Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập đường thẳng và mặt phẳng song song lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Lời giải:

Học sinh tự quan sát

Chẳng hạn: Mô phỏng phòng học và tên các đường thẳng (cạnh tường) tương ứng như sau:

Đường thẳng song song với mặt phẳng là:

$d_5,d_6,d_7,d_8,//(U)$

$d_4,d_7,d_{11},d_{12},//(P)$

$d_1,d_5,d_9,d_{10},//(S)$

$d_3,d_8,d_9,d_{12},//(R)$

$d_2,d_6,d_{10},d_{11},//(Q)$

Lời giải:

Vì $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC,AD$ nên $MN,NP,MP$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $ABC,ACD,ABD$

$\Rightarrow MN//BC,NP//CD,PM//BD$

Mà $BC,CD,BD$ thuộc $(BCD)$

$MN,NP,PM$ không thuộc $(BCD)$

⇒ Các đường thẳng $MN,NP,PM$ có song song với mặt phẳng $(BCD)$.

Bài tập trang 63 SGK Toán 11

a) Tìm giao tuyến của $(\alpha )$ với các mặt tứ diện

b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng $(\alpha )$ là hình gì?

Phương pháp giải:

Vận dụng định lí 2:

Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $\alpha$. Nếu mặt phẳng $\beta$ chứa $a$ và cắt $\alpha$ theo giao tuyến $b$ thì $b$ song song với $a$.

Lời giải:

a) Ta có:

+ $(\alpha )//AC$

⇒ Giao tuyến của $(\alpha )$ và $(ABC)$ là đường thẳng song song với $AC.$

Mà $M\in (ABC)\cap (\alpha ).$

$\Rightarrow (ABC)\cap (\alpha )=MN$ là đường thẳng qua $M,$ song song với $AC(N\in BC).$

+ Tương tự $(\alpha )\cap (ABD)=MQ$ là đường thẳng qua $M$ song song với $BD(Q\in AD).$

+ $(\alpha )\cap (BCD)=NP$ là đường thẳng qua $N$ song song với $BD(P\in CD).$

+ $(\alpha )\cap (ACD)=QP.$

b) Ta có: 

$\{\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\cap \left(ABD\right)=MQ\\ \left(\alpha \right)\cap \left(ABC\right)=MN\\ \left(\alpha \right)\cap \left(ACD\right)=PQ\\ \left(\alpha \right)\cap \left(BCD\right)=PN\end{array}$ nên thiết diện là tứ giác $MNPQ.$

$\{\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\cap \left(ACD\right)=PQ\\ AC//\left(\alpha \right)\\ AC\subset \left(ACD\right)\end{array}\Rightarrow PQ//AC$.

Mà $MN//AC$ (câu a) nên $MN//PQ.$

Lại có: $MQ//BD,NP//BD$ (câu a) nên $MQ//NP.$

Tứ giác $MNPQ$ có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

Lời giải:

+) $(\alpha )//AB,AB\subset (ABCD)$, $O$ là điểm chung của $(\alpha )$ và $(ABCD)$

$\Rightarrow$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(ABCD)$ là đường thẳng qua $O$ và song song với $AB$.

Trong $(ABCD)$ qua $O$ kẻ $MN//AB$  $(M\in BC,N\in AD)$

$\Rightarrow \left(\alpha \right)\cap \left(ABCD\right)=MN$

+) $(\alpha )//SC,SC\subset (SBC)$, $M$ là điểm chung của $(\alpha )$ và $(SBC)$

$\Rightarrow$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(SBC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $SC$.

Trong $(SBC)$ qua $M$ kẻ $MQ//SC$  $(Q\in SB)$

$\Rightarrow \left(\alpha \right)\cap \left(SBC\right)=MQ$

+) $(\alpha )//AB,AB\subset (SAB)$, $Q$ là điểm chung của $(\alpha )$ và $(SAB)$

$\Rightarrow$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(SAB)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $AB$.

Trong $(SAB)$ qua $Q$ kẻ $QP//AB$ $(P\in SA)$

$\Rightarrow \left(\alpha \right)\cap \left(SAB\right)=QP$

+) $\Rightarrow \left(\alpha \right)\cap \left(SAD\right)=NP$

Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $(\alpha )$ là tứ giác $MNPQ$ có $MN//PQ//AB$

Vậy thiết diện là hình thang $MNPQ$.

Lý thuyết Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song

- Nếu đường thẳng $a$ không nằm trên mặt phẳng $(P)$ và song song với một đường thẳng $b$ nào đó nằm trên mặt phẳng $(P)$ thì $a$ song song với $(P)$.

Kí hiệu: 

$\{\begin{array}{l}a\not\subset (P)\\ b\subset (P)\\ a//b\end{array}\Rightarrow a//(P).$

- Nếu đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$ thì mọi mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ mà cắt $(P)$ thì cắt $(P)$ theo giao tuyến song song với $a$. (Đây là tính chất quan trọng dùng để xác định giao tuyến hai mặt phẳng và để tìm thiết diện của hình chóp).

Kí hiệu:

$\{\begin{array}{l}a//(P)\\ (Q)\supset a\\ (P)\cap (Q)=b\end{array}\Rightarrow a//b.$

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Kí hiệu: 

$\{\begin{array}{l}(P)//a\\ (Q)//a\\ (P)\cap (Q)=b\end{array}\Rightarrow a//b.$

- Nếu $a$ và $b$ là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$.

Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha )$, có 3 trường hợp như sau:

- $d$ và $(\alpha )$ có nhiều hơn một điểm chung: $d\subset (\alpha )$.

- $d$ và $(\alpha )$ có một điểm chung duy nhất: $d$ cắt $(\alpha )$ hay $d\cap (\alpha )=M$.

- $d$ và $(\alpha )$ không có điểm chung: $d//(\alpha )$.