F$ nằm trong mặt phẳng $(A B C)$ .

b) Khi $E F$ và $B C$ cắt nhau tại $I$ , chứng minh $I$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(B C D)$ và $(D E F)$ .

Phương pháp giải:

a) Chỉ ra $E \in (A B C); F \in (A B C)$ .

b) Chứng minh $I \in (D E F); I \in (B C D)$ .

Lời giải:

a) Ta có:

${\begin{cases} E \in A B, A B \subset (A B C) \Rightarrow E \in (A B C) \\ F \in A C, A C \subset (A B C) \Rightarrow F \in (A B C) \end{cases}$

Theo tính chất 3, đường thẳng $E F$ có hai điểm $E, F$ cùng thuộc mặt phẳng $(A B C)$ nên $E F \subset (A B C)$

b) Ta có:

${\begin{cases} I \in E F, E F \subset (D E F) \Rightarrow I \in (D E F) \\ I \in B C, B C \subset (B C D) \Rightarrow I \in (B C D) \end{cases}$ $\Rightarrow I$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(B C D)$ và $(D E F)$ .

Bài 2 trang 53 SGK Hình học 11: Gọi

M

là giao điểm của đường thẳng

d

và mặt phẳng

(α)

. Chứng minh

M

là điểm chung của

(α)

với một mặt phẳng bất kì chứa

d

Phương pháp giải:

Gọi

(β)

là mặt phẳng bất kì chứa d, chứng minh

{\begin{cases} M \in (α) \\ M \in (β) \end{cases}

Lời giải:

$M = d \cap (α) \Rightarrow M \in (α)$

Gọi $(β)$ là mặt phẳng bất kì chứa $d$ , ta có ${\begin{matrix} M \in d \\ d \subset (β) \end{matrix} \Rightarrow M \in (β)$

Vậy $M$ là điểm chung của $(α)$ và mọi mặt phẳng $(β)$ chứa $d$ .

Bài 3 trang 53 SGK Hình học 11: Cho ba đường thẳng

d_{1,} d_{2}, d_{3}

không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.

Phương pháp giải:

Gọi

I = d_{1} \cap d_{2}

, chứng minh

I \in d_{3}

Lời giải:

Gọi $d_{1,} d_{2}, d_{3}$ là ba đường thẳng đã cho.

Gọi $I = d_{1} \cap d_{2}$ $\Rightarrow {\begin{cases} I \in d_{1} \\ I \in d_{2} \end{cases}$

Ta chứng minh $I \in d_{3}$ . Thật vậy,

Gọi (β) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau $d_{1}, d_{3}$ .

$(γ)$ là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau $d_{2}, d_{3}$ .

Do ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên (β) và $(γ)$ phân biệt.

Ngoài ra

${\begin{cases} d_{3} \subset (β) \\ d_{3} \subset (γ) \end{cases} \Rightarrow (β) \cap (γ) = d_{3}$

$I \in d_{1} \subset (β) \Rightarrow I \in (β) = (d_{1}, d_{3})$

$I \in d_{2} \subset (γ) \Rightarrow I \in (γ) = (d_{2}, d_{3})$

Từ đó suy ra, $I \in (β) \cap (γ) = d_{3}$ .

Cách khác:

Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau $d_{1,} d_{2}$

Gọi $M = d_{3} \cap d_{1}; N = d_{3} \cap d_{2}$ . Giả sử $M \neq N$

Ta có:

$\begin{array}{l} {\begin{cases} M \in d_{1} \subset (P) \Rightarrow M \in (P) \\ N \in d_{2} \subset (P) \Rightarrow N \in (P) \\ M, N \in d_{3} \end{cases} \\ \Rightarrow d_{3} \equiv M N \subset (P) \end{array}$

$\Rightarrow d_{1}; d_{2}; d_{3}$ cùng thuộc mặt phẳng $(P)$ (trái với giả thiết $d_{1}; d_{2}; d_{3}$ không đồng phẳng).

$\Rightarrow$ Giả sử sai.

Vậy $M \equiv N$ và $d_{1}; d_{2}; d_{3}$ đồng quy tại $M$

Vậy $d_{1}; d_{2}; d_{3}$ đồng quy.

Bài 4 trang 53 SGK Hình học 11: Cho bốn điểm

A, B, C

và

D

không đồng phẳng. Gọi

{G_{A}}^{}

{G_{B}}^{}

{G_{C}, {G_{D}}^{}}^{}

lần lượt là trọng tâm của tam giác

B C D, C D A, A B D, A B C

. Chứng minh rằng,

A {G_{A}, B {G_{B}, C {G_{C}, D {G_{D}}^{}}^{}}^{}}^{}

đồng quy.

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả bài tập 3:

Cho ba đường thẳng $d_{1,} d_{2}, d_{3}$ không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Khi đó ba đường thẳng trên đồng quy.

Lời giải:

Gọi $N$ là trung điểm $C D$ .

+ $G_{A}$ là trọng tâm $Δ B C D$

⇒ $G_{A}$ thuộc trung tuyến $B N \subset (A N B)$

⇒ $A G_{A} \subset (A N B)$

$G_{B}$ là trọng tâm $Δ A C D$

⇒ $G_{B}$ thuộc trung tuyến $A N \subset (A N B)$

⇒ $B G_{B} \subset (A N B) .$

Trong $(A N B) : A G_{A}$ không song song với $B G_{B}$

⇒ $A G_{A}$ cắt $B G_{B}$ tại $O$

+ Chứng minh tương tự: $B G_{B}$ cắt $C G_{C}; C G_{C}$ cắt $A G_{A}$ .

+ $C G_{C}$ không nằm trong $(A N B) \Rightarrow A G_{A}; B G_{B}; C G_{C}$ không đồng phẳng và đôi một cắt nhau.

Áp dụng kết quả bài 3 $\Rightarrow A G_{A}; B G_{B}; C G_{C}$ đồng quy tại $O$

+ Chứng minh hoàn toàn tương tự: $A G_{A}; B G_{B}; D G_{D}$ đồng quy tại $O$

Vậy $A G_{A}; B G_{B}; C G_{C}; D G_{D}$ đồng quy tại $O$ (đpcm).

Bài 5 trang 53 SGK Hình học 11: Cho tứ giác

A B C D

nằm trong mặt phẳng

(α)

có hai cạnh

A B

và

C D

không song song. Gọi

S

là điểm nằm ngoài mặt phẳng

(α)

và

M

là trung điểm đoạn

S C

a) Tìm giao điểm $N$ của đường thẳng $S D$ và mặt phẳng $(M A B)$ .

b) Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ . Chứng minh rằng ba đường thẳng $S O, A M, B N$ đồng quy.

Phương pháp giải:

a) Tìm một đường thẳng trong $(M A B)$ cắt được $S D$ . Khi đó giao điểm đó chính là giao điểm của $S D$ và $(M A B)$ .

b) Chứng minh $(S A C) \cap (S B D) = S O$ . Gọi $I = A M \cap B N$ , chứng minh $I$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(S A C)$ và $(S B D) \Rightarrow I \in S O$ .

Lời giải:

a) Trong mặt phẳng $(α)$ vì $A B$ và $C D$ không song song nên $A B \cap D C = E$

$\Rightarrow E \in D C$ , mà $D C \subset (S D C)$

$\Rightarrow E \in (S D C)$ .

Trong $(S D C)$ đường thẳng $M E$ cắt $S D$ tại $N$

$\Rightarrow N \in M E$ mà $M E \subset (M A B)$

$\Rightarrow N \in (M A B)$ . Lại có $N \in S D \Rightarrow N = S D \cap (M A B)$

b) $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ $\Rightarrow O$ thuộc $A C$ và $B D$ , mà $A C \subset (S A C), B D \subset (S B D)$

$\Rightarrow O \in (S A C), O \in (S B D)$

$\Rightarrow$ $O$ là một điểm chung của $(S A C)$ và $(S B D)$

Mặt khác $S$ cũng là điểm chung của $(S A C)$ và $(S B D)$

$\Rightarrow (S A C) \cap (S B D) = S O$

Trong mặt phẳng $(A E N)$ gọi $I = A M \cap B N \Rightarrow I \in A M; I \in B N$

Mà $A M \subset (S A C) \Rightarrow I \in (S A C)$

$B N \subset (S B D)$ $\Rightarrow I \in (S B D)$ .

Như vậy $I$ là điểm chung của $(S A C)$ và $(S B D)$ nên $I \in S O$ là giao tuyến của $(S A C)$ và $(S B D)$ .

Vậy $S, I, O$ thẳng hàng hay $S O, A M, B N$ đồng quy tại $I$ .

Cách khác:

b) Chứng minh $S O, M A, B N$ đồng quy:

+ Trong mặt phẳng $(S A C) : S O$ và $A M$ cắt nhau.

+ Trong mp $(M A B) : M A$ và $B N$ cắt nhau

+ Trong mp $(S B D) : S O$ và $B N$ cắt nhau.

+ Qua $A M$ và $B N$ xác định được duy nhất $(M A B)$ , mà $S O$ không nằm trong mặt phẳng $(M A B)$ nên $A M; B N; S O$ không đồng phẳng.

Theo kết quả bài tập 3 ta có $S O, M A, B N$ đồng quy.

Bài 6 trang 54 SGK Hình học 11: Cho bốn điểm

A, B, C

và

D

không đồng phẳng. Gọi

M, N

lần lượt là trung điểm của

A C

và

B C

. Trên đoạn

B D

lấy điểm

P

sao cho

B P = 2 P D

a) Tìm giao điểm của đường thẳng $C D$ và mặt phẳng $(M N P)$ .

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(M N P)$ và $(A C D)$ .

Phương pháp giải:

a) Tìm giao điểm của $C D$ và một đường thẳng bất kì nằm trong mặt phẳng $(M N P)$ . Chú ý kiểm tra các đường thẳng sẵn có như $M N, N P, P M$ trước.

b) Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng $(M N P)$ và $(A C D)$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{B N}{B C} = \frac{1}{2}, \frac{B P}{B D} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{B N}{B C} \neq \frac{B P}{B D}$ nên $N P$ không song song $C D .$

Trong $(B C D)$ , gọi $I$ là giao điểm của $N P$ và $C D$ $\Rightarrow I \in C D$ .

$I \in N P \subset (M N P) \Rightarrow I \in (M N P)$ .

Vậy $C D \cap (M N P) = I$ .

b) Trong $(A C D)$ , gọi $J = M I \cap A D$

$J \in A D \subset (A C D)$ , $M \in A C \subset (A C D) \Rightarrow M J \subset (A C D)$ .

Mà $J \in M I \subset (M N P)$ $\Rightarrow J \in (M N P)$ $\Rightarrow M J \subset (M N P)$ .

Vậy $(M N P) \cap (A C D) = M J$ .

Bài 7 trang 54 SGK Hình học 11: Cho bốn điểm

A, B, C

và

D

không đồng phẳng. Gọi

I, K

lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng

A D

và

B C

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(I B C)$ và $(K A D)$

b) Gọi $M$ và $N$ là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng $A B$ và $A C$ . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(I B C)$ và $(D M N)$ .

Phương pháp giải:

a) Chứng minh $I, K$ là hai điểm chung của $(B I C)$ và $(A K D)$ . Từ đó suy ra giao tuyến là IK

b) Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng $(I B C)$ và $(D M N)$ .

Lời giải:

a) Chứng minh $I, K$ là hai điểm chung của $(B I C)$ và $(A K D)$

$I \in A D \subset (K A D) \Rightarrow I \in (K A D)$

Mà $I \in (B I C)$ $\Rightarrow I \in (K A D) \cap (I B C)$

$K \in B C \subset (B I C) \Rightarrow K \in (B I C)$

Mà $K \in (K A D)$ $\Rightarrow K \in (K A D) \cap (I B C)$ ,

Vậy $K I = (K A D) \cap (I B C)$

b) Trong $(A C D)$ gọi $E = C I \cap D N$

$\Rightarrow {\begin{cases} E \in C I \subset (B I C) \\ E \in D N \subset (D M N) \end{cases}$

$\Rightarrow E \in (I B C) \cap (D M N)$

Trong $(A B D)$ gọi $F = B I \cap D M$ $\Rightarrow {\begin{cases} F \in B I \subset (B I C) \\ F \in D M \subset (D M N) \end{cases}$

$\Rightarrow F \in (I B C) \cap (D M N)$ .

Vậy $E F = (I B C) \cap (D M N)$ .

Bài 8 trang 54 SGK Hình học 11: Cho tứ diện

A B C D

. Gọi

M

và

N

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B

và

C D

trên cạnh

A D

lấy điểm

P

không trùng với trung điểm của

A D

a) Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng $M P$ và đường thẳng $B D$ . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(P M N)$ và $(B C D)$

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng $(P M N)$ và $B C$ .

Phương pháp giải:

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng đó.

Lời giải:

a) Trong $(A B D)$ , ta có: $E = M P \cap B D$ . Vì:

$\begin{array}{l} {\begin{cases} E \in B D \subset (B C D) \Rightarrow E \in (B C D) \\ E \in M P \subset (M N P) \Rightarrow E \in (M N P) \end{cases} \\ \Rightarrow E \in (B C D) \cap (M N P) \\ Lại có: \\ {\begin{cases} N \in C D \subset (B C D) \Rightarrow N \in (B C D) \\ N \in (M N P) \end{cases} \\ \Rightarrow N \in (B C D) \cap (M N P) \\ \Rightarrow N E = (B C D) \cap (M N P) \end{array}$ hay $N E$ là giao tuyến của mặt phẳng $B C D$ và $M N P$

b) Trong mặt phẳng $(B C D)$ gọi $Q$ là giao điểm của $N E$ và $B C$ ta có:

${\begin{cases} Q \in B C \\ Q \in N E \subset (M N P) \Rightarrow Q \in (M N P) \end{cases} \Rightarrow Q = B C \cap (M N P)$

Bài 9 trang 54 SGK Hình học 11: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy là hình bình hành

A B C D

. Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng

d

đi qua

A

và không song song với các cạnh của hình bình hành,

d

cắt đoạn

B C

tại

E

. Gọi

C^{'}

là một điểm nằm trên cạnh

S C

a) Tìm giao điểm $M$ của $C D$ và mặt phẳng $(C^{'} A E)$ ;

b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(C^{'} A E)$ .

Phương pháp giải:

a) Tìm giao điểm của CD và một đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(C^{'} A E)$ - ktra các đường thẳng có sẵn trước như $A E, A C^{'}, E C^{'}$

b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(C^{'} A E)$ với tất cả các mặt của hình chóp.

Để tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng, ta tìm 2 điểm chung của hai mp ấy.

Lời giải:

a) Trong $(A B C D)$ gọi $M = A E \cap D C \Rightarrow M \in A E$

$A E \subset (C^{'} A E) \Rightarrow M \in (C^{'} A E)$ .

Mà $M \in C D \Rightarrow M = D C \cap (C^{'} A E)$

b) Trong $(S D C) : M C^{'} \cap S D = F$ .

$\Rightarrow {\begin{cases} F \in M C^{'} \subset (C^{'} A E) \\ F \in S D \subset (S D C) \end{cases}$ $\Rightarrow F \in (C^{'} A E) \cap (S D C)$

Mà $C^{'} \in (C^{'} A E) \cap (S C D)$ $\Rightarrow C^{'} F = (C^{'} A E) \cap (S C D)$

Ta có: ${\begin{cases} (C^{'} A E) \cap (A B C D) = A E \\ (C^{'} A E) \cap (S A D) = A F \\ (C^{'} A E) \cap (S B C) = C^{'} E \\ (C^{'} A E) \cap (S C D) = C^{'} F \end{cases}$

$\Rightarrow$ thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $(C^{'} A E)$ là tứ giác $A E C^{'} F$ .

Bài 10 trang 54 SGK Hình học 11: Cho hình chóp

S . A B C D

có

A B

và

C D

không song song. Gọi

M

là một điểm thuộc miền trong của tam giác

S C D

a) Tìm giao điểm $N$ của đường thẳng $C D$ và mặt phẳng $(S B M)$ .

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(S B M)$ và $(S A C)$ .

c) Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $B M$ và mặt phẳng $(S A C)$ .

d) Tìm giao điểm $P$ của $S C$ và mặt phẳng $(A B M)$ , từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng $(S C D)$ và $(A B M)$ .

Phương pháp giải:

a) Kéo dài $S M$ cắt $C D$ tại $N$ .

b) Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng $(S B M)$ và $(S A C)$ .

c) Tìm một đường thẳng nằm trong $(S A C)$ cắt $B M$ tại $I$ .

d) Tìm một đường thẳng nằm trong $(A B M)$ cắt $S C$ tại $P$ . Xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng $(S C D)$ và $(A B M)$ .

Lời giải:

a) Trong $(S C D)$ kéo dài $S M$ cắt $C D$ tại $N$ .

$\Rightarrow {\begin{cases} N \in C D \\ N \in S M \subset (S M B) \end{cases}$ $\Rightarrow N = C D \cap (S B M)$

b) $(S B M) \equiv (S B N)$ .

Dễ thấy $S \in (S A C) \cap (S B M)$ .

Trong $(A B C D)$ gọi $O = A C \cap B N$

$\Rightarrow {\begin{cases} O \in A C \subset (S A C) \\ O \in B N \subset (S B N) \end{cases}$ $\Rightarrow O \in (S A C) \cap (S B N)$

Do đó: $S O = (S A C) \cap (S B M)$ .

c) Trong $(S B N)$ gọi $I$ là giao của $M B$ và $S O$ . Mà $S O \subset (S A C)$

Do đó: $I = B M \cap (S A C)$

d) Trong $(S A C)$ , gọi $P = A I \cap S C$

$\Rightarrow {\begin{cases} P \in A I \subset (A B M) \\ P \in S C \end{cases}$ $\Rightarrow P = S C \cap (A B M)$

Lại có $P \in S C$ , mà $S C \subset (S C D) \Rightarrow P \in (S C D) .$

$\Rightarrow P \in (A M B) \cap (S C D) .$

Lại có: $M \in (S C D)$ (gt)

$\Rightarrow M \in (M A B) \cap (S C D)$

Vậy giao tuyến của $(M A B)$ và $(S C D)$ là đường thẳng $M P$ .

Cách khác:

Câu d có thể dựng hình bằng cách khác như sau:

Trong $(A B C D)$ , gọi $K = A B \cap C D$ . Khi đó $(A B M) \equiv (A K M)$

Trong $(S C D)$ , gọi $P = M K \cap S C$ . Lại có $M K \subset (A B M)$ .

Do đó: $P = S C \cap (A B M)$

Trong $(S D C)$ gọi $Q = M K \cap S D$ , $M K \subset (A B M) \Rightarrow Q = S D \cap (A B M)$ .

$\Rightarrow P Q \subset (A B M), P Q \subset (S C D)$ $\Rightarrow P Q = (S C D) \cap (A B M)$ .

Lý thuyết Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

I. Khái niệm mở đầu

Tổng hợp lí thuyết về mặt phẳng, điểm thuộc mặt phẳng và hình biểu diễn hình không gian ngắn gọn, đầy đủ, dễ hiểu.

1. Mặt phẳng

- Điểm, đường thẳng, mặt phẳng là các khái niệm không định nghĩa.

- Trang giấy, mặt bảng đen, mặt hồ lặng gió, mặt bàn... cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng.

- Kí hiệu mặt phẳng: Dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc đơn.

2. Điểm thuộc măt phẳng

- Điểm thuộc mặt phẳng ( hình 2.2): $A \in (P)$ ; $B \notin (P)$ .

- Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(P)$ hay mặt phẳng $P$ chứa điểm $A$ , hay mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$

- Điểm $B$ nằm ngoài mặt phẳng $(P)$ , hay mặt phẳng $(P)$ không chứa $B$ .

3. Hình biểu diễn của một hình không gian

- Người ta thường vẽ các hình không gian lên bảng, lên giấy, đó gọi là hình biểu diễn của một hình không gian.

- Quy tắc vẽ hình biểu diễn hình không gian:

+ Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng,của đoạn thẳng là đoạn thẳng, hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.

+ Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.

+ Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất.

II. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian

Tính chất 1:

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

Tính chất 2:

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Tính chất 3:

Nếu một đường thẳng có hai điểm chung phân biệt với một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng.

Tính chất 4:

Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Tính chất 5:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.

Tính chất 6:

Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

III. Cách xác định một mặt phẳng

- Qua ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng duy nhất. Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A, B, C$ được kí hiệu là $m p (A B C)$ hay $(A B C)$ .

- Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó xác định một mặt phẳng duy nhất. Mặt phẳng đi qua $A$ và đường thẳng $d$ không chứa $A$ được kí hiệu là $m p (A; d)$ .

- Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng duy nhất. Mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt nhau $a, b$ được kí hiệu là $m p (a; b)$ .

IV. Lý thuyết Hình chóp và hình tứ diện

- Hình chóp là một hình không gian gồm có một đa giác gọi là mặt đáy, các tam giác chung đỉnh gọi là mặt bên, đỉnh chung của các mặt bên đó gọi là đỉnh của hình chóp (h.2.4)

- Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(P)$ là một đa giác mà mỗi cạnh của nó là một đoạn giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ với một mặt của hình chóp (h.2.5)