Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về hai mặt phẳng song song lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Lời giải:

Hai mặt phẳng song song $(\alpha )$ và $(\beta )\Rightarrow (\alpha )$ và $(\beta )$ không có điểm chung

Đường thẳng $d$ nằm trong $(\alpha )\Rightarrow$ Đường thẳng $d$ không nằm trong $(\beta )$

Vậy $d$ và $(\beta )$ không có điểm chung.

Phương pháp giải:

Cách 1: Xác định mp $(\alpha )$:

Gọi các giao điểm của $(\alpha )$ với các cạnh $SB,SC.$ Chỉ ra đặc điểm và xác định vị trí của các giao điểm ấy.

Cách 2: Lấy K, L là trung điểm của SB, SC. Chứng minh: $\left(\alpha \right)\equiv \left(IKL\right)$

Lời giải:

Cách 1:

Gọi $K,L$ lần lượt là giao của mp $(\alpha )$ với các cạnh $SB,SC.$

Ta có: $(\alpha )//(ABC)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \{\begin{array}{l}IK//\left(ABC\right)\supset AB\\ IL//\left(ABC\right)\supset AC\end{array}\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}IK//AB\\ IL//AC\end{array}\end{array}$

Mà $I$ là trung điểm của $SA.$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}K\text{là trung điểm cạnh SB}\\ I\text{là trung điểm cạnh SC}\end{array}$

Vậy mp $(\alpha )$ chính là mp $(IKL).$

Cách 2:

Mặt phẳng $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua 3 trung điểm $I,K,L$ của $SA,SB,SC$

Thật vậy, gọi $K,L$ lần lượt là trung điểm của $SB,SC$

Suy ra $IK,KL$ lần lượt là đường trung bình trong tam giác $SAB$ và $SBC$

$IK//AB\in \left(ABC\right)\Rightarrow IK//\left(ABC\right)$

$KL//BC\in \left(ABC\right)\Rightarrow KL//\left(ABC\right)$

$IK$ và $KL$ cắt nhau và cùng song song với mp $(ABC)$

⇒ Mặt phẳng chứa $IK$ và $KL$ song song với mp $(ABC)$

Hay $(\alpha )//(ABC)$.

a) Hãy xác định giao điểm $D^{\prime }$ của đường thẳng $d$ với mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

b) Chứng minh $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình bình hành. 

Phương pháp giải:

a) Xác định điểm chung của $d$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

b) Sử dụng nội dung của định lí 3: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

a) Chứng minh rằng $AM$ song song với $A^{\prime }{M}^{\prime }$.

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ với đường thẳng $A^{\prime }M$

c) Tìm giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$

d) Tìm giao điểm $G$ của đường thẳng $d$ với mặt phẳng $(A{M}^{\prime }M)$. Chứng minh $G$ là trọng tâm của tam giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh $A{A}^{\prime }{M}^{\prime }M$ là hình bình hành.

b) Tìm điểm chung của mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ với đường thẳng $A^{\prime }M$

c) Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$.

d) Tìm điểm chung của đường thẳng $d$ với mặt phẳng $(A{M}^{\prime }M)$, chứng minh G là giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Lời giải:

a) Xét tứ giác $BM{M}^{\prime }{B}^{\prime }$ có $BM//B^{\prime }{M}^{\prime }$ và $BM=B^{\prime }{M}^{\prime }$ nên $BM{M}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành.

$\Rightarrow M{M}^{\prime }//B{B}^{\prime }//A{A}^{\prime }$ và $M{M}^{\prime }=B{B}^{\prime }=A{A}^{\prime }\Rightarrow A{A}^{\prime }{M}^{\prime }M$ là hình bình hành.

$\Rightarrow AM//A^{\prime }{M}^{\prime }$

b) Trong $mp(A{A}^{\prime }{M}^{\prime }M)$, gọi $K=M{A}^{\prime }\cap A{M}^{\prime }$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}K\in A^{\prime }M\\ K\in A{M}^{\prime }\subset \left(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)\end{array}$ $\Rightarrow K=A^{\prime }M\cap (A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$

c) Trong $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ gọi $O=A{B}^{\prime }\cap A^{\prime }B$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}O\in A{B}^{\prime }\subset \left(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)\\ O\in A^{\prime }B\subset \left(B{A}^{\prime }{C}^{\prime }\right)\end{array}$ $\Rightarrow O\in \left(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)\cap \left(B{A}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$

Mà $C^{\prime }\in \left(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)\cap \left(B{A}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$ nên $\Rightarrow O{C}^{\prime }=\left(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)\cap \left(B{A}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$.

d) Trong $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$: gọi $G=C^{\prime }O\cap A{M}^{\prime }$,

$G\in A{M}^{\prime }\subset (AM{M}^{\prime })$ nên $G=d\cap (AM{M}^{\prime })$.

Mà $O,M^{\prime }$ lần lượt là trung điểm $A{B}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $G$ là trọng tâm của tam giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(BD{A}^{\prime })$ và $(B^{\prime }{D}^{\prime }C)$ song song với nhau.

b) Chứng minh rằng đường chéo $A{C}^{\prime }$ đi qua trọng tâm $G_1,G_2$ của hai tam giác $BD{A}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }C$.

c) Chứng minh ${G_1,{G_2}^{}}^{}$ chia đoạn $A{C}^{\prime }$ thành ba phần bằng nhau.

d) Gọi $O$ và $I$ lần lượt là tâm của các hình bình hành $ABCD$ và $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$. Xác định thiết diện của mặt phẳng $(A^{\prime }IO)$ với hình hộp đã cho. 

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia.

b) Gọi $O,O^{\prime }$ lần lượt là tâm của hình bình hành $ABCD,A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, gọi ${G_1}^{}$, ${G_2}^{}$ là giao điểm của $A{C}^{\prime }$ với $A^{\prime }O$ và $C{O}^{\prime }$. Dựa vào tam giác đồng dạng suy ra các tỉ số và chỉ ra $G_1,G_2$ của hai tam giác $BD{A}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }C$.

c) Chứng minh các tam giác đồng dạng, suy ra các tỉ số.

d) $(A^{\prime }IO)\equiv (A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$

Lời giải:

a) Ta có: $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành ( vì $B{B}^{\prime }//D{D}^{\prime };B{B}^{\prime }=D{D}^{\prime }$).

$\Rightarrow BD//B^{\prime }{D}^{\prime }$

Mà $BD\not\subset \left(C{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$ nên $BD//\left(C{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$. 

Tương tự, ta cũng suy ra $A^{\prime }B//\left(C{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$. 

Mặt khác: $BD,A^{\prime }B$ cắt nhau trong mp $(BD{A}^{\prime })$

$\Rightarrow (BD{A}^{\prime })//(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$.

b)

Cách 1:

Gọi $O,O^{\prime }$ lần lượt là tâm của hình bình hành $ABCD,A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ${G_1}^{}$, ${G_2}^{}$ là giao điểm của $A{C}^{\prime }$ với $A^{\prime }O$ và $C{O}^{\prime }$

$\mathrm{\Delta }{G}_{1}OA$ đồng dạng $\mathrm{\Delta }{G}_1{A}^{\prime }{C}^{\prime }$ (g.g)

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{G_{1}O}{G_1{A}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{OA}{A^{\prime }{C}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{A^{\prime }{G}_1}{A^{\prime }O}}={\displaystyle \frac{2}{3}}.$

Lại có $G_1\in A^{\prime }O$ là đường trung tuyến của $\mathrm{\Delta }BD{A}^{\prime }$ $\Rightarrow G_1$ là trọng tâm $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }BD.$

Chứng minh tương tự ta có: $G_2$ là trọng tâm $\mathrm{\Delta }{B}^{\prime }{D}^{\prime }C.$ 

Vậy $A{C}^{\prime }$ đi qua $G_1,G_2$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $BD{A}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }C$.

Cách 2:

Gọi $I=A^{\prime }C\cap A{C}^{\prime }$

Ta có: $ABCD$ và $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ là các hình bình hành, $O$ và $I$ lần lượt là giao điểm 2 đường chéo.

Suy ra $O$ và $I$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $A^{\prime }C$.

Xét $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }AC$ ta có:

$A^{\prime }O,AI$ là trung tuyến, cắt nhau tại $G_1$

$\Rightarrow G_1$ là trọng tâm $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }AC$

$\Rightarrow A^{\prime }{G}_1=\frac{2}{3}{A}^{\prime }O$.

Mà $A^{\prime }O$ cũng là trung tuyến của $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }BD$

$\Rightarrow G_1$ là trọng tâm $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }BD$.

Chứng minh tương tự, ta cũng suy ra $G_2$ là trọng tâm $\mathrm{\Delta }C{B}^{\prime }{D}^{\prime }$.

c)

Ta có:

${\displaystyle \frac{A{G_1}^{}}{G_1{C}^{\prime }}}$ = ${\displaystyle \frac{AO}{A^{\prime }{C}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (vì $\mathrm{\Delta }{G}_{1}OA$ đồng dạng $\mathrm{\Delta }{G}_1{A}^{\prime }{C}^{\prime }$) $\Rightarrow A{G}_1=\frac{1}{3}A{C}^{\prime }$.

Từ đó suy ra: $A{G}_1=G_1{G}_2=G_2{C}^{\prime }$

d) Vì $(A^{\prime }IO)\equiv (A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ suy ra thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng $(A^{\prime }IO)$ là thiết diện khi cắt bởi mp$(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$, chính là hình bình hành $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$.

a) $B_1,C_1,D_1$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB,SC,SD$.

b) $B_1{B}_2=B_{2}B$, $C_1{C}_2=C_{2}C$, $D_1{D}_2=D_{2}D$.

c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác $ABCD$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng lý thuyết:

Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại và hai giao tuyến song song.

Và định lí đường trung bình của tam giác.

b) Sử dụng định lí đường trung bình của hình thang.

c) Dựa vào định nghĩa hình chóp cụt (SGK Hình học 11 trang 70).

Lời giải:

a) Ta có:

$\{\begin{array}{l}\left(\alpha \right)//\left(ABCD\right)\\ \left(SAB\right)\cap \left(ABCD\right)=AB\\ \left(SAB\right)\cap \left(\alpha \right)=A_1{B}_1\end{array}$ $\Rightarrow A_1{B}_1//AB$

Mặt khác $A_1$ là trung điểm của $SA$ nên $A_1{B}_1$ là đường trung bình của tam giác $SAB$

$\Rightarrow B_1$ là trung điểm của $SB$.

Chứng minh tương tự với các điểm còn lại.

b) Ta có:

$\{\begin{array}{l}\left(\beta \right)//\left(ABCD\right)\\ \left(SAB\right)\cap \left(ABCD\right)=AB\\ \left(SAB\right)\cap \left(\beta \right)=A_2{B}_2\end{array}$ $\Rightarrow A_2{B}_2//AB$

Mà $A_1{B}_1//AB\Rightarrow A_2{B}_2//A_1{B}_1$

$A_2$ là trung điểm của $A{A}_1$ nên $A_2{B}_2$ là đường trung bình của hình thang $AB{B}_1{A}_1$

$\Rightarrow B_2$ là trung điểm của $B_{1}B$

Do đó $B_1{B}_2=B_{2}B$.

Chứng minh tương tự ta được: $C_1{C}_2=C_{2}C$, $D_1{D}_2=D_{2}D$.

c) Có hai hình chóp cụt có một đáy là tứ giác $ABCD$: $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1;$ $ABCD.A_2{B}_2{C}_2{D}_2$.

Lý thuyết Bài 4: Hai mặt phẳng song song

1. Định nghĩa:

Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

2. Tính chất:

- Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng $(Q)$ thì $(P)//(Q)$ 9h.2.50) ( Đây là tính chất quan trọng dùng để chứng minh hai mặt phẳng song song).

- Qua một điểm ở ngoài mặt phẳng có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

- Nếu đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(Q)$ thì qua $a$ có một và chỉ một mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q)$.

- Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

- Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau (h.2.51).

- Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.

3. Định lí Ta-lét trong không gian

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

1. Hình lăng trụ và hình hộp

- Hình lăng trụ gồm có hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song, các mặt bên là hình bình hành, các cạnh bên song song hoặc bằng nhau

- Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành

2. Hình chóp cụt

Định nghĩa: Hình chóp cụt là phần chóp nằm giữa đáy và thết dện cắt bởi mặt phẳng song song với đáy hình chóp (h.2.52)

Tính chất: Hình chóp cụt có:

a) Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau.

b) Các mặt bên là những hình thang.

c) Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm.